2.4.1直線與圓錐曲線的交點課件高二上學期數(shù)學北師大版選擇性

4.1直線與圓錐曲線的交點第二章圓錐曲線北師大版

數(shù)學

選擇性必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.掌握直線與圓錐曲線交點個數(shù)與位置關系之間的聯(lián)系(相交,相切,相離).2.會求直線與圓錐曲線的交點.3.通過交點個數(shù)會求參數(shù)問題.基礎落實·必備知識一遍過知識點

直線與圓錐曲線的交點消元后在保證二次項系數(shù)不為0的前提下研究判別式Δ思考辨析1.一般地,若直線l與橢圓C相交,怎樣求交點坐標?2.類比直線與橢圓的位置關系可知直線與雙曲線有幾種位置關系?提示

直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,通過求方程組的解確定交點坐標.提示

有三種位置關系,分別為相交、相切、相離三種情況.3.如何用方程刻畫直線與拋物線的位置關系?提示

直線y=kx+b與拋物線y2=2px(p>0)的交點個數(shù)取決于關于x,y的方程組

解的個數(shù),即二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的個數(shù).當k≠0時,若Δ>0,則直線與拋物線有兩個不同的公共點;若Δ=0,直線與拋物線有一個公共點;若Δ<0,直線與拋物線沒有公共點.當k=0時,直線與拋物線的對稱軸平行或重合,此時直線與拋物線有1個公共點.自主診斷1.[2024陜西咸陽期末]過點(0,4)作直線與拋物線y2=x有且僅有一個交點,這樣的直線可以作出

條.

3解析

當過點(0,4)的直線斜率不存在時,顯然x=0與拋物線y2=x有且只有一個交點,當過點(0,4)的直線與拋物線y2=x的對稱軸平行,即斜率為0時,顯然y=4與拋物線y2=x有且只有一個交點,當直線過點(0,4)且斜率存在,且與拋物線相切時,直線與拋物線只有一個交點.設直線方程為y=kx+4,代入到拋物線方程y2=x,消去y,整理得k2x2+(8k-1)x+16=0,Δ=(8k-1)2-64k2=-16k+1=0,解得k=,即直線方程為y=x+4,綜上可得,過點(0,4)且與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線共有3條.2.[人教B版教材習題]判斷直線y=-2x+4與拋物線y2=4x是否有公共點.如有,求出公共點的坐標,如公共點有兩個,求出以這兩個公共點為端點的線段長.3.[人教B版教材習題]如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4沒有公共點,求k的取值范圍.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一直線和橢圓的交點問題(1)求橢圓C的方程;(2)若直線x=ky+3與C交于相異兩點M,N,求k的范圍.規(guī)律方法

判斷直線與橢圓的位置關系的方法

[注意]方程組解的個數(shù)與直線與橢圓的公共點的個數(shù)之間是等價關系.變式訓練1若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓

總有公共點,求m的取值范圍.探究點二直線和雙曲線的交點問題【例2】

(1)(多選題)已知雙曲線x2-=1,過點P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個公共點,則直線l的(

)A.斜率為

B.斜率為-2 C.斜率為2 D.斜率不存在ABCD解析

①當直線l的斜率不存在時,又知雙曲線的實軸端點為(1,0),且l:x=1,則直線l與雙曲線相切,符合題意.②當直線l的斜率存在時,設l的方程為y=k(x-1)+1,代入雙曲線方程,消去y,整理得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.當4-k2=0時,k=±2,直線l與雙曲線的漸近線平行,l與雙曲線只有一個公共點;當4-k2≠0時,令Δ=0,即(2k-2k2)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0,得k=.綜上,k=或k=±2或k不存在.故選ABCD.★(2)直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A,B兩點,當k為何值時,A,B在雙曲線的同一支上?當k為何值時,A,B分別在雙曲線的兩支上?規(guī)律方法

1.解決直線與雙曲線的公共點問題,不僅要考慮判別式,更要注意二次項系數(shù)為0時,直線與漸近線平行的特殊情況.2.雙曲線與直線只有一個公共點時,應分兩種情況討論,直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.3.注意對直線的斜率是否存在進行討論.另外,過原點(或焦點)的直線通過與漸近線的位置關系來確定直線與雙曲線的位置關系.變式訓練2(1)已知雙曲線

=1(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是

.

[2,+∞)探究點三直線和拋物線的交點問題【例3】

已知拋物線的方程為y2=4x,直線l過定點P(-2,1),斜率為k.當k為何值時,直線l與拋物線y2=4x只有一個公共點;有兩個公共點;沒有公共點?規(guī)律方法

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立成方程組,消元轉化為關于x或y的方程.(1)若方程為一元一次方程,則直線和拋物線的對稱軸平行,直線和拋物線有一個交點,但不相切,該交點不是切點.(2)若為一元二次方程,則①若Δ>0,則直線和拋物線相交,有兩個交點(或兩個公共點);②若Δ=0,則直線和拋物線相切,有一個切點;③若Δ<0,則直線和拋物線相離,無公共點.變式訓練3已知直線y=(a+1)x-1與拋物線y2=ax恰有一個公共點,求實數(shù)a的值.這時直線與拋物線相切,只有一個公共點.綜上可知,當a=0,-1,

時,直線y=(a+1)x-1與y2=ax恰有一個公共點.學以致用·隨堂檢測促達標123456789101112A級必備知識基礎練1.[探究點三](多選題)

過拋物線x2=my(m≠0)的焦點且與y軸垂直的直線與拋物線交于A,B兩點,若△ABO的面積為2,則m的值可能為(

)A.4 B.-4 C.2 D.-2AB1314151617181920123456789101112D13141516171819201234567891011123.[探究點三]直線y=x+b交拋物線y=x2于A,B兩點,O為拋物線頂點,若OA⊥OB,則b的值為(

)A.-1 B.0 C.1 D.2D解析

設A(x1,y1),B(x2,y2),將y=x+b代入y=x2,化簡可得x2-2x-2b=0,故x1+x2=2,x1x2=-2b,所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2.又OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即-2b+b2=0,則b=2或b=0,經檢驗b=0時,不符合題意,故b=2.1314151617181920123456789101112A.1

B.2 C.1或2 D.1或0C131415161718192012345678910111213141516171819205.[探究點二]若直線l:x-2y=0與雙曲線x2-ay2=4(a>0)的右支僅有一個公共點,則a的取值范圍是(

)A.(4,+∞) B.[4,+∞)C.(0,4) D.(0,4]C12345678910111213141516171819206.[探究點二]若直線y=kx與雙曲線

相交,則k的取值范圍為

.

12345678910111213141516171819207.[探究點三]已知拋物線y2=4x,過點Q(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則

的最小值為

.

3212345678910111213141516171819208.[探究點一、二]直線y=x+3與曲線

交點的個數(shù)為

.

312345678910111213141516171819209.[探究點一]若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓

總有公共點,求m的取值范圍.1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192010.拋物線y2=2px與直線ax+y-4=0交于A,B兩點,其中點A的坐標是(1,2).若拋物線的焦點為F,則|FA|+|FB|等于(

)DB級關鍵能力提升練1234567891011121314151617181920D123456789101112131415161718192012.(多選題)若直線y=kx+2與拋物線y2=x只有一個公共點,則實數(shù)k的值可以為(

)AB123456789101112131415161718192013.已知拋物線C的方程為x2=y,過點A(0,-1)和點B(t,3)的直線l與拋物線C沒有公共點,則實數(shù)t的取值范圍是(

)A123456789101112131415161718192014.以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點且與直線x-y+3=0有公共點的橢圓中,離心率最大的橢圓的標準方程是(

)C1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192015.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是

.

解析

(方法一)設與拋物線相切且與直線4x+3y-8=0平行的直線方程為4x+3y+m=0,與拋物線y=-x2聯(lián)立,消去y,整理得3x2-4x-m=0,1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192016.經過雙曲線

=1(a>0,b>0)的右焦點,傾斜角為60°的直線與雙曲線有且只有一個交點,則該雙曲線的離心率為

.

2123456789101112131415161718192017.

過拋物線y2=4x的焦點F的直線與該拋物線交于A,B兩點,且|AF|=3|BF|,則直線AB的斜截式方程為

.

1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192018.在直角坐標系xOy中,直線l過拋物線y2=4x的焦點F,且與該拋物線相交于A,B兩點,其中點A在x軸上方.若直線l的傾斜角為60°,則△OAF的面積為

.

123456789101112131415161718192019.[2024江蘇蘇州月考]已知點M到點F(1,0)和直線x=-1的距離相等,記點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)過點F作相互垂直的兩條直線l1,l2,曲線C與l1交于點