2024年秋季新高二開學(xué)考數(shù)學(xué)模擬卷含答案2

2024年秋季學(xué)期新高二開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷考試范圍：必修一、必修二；考試時間：120分鐘；日期：2024年8月題號一二三四總分得分注意事項:

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)5i?2的共軛復(fù)數(shù)是(

)A.i+2 B.?2+i C.?2?i D.2?i2.命題“?x∈R，sinx+1≥0”的否定是

(

)A.?x∈R，sinx+1<0 B.?x∈R，sinx+1<0

C.?x∈R，sinx+1≥0 D.3.已知函數(shù)f(x)=2x+m?1,x?0log5x,x>0恰有兩個零點(diǎn)，則A.(?1,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[?1,+∞)4.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象(部分)如圖所示，則A.fx=2sinx+π6x∈R5.從某地區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)用電量都在50至350kW??之間．將數(shù)據(jù)分組后得到如表所示的頻率分布表，估計此地區(qū)月均用電量的第80分組[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)[300,350]合計頻率0.120.180.300.250.100.051230 B.235 C.240 D.2456.為解決某校午餐路途擁擠問題，計劃修建從教學(xué)樓直達(dá)食堂的空中走廊.現(xiàn)結(jié)合以下設(shè)計草圖提出問題：已知A，D兩點(diǎn)分別代表食堂與教學(xué)樓出入口，C點(diǎn)為D點(diǎn)正上方一標(biāo)志物，AE對應(yīng)水平面，現(xiàn)測得∠CAD=15°，∠CBD=45°，AB=50m，CD=25m.設(shè)∠DAE=θ，則cosθ=A.6?24 B.27.某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們每周使用手機(jī)的時間進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖．則下列說法：①?a=0.03；②若抽取100人，則平均用時一定為13.75小時；③若從每周使用時間在15,20,20,25，25,30三組內(nèi)的學(xué)生中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在20,25內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號是(

)

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.已知正四棱錐(底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐)?P?ABCD的底面正方形邊長為2，其內(nèi)切球O的表面積為π3，動點(diǎn)Q在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，且滿足OQ=OP，則動點(diǎn)Q形成軌跡的周長為(

)A.2π11 B.3π11 C.4π11二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=3AA.AA1⊥平面ABC B.異面直線B1C與AA1所成角的大小是π6

C.球O的表面積是10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1cos?α,sinα，P2cosA.OP1=OP2 B.A11.如圖，海水養(yǎng)殖廠進(jìn)行某水產(chǎn)品的新舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖所示．

根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是(

)新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值

B.新網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值

C.新網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計值

D.新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計值的兩倍第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合A={x|x2?ax+a2?7=0}，B={x|x2已知正數(shù)x，y滿足x+3y?1x?3y=6，則14.據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學(xué)已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門文科學(xué)科共五門學(xué)科中再選擇一門，設(shè)事件E=“選擇生物學(xué)科”，F(xiàn)=“選擇一門理科學(xué)科”，G=“選擇政治學(xué)科”，H=“選擇一門文科學(xué)科”，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①G和H是互斥事件但不是對立事件；

②F和H是互斥事件也是對立事件；③PF④PE∪H其中，正確結(jié)論的序號是

.(請把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都寫上)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2B+(1)求A；(2)若a=4，求?ABC面積的最大值．

16.(本小題15分)“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項活動，出現(xiàn)在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節(jié)時制迷，猜謎的人眾多．開始時是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因為謎語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為2225，求n的值．

(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點(diǎn)．AB=BC，AC=2，AA1=2．

(1)求證：B1C//平面A1BM；

(2)求證：AC1⊥平面A118.(本小題17分)已知函數(shù)fx=ax+b1+x(1)確定函數(shù)fx的解析式；

(2)用定義證明fx在上(3)解關(guān)于x的不等式fx?1+fx<019.(本小題17分)

給定三棱錐Ω，設(shè)Ω的四個頂點(diǎn)到平面α的距離所構(gòu)成的集合為M，若M中元素的個數(shù)為k，則稱α為Ω的k階等距平面，稱M為Ω的k階等距集．

(1)若Ω為三棱錐A?BCD，滿足AB=CD=AD=BC=4，AC=BD=2，求出Ω的1階等距平面截該三棱錐所得到的截面面積(求出其中的一個即可);(2)如圖所示，Ω是棱長為2的正四面體ABCD(ⅰ)若α為Ω的1階等距平面且1階等距集為{a}，求a的所有可能取值以及相對應(yīng)的α的個數(shù);(ⅱ)已知β是Ω的4階等距平面，點(diǎn)A與點(diǎn)B，C，D分別位于β兩側(cè).是否存在β，使Ω的4階等距集為{b,2b,3b,4b}，其中點(diǎn)A到β的距離為b?若存在，求出β截Ω所得的平面多邊形的最大邊長;若不存在，說明理由．

絕密★啟用前2024年秋季學(xué)期新高二開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷考試范圍：必修一、必修二；考試時間：120分鐘；日期：2024年8月題號一二三四總分得分注意事項:

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)5i?2的共軛復(fù)數(shù)是A.i+2 B.?2+i C.?2?i D.2?i【答案】B

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

首先要對所給的復(fù)數(shù)進(jìn)行整理，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡到最簡形式，把得到的復(fù)數(shù)虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，得到要求的共軛復(fù)數(shù)．【解答】解：∵復(fù)數(shù)5i?2=5(?i?2)22?i2=?2?i，2.命題“?x∈R，sinx+1≥0”的否定是A.?x∈R，sinx+1<0 B.?x∈R，sinx+1<0

C.?x∈R，sinx+1≥0 D.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查了命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．

破解含有量詞的命題的否定需兩步驟：一是把全稱量詞改為存在量詞，或把存在量詞改為全稱量詞;二是對結(jié)論進(jìn)行否定．【解答】解：把全稱量詞改為存在量詞，并否定結(jié)論，

則原命題的否定為“?x∈R，sinx+1<0”，

故選A3.已知函數(shù)f(x)=2x+m?1,x?0log5x,x>0A.(?1,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[?1,+∞)【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查了分段函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

當(dāng)x>0時，f(?x)顯然有一個零點(diǎn)，要使函數(shù)f(x)恰有兩個零點(diǎn)，則f(?x)=2x+m?1(x≤0)必有一個零點(diǎn)，結(jié)合f(?x)=2x+m?1(x≤0)的單調(diào)性，列式可得結(jié)果．【解答】

解：函數(shù)f(x)=2x+m?1,x?0log5x,x>0,

當(dāng)x>0時，f(?x)顯然有一個零點(diǎn)，所以要使函數(shù)f(x)恰有兩個零點(diǎn)，則f(?x)=2x+m?1(x≤0)必有一個零點(diǎn)，

又f(?x)=2?x+?m?1在?∞,0上單調(diào)遞增，

所以f(0)=?m?1≥0，解得m≥14.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象(部分)如圖所示，則A.fx=2sinx+π6x∈R【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)圖象求出A，ω和φ，即可求函數(shù)f(x)的解析式．【解答】

解：由圖象可知T=4×(2π3?π6)=2π，

∴ω=2πT=2π2π=1，

∵f(x)過最高點(diǎn)(π6,2)，

∴A=2，sin(π65.從某地區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)用電量都在50至350kW??之間．將數(shù)據(jù)分組后得到如表所示的頻率分布表，估計此地區(qū)月均用電量的第80分組[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)[300,350]合計頻率0.120.180.300.250.100.051A.230 B.235 C.240 D.245【答案】C

【解析】【分析】本題考查了頻率分布表，百分位數(shù)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用百分位數(shù)的概念，即可解出．【解答】

解：由頻率分表可知，數(shù)據(jù)均勻分布，

所以第80百分位數(shù)是，200+50×0.8?0.12?0.18?0.30.25=240，

6.為解決某校午餐路途擁擠問題，計劃修建從教學(xué)樓直達(dá)食堂的空中走廊.現(xiàn)結(jié)合以下設(shè)計草圖提出問題：已知A，D兩點(diǎn)分別代表食堂與教學(xué)樓出入口，C點(diǎn)為D點(diǎn)正上方一標(biāo)志物，AE對應(yīng)水平面，現(xiàn)測得∠CAD=15°，∠CBD=45°，AB=50m，CD=25m.設(shè)∠DAE=θ，則cosA.6?24 B.2【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．

因為θ+∠ADE=90°，則cos?θ=cos?(90°?∠ADE)=【解答】

解：在△ABC中，因為∠CAD=15°，所以∠CBA=135°，由正弦定理得BCsinBC=在△BCD中，由正弦定理得BCsin所以sin∠BDC=因為θ+∠ADE=90所以cosθ=7.某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們每周使用手機(jī)的時間進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖．則下列說法：①?a=0.03；②若抽取100人，則平均用時一定為13.75小時；③若從每周使用時間在15,20,20,25，25,30三組內(nèi)的學(xué)生中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在20,25內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B

【解析】【分析】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

利用頻率和為1判斷①；根據(jù)平均數(shù)的計算判斷②；利用分層抽樣的性質(zhì)判斷③?！窘獯稹?/p>

解：由頻率分布直方圖得：

對于①，(0.02+0.04+0.06+0.04+a+0.01)×5=1，解得a=0.03，故①正確；

對于②，根據(jù)頻率分布直方圖可估計出平均值為(0.02×2.5+0.04×7.5+0.06×12.5+0.04×17.5+0.03×22.5+0.01×27.5)×5=13.75，

所以估計抽取100人的平均用時為13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；

對于③，從每周使用時間在[15,20)，[20,25)，[25,30)三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，

則應(yīng)從使用時間在[20,25)內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為：8×0.030.04+0.03+0.01=3，故8.已知正四棱錐(底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐)?P?ABCD的底面正方形邊長為2，其內(nèi)切球O的表面積為π3，動點(diǎn)Q在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，且滿足OQ=OP，則動點(diǎn)Q形成軌跡的周長為A.2π11 B.3π11 C.4π11【答案】C

【解析】【分析】本題考查了正四棱錐內(nèi)切球，與圓有關(guān)的軌跡問題，屬于中檔題．

先求出球O的半徑R=36，連接AC與BD，設(shè)交點(diǎn)為F，取AD的中點(diǎn)E，連接PE，PF，EF，根據(jù)等體積法得PE=1311，PF=4311，在Rt△OFQ【解答】

解：設(shè)內(nèi)切球O的半徑為R，則4πR2=π3，∴R=36，

如圖，連接AC與BD，設(shè)交點(diǎn)為F，取AD的中點(diǎn)E，連接PE，PF，EF，

根據(jù)等體積法得13(SABCD+4S△PAB)R=13×AB2×PF，

∴13(4+4×12×2×PE)×36=43×PF，整理得1+PE=23PF二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=3A.AA1⊥平面ABC

B.異面直線B1C與AA1所成角的大小是π6

C.球O的表面積是20π【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查棱柱的切接問題，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，異面直線所成的角，點(diǎn)到平面的距離，具有一定的綜合性．【解答】解：如圖，因為球O是三棱柱ABC?A1B1C1的外接球，所以該三棱柱為直三棱柱，即AA1⊥平面ABC，則A正確.因為AA1/?/CC1，所以∠B1CC1是異面直線B1C與AA1所成的角.因為AB=3AA1=23，所以tan∠B1CC1=B1C1CC1=ABAA1=310.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1cos?α,sinα，P2A.OP1=OP2 B.A【答案】AC

【解析】【分析】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量模的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．

根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡逐個判斷即可．【解答】

解：OA=(1,0)，OP1=(cos?α,sin?α)，OP2=(cos?β,?sin?β)，OP3=(cos?(α+β),sin?(α+β))，AP1=(cosα?1,sinα)，AP2=(cosβ?1,?sinβ)，

對于A，|OP1|=cos2α+sinOA·OP1與故選：AC．11.如圖，海水養(yǎng)殖廠進(jìn)行某水產(chǎn)品的新舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖所示．

根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是(

)A.新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值

B.新網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值

C.新網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計值

D.新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計值的兩倍【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查命題真假的判斷，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．

利用頻率分布直方圖的性質(zhì)結(jié)合選項進(jìn)行計算，得出正確結(jié)論．【解答】解：對于A，舊養(yǎng)殖法的平均數(shù)x+47.5×0.2+52.5×0.16+57.5×0.1+62.5×0.06+67.5×0.06=47.1所以s新養(yǎng)殖法的平均數(shù)x新=37.5×0.02+42.5×0.1+47.5×0.22+52.5×0.34+57.5×0.23+62.5×0.05+67.5×0.04=52.35

因為s所以新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值低于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值，故A錯誤．對于B，舊養(yǎng)殖法中，左邊4個矩形的面積和為(0.012+0.014+0.024+0.034)×5=0.42，左邊5個矩形的面積和為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.04)×5=0.62，所以其中位數(shù)在45和50之間．新養(yǎng)殖法中，左邊三個矩形的面積和為0.34，左邊4個矩形的面積和為0.68，所以其中位數(shù)在50和55之間.所以新網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值，所以B正確．對于C，因為x舊=47.1，x新對于D，舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計值為47.5×100×0.2=950，新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值為52.5×100×0.34=1785，所以新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計值的兩倍，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合A={x|x2?ax+a2?7=0}，B={x|【答案】1

【解析】【分析】本題主要考查了集合集合的交集與并集的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

由A?B=A?B，可得A=B，從而問題得解．【解答】

解：由于A?B=A?B，所以A=B，

所以a=1，

故答案為1．13.已知正數(shù)x，y滿足x+3y?1x?3y【答案】8

【解析】【分析】本題考查利用基本不等式求最值，考查解不含參的一元二次不等式，屬于拔高題．

由題意可得x+3y=6+(1x+3y)，則(x+3y)2=[6+(1x【解答】

解：因為x+3y?1x?3y=6，

所以x+3y=6+(1x+3y)，

所以(x+3y)2=[6+(1x+3y)](x+3y)

=6(x+3y)+(1+9+3yx+3xy)

=6(x+3y)+10+3(yx+xy)，

令t=x+3y，

因為x，y均為正數(shù)，

所以t>0，

則t2=6t+10+3(yx+xy)，

則3(yx+xy14.據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學(xué)已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門文科學(xué)科共五門學(xué)科中再選擇一門，設(shè)事件E=“選擇生物學(xué)科”，F(xiàn)=“選擇一門理科學(xué)科”，G=“選擇政治學(xué)科”，H=“選擇一門文科學(xué)科”，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①G和H是互斥事件但不是對立事件；

②F和H是互斥事件也是對立事件；③PF+P④PE∪H其中，正確結(jié)論的序號是

.(請把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都寫上)【答案】②④

【解析】【分析】本題考查互斥事件，對立事件，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)互斥事件、對立事件的概念與性質(zhì)逐項判斷即可．【解答】解：事件H=

“選擇一門文科學(xué)科”，包含“選擇政治學(xué)科”，“選擇歷史學(xué)科”，“選擇地理學(xué)科”，所以事件

G=

“選擇政治學(xué)科”，包含于事件

H

，

故事件G,H

可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故①不正確；事件F=“選擇一門理科學(xué)科”，與事件H=

“選擇一門文科學(xué)科”，

不能同時發(fā)生，且必有一個事件發(fā)生，故

F

和

H

是互斥事件，也是對立事件，故②正確；由題意可知

PF=25,PG=1事件E=“選擇生物學(xué)科”，與事件H=“選擇一門文科學(xué)科”，

不能同時發(fā)生，故

E

和

H

是互斥事件，所以PE∪H=PE+P故答案為：②④．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2B+(1)求A；(2)若a=4，求?ABC面積的最大值．【答案】解：(1)由已知得1?2sin2B+1?2sin2C?1+2sin2A=1?2sinBsinC，

即sin2A?sin2B?sin2C=?sinBsinC，

由正弦邊角關(guān)系得a2?b2?c【解析】本題主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

(1)由正弦定理得a2?b2?c16.(本小題15分)“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項活動，出現(xiàn)在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節(jié)時制迷，猜謎的人眾多．開始時是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因為謎語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為2225，求n【答案】

解：(1)設(shè)“甲猜對燈謎”為事件A，“乙猜對燈謎”為事件B，“任選一道燈謎，甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對”為事件C，由題意得，

P(A)=1220=35，P(B)=820則P(C)=P(AB+A=P(A)=35所以任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率為1325(2)設(shè)“丙猜對燈謎”為事件D，“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個人都沒有猜對”為事件E，則由題意，事件A、B、D相互獨(dú)立，

P(E)=P(==1?解得n=10．

【解析】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，利用加法公式計算古典概型，屬于中檔題．

(1)設(shè)出相應(yīng)事件后，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式進(jìn)行求解即可；利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求出n的值．17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點(diǎn)．AB=BC，AC=2，AA1=2．

(1)求證：B1C//平面A1BM；

(2)【答案】解：(1)連結(jié)AB1交A1B于O，連結(jié)OM．

在△B1AC中，因為M，O分別為AC，AB1中點(diǎn)，

所以O(shè)M//B1C.

又因為OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，

所以B1C/?/平面A1BM.

(2)因為側(cè)棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，

所以AA1⊥BM．

又因為M為棱AC中點(diǎn)，AB=BC，所以BM⊥AC．

因為AA1∩AC=A，AA1，AC?平面ACC1A1．

所以BM⊥平面ACC1A1.AC1?平面ACC1A1．

所以BM⊥AC1．

因為M為棱AC中點(diǎn)，AC=2，所以AM=1．

又因為AA1=2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，

tan∠AC1C=tan∠A1MA=2．

所以∠AC1C=∠A1MA，

即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°．

所以A1M⊥AC1．

因為BM∩A1M=M，BM【解析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

(1)連結(jié)AB1交A1B于O，連結(jié)OM，可證OM/?/B1C，又OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，即可證明B1C/?/平面A1BM；

(2)易證AA1⊥BM，又可證BM⊥AC1，由AC=2，AM=1，AA1=2，可求∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°，從而可證18.(本小題17分)已知函數(shù)fx=ax+b1+x(1)確定函數(shù)fx的解析式；

(2)用定義證明fx在上(3)解關(guān)于x的不等式fx?1【答案】(1)解：函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義在(?1,1)上的奇函數(shù)，

則f(0)=0，即有b=0，

且f(12)=25，則12a1+14=25，解得，a=1，

經(jīng)檢驗符合題意，

則函數(shù)f(x)的解析式：f(x)=x1+x2(?1<x<1);

(2)證明：任取?1<x1<x2<1，

則f(x1)?f(x2)=x1x12+1?x2x22+1=(x1?x2)(1?x【解析】本題考查函數(shù)的解析式的求法和單調(diào)性的證明和運(yùn)用：解不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

(1)由奇函數(shù)得f(0)=0，求得b，再由已知，得到方程，解出a，即可得到解析式；

(2)運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟；

(3)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性，得到不等式f(x?1)+f(x)<0即為f(x?1)<?f(x)=f(?x)，得到不等式組，解出即可．19.(本小題17分)

給定三棱錐Ω，設(shè)Ω的四個頂點(diǎn)到平面α的距離所構(gòu)成的集合為M，若M中元素的個數(shù)為k，則稱α為Ω的k階等距平面，稱M為Ω的k階等距集．

(1)若Ω為三棱錐A?BCD，滿足AB=CD=AD=BC=4，AC=BD=2，求出Ω的1階等距平面截該三棱錐所得到的截面面積(求出其中的一個即可);(2)如圖所示，Ω是棱長為2的正四面體ABCD(ⅰ)若α為Ω的1階等距平面且1階等距集為{a}，求a的所有可能取值以及相對應(yīng)的α的個數(shù);(ⅱ)已知β是Ω的4階等距平面，點(diǎn)A與點(diǎn)B，C，D分別位于β兩側(cè).是否存在β，使Ω的4階等距集為{b,2b,3b,4b}，其中點(diǎn)A到β的距離為b?若存在，求出β截Ω所得的平面多邊形的最大邊長;若不存在，說明理由．【答案】解：(1)如圖，可將三棱錐A?BCD擴(kuò)展成長方體AC1BD1?A1CB1D，

由AC12+CC12=AC2=4AC12+BC12=AB2=16CC12+BC12=BC2=16，可得AC1=CC1=