《直線的傾斜角與斜率》教學(xué)設(shè)計(jì)

《直線的傾斜角與斜率》教學(xué)設(shè)計(jì)李兆旺

山西省平遙中學(xué)校

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析直線的傾斜角和斜率都描述了直線的傾斜程度，傾斜角用幾何位置關(guān)系刻畫，斜率從數(shù)量關(guān)系刻畫，二者的聯(lián)系橋梁是正切函數(shù)值，并且可以用直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示。建立斜率公式的過程，體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思想：把幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形的性質(zhì)。本課涉及兩個(gè)概念——傾斜角和斜率。傾斜角是幾何概念，它主要起過渡作用，是聯(lián)系新舊知識(shí)的紐帶，研究斜率、直線的平行、垂直的解析表示等問題時(shí)都要用這個(gè)概念；斜率概念，不僅其建立過程很好地體現(xiàn)了解析法，而且它在建立直線方程、通過直線方程研究幾何問題時(shí)也起核心作用，這是因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系下，確定直線的條件最本質(zhì)條件是直線上的一個(gè)點(diǎn)及其斜率，其他形式都可以化歸到這兩個(gè)條件上來。綜上，從解析幾何的基本方法——坐標(biāo)法的基本思想考慮，斜率概念是本課時(shí)的核心概念。本課的教學(xué)重點(diǎn)是：使學(xué)生經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，初步了解解析幾何研究問題的基本思想方法，體會(huì)坐標(biāo)法；理解斜率的定義，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．理解傾斜角的概念，體會(huì)在直角坐標(biāo)系下，以坐標(biāo)軸為“參照系”，用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)刻畫幾何元素的思想方法。2．理解斜率的定義和斜率公式，經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，了解解析法的基本步驟，感受解析幾何的思想方法。3．通過解析幾何發(fā)展史的簡(jiǎn)單介紹，滲透數(shù)學(xué)文化教育。三、教學(xué)問題診斷分析平面幾何中，“兩點(diǎn)確定一條直線”是沒有“參照系”的，如何使學(xué)生在這一知識(shí)的基礎(chǔ)上，順利、自然地過渡到直角坐標(biāo)系下用一個(gè)點(diǎn)和傾斜角確定一條直線，是比較困難的。事實(shí)上，已知直線的傾斜角就相當(dāng)于已知直線的方向，因此已知“兩個(gè)點(diǎn)可以確定直線的方向，這與‘一個(gè)點(diǎn)和直線的方向確定一條直線’是一致的”。在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生建立這種聯(lián)系。函數(shù)是以圖助數(shù)，利用圖形使代數(shù)問題直觀化，解析幾何則是以數(shù)助形，用坐標(biāo)法研究幾何問題。它們都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，但角度不同。學(xué)生知道一次函數(shù)的圖象是一條直線，這里研究的是直線的方程，學(xué)生容易將二者混淆，誤認(rèn)為方程就是一次函數(shù)。因此在教學(xué)時(shí)要注意澄清二者的不同。基于上述分析，確定本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下刻畫直線的幾何要素的認(rèn)識(shí)——傾斜角概念的形成；用坐標(biāo)刻畫傾斜角的方法——斜率概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。四、教學(xué)支持條件分析可以借用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示坐標(biāo)系下確定直線的幾何要素，傾斜角的變化與斜率變化之間的關(guān)系等。借助實(shí)物展臺(tái)展示學(xué)生的研究方法和計(jì)算過程。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）引言在平面幾何里，我們直接依據(jù)圖形中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，研究圖形的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們采用另一種研究方法：坐標(biāo)法。坐標(biāo)法是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的一種方法。本章首先在平面直角坐標(biāo)系中，給直線插上方程的“翅膀”，通過直線方程研究直線之間的位置關(guān)系：平行、垂直，以及兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)到直線的距離等。解析幾何是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬共同創(chuàng)立的。解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)重要的里程碑，數(shù)學(xué)從此由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期。解析幾何由此成為近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。本課時(shí)我們將研究最基礎(chǔ)的知識(shí)——直線的傾斜角和斜率，并在其學(xué)習(xí)過程中體會(huì)和感受解析幾何研究問題的基本方法和思想。（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生了解學(xué)習(xí)的新內(nèi)容的特點(diǎn)及意義。）（二）傾斜角概念的形成問題1平面幾何中，確定直線的條件是什么？對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)初中學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，尋找本課時(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容的固著點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)。）預(yù)設(shè)的回答：兩點(diǎn)確定一條直線。啟發(fā)引導(dǎo)：還有沒有別的方法？能否利用給定的直角坐標(biāo)系？在學(xué)生一定時(shí)間的思考后提出問題2在直角坐標(biāo)系內(nèi)任給一個(gè)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)的直線有無數(shù)條。再給一個(gè)什么條件就可以唯一確定一條直線呢？請(qǐng)動(dòng)手操作一下。預(yù)設(shè)的回答：可能會(huì)有“與x軸的交角”“與y軸的交角”等。啟發(fā)性講解：（借助于信息技術(shù)演示）可以發(fā)現(xiàn)，過一個(gè)點(diǎn)的直線有無數(shù)條，再借助坐標(biāo)軸，給定直線與坐標(biāo)軸的交角，那么直線就唯一確定了。一般的，我們以水平線x軸為基準(zhǔn)，這也符合我們?nèi)粘１硎疚矬w傾斜程度的習(xí)慣。因此我們約定圖1中的角α表示直線的傾斜程度，把它叫做直線的傾斜角。由教師給出直線的傾斜角的定義，指出傾斜角的意義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的最小正角α叫做直線l的傾斜角（angleofinclination）．圖2中直線l的傾斜角α為銳角，直線l’的傾斜角α’為鈍角。當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0o。追問：由定義，傾斜角的范圍是什么？（設(shè)計(jì)意圖：在定義的形成過程中主要上針對(duì)個(gè)別條直線，研究的重點(diǎn)是定義的形成，通過這個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生研究所有直線與其傾斜角的關(guān)系，將定義具體化，全面化，同時(shí)得到傾斜角的意義。）預(yù)設(shè)的答案：傾斜角α的取值范圍為0o≤α<180o。傾斜角的意義：平面內(nèi)每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角步等。因此，直線的傾斜角表示平面內(nèi)一條直線的傾斜程度。（三）斜率概念的形成問題3日常生活中我們經(jīng)常遇到上坡下坡之類的問題，你知道哪些表示傾斜程度的量嗎？這些量與傾斜角有關(guān)系嗎？（設(shè)計(jì)意圖：了解學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)學(xué)生建立坡度與傾斜角的關(guān)系。）（活動(dòng)方式：先由學(xué)生在回憶的基礎(chǔ)上做答，教師收集整理，挑選其中合理的成份。之后再在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生建立這個(gè)量與傾斜角之間的關(guān)系。）預(yù)設(shè)的復(fù)習(xí)答案：可以用坡度表示斜坡的傾斜程度，如圖3，有坡度（比）=。（此處可舉具體的數(shù)字進(jìn)行解釋或復(fù)習(xí)）坡度與傾斜角的關(guān)系預(yù)設(shè)的答案：如圖3所示是斜坡的主視圖，可見，斜坡可以抽象為一條直線，它關(guān)于水平面的傾斜角記為α，那么這里的坡度（比）實(shí)際就是“傾斜角α的正切值”。小結(jié)講授：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率（slope）。斜率常用小寫字母k表示，即k=tanα。問題4如圖2，直線l的傾斜角α=45o，直線l’的傾斜角α’=135o，寫出兩條直線的斜率。再選取一些數(shù)據(jù)如傾斜角為：30o，150o，60o，120o等，計(jì)算相應(yīng)直線的斜率。并分析直線的傾斜角不同時(shí)，直線的斜率取值是否也不同，在此基礎(chǔ)上總結(jié)斜率的意義。（提示：當(dāng)α為銳角時(shí)，tan（180o-α）=-tanα。）（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過有代表性的具體實(shí)例的分析，利用“提示”中的知識(shí)，結(jié)合初中學(xué)過的正切值，了解斜率取值的特點(diǎn)，滲透分類討論點(diǎn)思想總結(jié)出斜率的意義。此處也可以多增加一些角，用計(jì)算器計(jì)算）計(jì)算過程：表1：傾斜角30o45o60o135o120o150o斜率

預(yù)設(shè)的答案：傾斜角α是90o的直線沒有斜率；傾斜角α不是90o的直線都有斜率；傾斜角不同，直線的斜率也不同。斜率大于0的直線的傾斜角為銳角，并且斜率越大傾斜角越大；斜率小于0的直線的傾斜角為鈍角，并且斜率越小傾斜角越大。（此處可以結(jié)合具體計(jì)算過程得到的表1進(jìn)行理解。）因此，我們可以用斜率表示直線的傾斜程度。（四）直線斜率的坐標(biāo)計(jì)算法問題5：確定直線的兩個(gè)條件——點(diǎn)和傾斜角（或斜率）中的點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，傾斜角已經(jīng)代數(shù)化為斜率。在引言中已經(jīng)談到，解析幾何的基本方法就是坐標(biāo)法，因此要利用傾斜角和斜率對(duì)直線進(jìn)行進(jìn)一步的代數(shù)化的研究必須建立斜率的坐標(biāo)表示方法。根據(jù)斜率定義的過程，你能否將坡度進(jìn)一步坐標(biāo)化，在此基礎(chǔ)上求出斜率的坐標(biāo)表示？（設(shè)計(jì)意圖：逐步實(shí)踐坐標(biāo)法。）（活動(dòng)方式：先由學(xué)生初步坐標(biāo)化，教師引導(dǎo)分類求解。）活動(dòng)過程：原問題轉(zhuǎn)化為：給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2）的坐標(biāo)，求出直線P1P2的斜率k。分析：解決這個(gè)問題需要分類求解，首先是對(duì)于特殊直線，與x軸垂直或平行（重合）的直線進(jìn)行分析求解。對(duì)于其他直線分類的依據(jù)是兩點(diǎn)在直線上位置以及直線的傾斜角是銳角還是鈍角。所以二級(jí)分類共得到四種不同的情況，如圖4所示。分類求解。解決的具體思路是：先就圖4（1）求解，再變式為圖4（2），比較異同求解；之后就圖4（3）求解，再變式為圖4（4），類比求解。圖4解：（略）?；顒?dòng)結(jié)果：綜上所述，我們得到經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式是：。追問：上述公式的適用范圍是什么？與所取的點(diǎn)的坐標(biāo)是否有有關(guān)，與所取點(diǎn)的先后順序是否有關(guān)？（設(shè)計(jì)意圖：辨析公式。）（五）應(yīng)用理解例1如圖5，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。

圖5（設(shè)計(jì)意圖：鞏固本課時(shí)所學(xué)的基本知識(shí)。）例2在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分別為1，-1，和2的直線。（設(shè)計(jì)意圖：通過逆向思維，進(jìn)一步加深對(duì)本課時(shí)所學(xué)的基本知識(shí)的理解，滲透坐標(biāo)法的逆用和數(shù)形結(jié)合思想。）（六）小結(jié)問題6：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？可以從知識(shí)，方法，數(shù)學(xué)思想，經(jīng)驗(yàn)等方面談?wù)劇ｎA(yù)設(shè)的回答：知識(shí)方面：傾斜角的定義，斜率的定義和利用坐標(biāo)求斜率的公式及其適用范圍；方法：坐標(biāo)法；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，分類討論，化歸等數(shù)學(xué)思想；經(jīng)驗(yàn)：今天所學(xué)的知識(shí)都