2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-集合的概念

專題09集合的概念

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1：集合的概念

(1)含義：一般地，我們把所研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集).

(2)集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，即這兩個(gè)集合中的元素完全相同，就稱這兩個(gè)集合

相等.

【知識(shí)點(diǎn)撥】集合中的元素必須滿足如下性質(zhì)：

(1)確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于或

不屬于這個(gè)集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一.

(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同

的.

⑶無(wú)序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合｛1,2,3｝與｛2,3,1｝表示同一集合.

知識(shí)點(diǎn)2：元素與集合的關(guān)系

關(guān)系概念記法讀法

如果〃是集合A中的元素，就說(shuō)。屬

屬于a^Aa屬于集合A

于集合A

如果〃不是集合A中的元素，就說(shuō)〃

不屬于aiAa不屬于集合A

不屬于集合A

【知識(shí)點(diǎn)撥】符號(hào)“e”和飛”只能用于元素與集合之間，并且這兩個(gè)符號(hào)的左邊是元素，右邊是集合,

具有方向性，左右兩邊不能互換.

知識(shí)點(diǎn)3：集合的表示法

(1)自然語(yǔ)言表示法：用文字語(yǔ)言形式來(lái)表示集合的方法.例如：小于3的實(shí)數(shù)組成的集合.

(2)字母表示法：用一個(gè)大寫拉丁字母表示集合，如A,B,C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a,b,

c等.常用數(shù)集的表示:

名非負(fù)整數(shù)集

正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

稱(自然數(shù)集)

符

NN*或N+ZQR

號(hào)

(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)"｛『'括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

（4）描述法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的

一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.這種

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.

【題型歸納目錄】

題型1:集合與元素的含義

題型2：元素與集合的關(guān)系

題型3：集合中元素特性的簡(jiǎn)單應(yīng)用

題型4：列舉法表示集合

題型5：描述法表示集合

題型6：集合表示的綜合問(wèn)題

【典例例題】

題型1：集合與元素的含義

例1.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列語(yǔ)句中，正確的個(gè)數(shù)是（）

（l）OeN；（2）無(wú)eQ；（3）由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合含有5個(gè)元素；（4）數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點(diǎn)

集是有限集；（5）方程必的解能構(gòu)成集合.

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】0是自然數(shù)，故OeN,（1）正確；

兀是無(wú)理數(shù)，故無(wú)任Q,（2）錯(cuò)誤；

由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合為｛3,456｝有4個(gè)元素，故⑶錯(cuò)誤；

數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點(diǎn)集是無(wú)限集，（4）錯(cuò)誤；

方程尤2=0的解為x=0,可以構(gòu)成集合｛0｝,（5）正確；

故選：A

例2.（2023.高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象的全體能構(gòu)成集合的有（）

（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級(jí)學(xué)生身高在1.7

米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段A8兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【解析】（1）（3）（4）（5）中的對(duì)象是確定的，可以組成集合，（2）中的對(duì)象是不確定的，不能組成集合.

故選：C.

例3.（2023?廣東揭陽(yáng)?高一惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谥校┫铝兴慕M對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）

A.宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生

B.在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)

C.很小的實(shí)數(shù)

D.倒數(shù)等于本身的數(shù)

【答案】D

【解析】4宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)習(xí)好的學(xué)生不確定，所以不滿足集合的確定性，故

A錯(cuò)誤；

B：在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)，因?yàn)榉浅＝狞c(diǎn)不確定，所以不滿足集合的確定性，故B錯(cuò)誤；

C：很小的實(shí)數(shù)，因?yàn)楹苄〉膶?shí)數(shù)不確定，所以不滿足集合的確定性，故C錯(cuò)誤；

D：倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)為1與-1,.?.滿足集合的定義，故正確.

故選：D.

變式1.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）

A.上課遲到的學(xué)生B.2020年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有有理數(shù)D.小于乃的正整數(shù)

【答案】B

【解析】根據(jù)集合中元素的三要素判斷.上課遲到的學(xué)生屬于確定的互異的對(duì)象，所以能構(gòu)成集合；2020年

高考數(shù)學(xué)難題界定不明確，所以不能構(gòu)成集合；任意給一個(gè)數(shù)都能判斷是否為有理數(shù)，所以能構(gòu)成集合；

小于萬(wàn)的正整數(shù)分別為1,2,3,所以能夠組成集合.

故選：B

題型2：元素與集合的關(guān)系

例4.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）給出下列關(guān)系：①;iR；②近TR；③卜3|eN；④卜3|eQ.其中正確的

個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】1■是有理數(shù)，0是無(wú)理數(shù)，均為實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；

卜3|=3,為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.

故選：C.

例5.（2023?四川內(nèi)江?高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合知=卜|耳左-1）=0},那么（）

A.OeMB.C.-leMD.

【答案】A

【解析】由題意知集合M={X|X（XT）=0}={0,1},

故OwM,故A正確，D錯(cuò)誤，IEM,故B錯(cuò)誤，-1,故C錯(cuò)誤，

故選：A

例6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知4={。+2,（4+1）2,4+3。+3},若leA,則實(shí)數(shù)。構(gòu)成的集合3的元素

個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】讓集合A中每個(gè)元素等于1,求得。，檢驗(yàn)符號(hào)集合中元素的互異性，得。的值，從而可得結(jié)論.①

a+2=l^>a=-l,.*.（?+1）2=0,a2+3a+3=l>則4={1,0,1},不可以，

②（a+l）2=ina=o,，。+2=2,a2+3a+3=3,貝|A={2,1,3},可以，

或a=-2,/.（7+2=0,t/2+3tz+3=1>則4={?！?}，不可以，

③。2+3。+3=1n。=—1，a+2=l,（i?+1）2=0,則4={1,0,1},不可以，

或。=一2,。+2=0,（a+1）2=1,則4={0,1,1},不可以，

8={0},

故選：B.

變式2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)有下列關(guān)系：?V2eR;②4eQ；③OeN；@0e{0,l}.其中正確的個(gè)數(shù)

為.

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】R表示實(shí)數(shù)集.；R，則①正確

2表示有理數(shù)集，4e。，則②正確

QN表示自然數(shù)集;CwN,則③正確

0是集合{0,1}的一個(gè)元素.'.OF{0,1},則④正確

本題正確選項(xiàng)：D

變式3.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）若不等式3-2x<0的解集為K則下列結(jié)論正確的是（）

A.0eM,2EMB.0W,2eM

C.0eM,2WD.0W,2W

【答案】B

【解析】當(dāng)尤=0時(shí),3-2x=3>0,所以0不屬于M即0陣跖當(dāng)x=2時(shí),3-2x=-l<0,所以2屬于M,即2GM.

選B

變式4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)集合A={2,/-a+2,l_a},若4eA,則。的值為（）.

A.—1,2B.—3C.—1,—3,2D.—3,2

【答案】D

【解析】由集合中元素的確定性知/-。+2=4或1-。=4.

當(dāng)a?-a+2=4時(shí)，。=一1或4=2；當(dāng)1一。=4時(shí)，a=-3.

當(dāng)a=-l時(shí)，A={2,4,2}不滿足集合中元素的互異性，故。=-1舍去；

當(dāng)。=2時(shí)，A=｛2,4,-1｝滿足集合中元素的互異性，故。=2滿足要求；

當(dāng)。=-3時(shí)，A=｛2,14,4｝滿足集合中元素的互異性，故。=-3滿足要求.

綜上，。=2或。=一3.

故選：D.

題型3：集合中元素特性的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）集合A=｛1,二｝中實(shí)數(shù)f的取值范圍是.

【答案】

【解析】由集合A=｛1,4，根據(jù)集合元素的互異性，可得酷1,

即實(shí)數(shù)t的取值范圍是｛Rwl｝.

故答案為：｛小R1｝.

例8.（2023?上海閔行?高三閔行中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合｛2,V｝與｛4,燈相等，則實(shí)數(shù)x=

【答案】2

【解析】因?yàn)榧希?,爐｝與｛4,對(duì)相等，貝葉，解得尤=2.

、2=無(wú)

故答案為：2.

例9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成又可表示成忖,”+仇。｝,則

-9+產(chǎn)二.

【答案】-1

【解析】要使得:有意義，則”0,由集合卜，1卜次,。+匕,0｝,

故可得b=0,此時(shí)｛0,0,1｝=｛4,°,0｝,

故只需。=1或/=1,

若。=1,則集合｛/,4,0｝=｛1,1,0｝不滿足互異性，故舍去.

則只能為。=T，6=0.

則產(chǎn)9+產(chǎn)。=_1

故答案為：-1.

變式5.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）由°,構(gòu)成的集合中，元素個(gè)數(shù)最多是.

【答案】2

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，?=-0=|?|=77=0,此時(shí)元素個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)a#0時(shí)，7?=|a|=1'。八，

一a,a<0

所以一定與a或一。中的一個(gè)一致，此時(shí)元素個(gè)數(shù)為2.

所以由a,-a,|a|,而構(gòu)成的集合中，元素個(gè)數(shù)最多是2個(gè).

故答案為：2.

變式6.（2023.河北.高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合A={1,2,3},B={4,5},M^{x\x^a+b,a&A,b&B\,則/中的

元素個(gè)數(shù)為?

【答案】4

【解析】因?yàn)榧螹中的元素x=a+b,a&A,beB,所以當(dāng)6=4時(shí)，a=l,2,3,此時(shí)x=5,6,7.當(dāng)

6=5時(shí)，a=l,2,3,止匕時(shí)x=6,7,8.

根據(jù)集合元素的互異性可知，x=5,6,7,8.即"={5,6,7,8},共有4個(gè)元素.

故答案為：4.

變式7.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是

【答案】7

【解析】根據(jù)集合中元素的互異性，"notebooks”中的不同字母為"n,o,t,e,b,k,s”,共7個(gè)，故該集

合中的元素個(gè)數(shù)是7；

故答案為：7.

題型4：列舉法表示集合

例10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用列舉法寫出集合A={y|y=Y-2,xeZ,|x區(qū)3}=.

【答案】{一2,-1,2,7}

【解析】由|x|＜3且xeZ,得x=-3或x=-2或無(wú)=-1或x=0或x=l或x=2或x=3,

當(dāng)x=-3時(shí)，y=7；當(dāng)彳=-2時(shí)，y=2；當(dāng)時(shí)，y=-l；

當(dāng)x=0時(shí)，y=-2；當(dāng)x=l時(shí)，y=-1,當(dāng)x=2時(shí)，y=2,當(dāng)x=3時(shí)，y=7.

故4={-2,-1,2,7}.

故答案為：{—2,-1,2,7}

例11.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，那么回+學(xué)可能取的所有值組成集合是______.

ab

【答案】{2,0,-2}

【解析】。，6是非零實(shí)數(shù)，當(dāng)"0力＞。時(shí)，回+3=2,

當(dāng)a＜0,6＜。時(shí)，回+回=一2,當(dāng)仍＜0時(shí)，回+回=0,

abab

所以所求集合是{2,0,-2}.

故答案為：{2,0,-2）

例12.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知集合?eN1,用列舉法表示M=.

【答案】{2,3,4}

【解析】根據(jù)題意，5-。應(yīng)該為6的因數(shù)，故可能取值為1,2,3,6,其對(duì)應(yīng)的值分別為：4,3,2,-1.

又aeN,所以〃的值分別為：4,3,2.

故集合河={2,3,4}.

故答案為：{2,3,4}

變式8.(2023?上海徐匯?高一上海市西南位育中學(xué)?？计谀?用列舉法表示卜=.

【答案】{6,3,2/}

【解析］|x|x=-|,aeN,xeN1={6,3,2,1).

故答案為：{6,3,2』}

變式9.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知集合4={天b為小于6的正整數(shù)},8={x|x為小于10的素?cái)?shù)}，集合C={x|x

為24和36的正公因數(shù)}.

⑴試用列舉法表示集合”="|行4且行。}；

⑵試用列舉法表示集合N={x|xe3且xeC}.

【解析】由題意A={1,2,3,4,5},3={2,3,5,7},C={1,2,3,4,6,12).

(l)M=AnC={l,2,3,4).

(2).〃={x|xeB且xeC}

二.N={5,7}

變式10.(2023?高一課時(shí)練習(xí))用列舉法表示下列集合

(1)11以內(nèi)非負(fù)偶數(shù)的集合；

⑵方程(尤+。(尤②-4)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

⑶一次函數(shù)y=2x與y=x+l的圖象的交點(diǎn)組成的集合.

【解析】(1)11以內(nèi)的非負(fù)偶數(shù)有。，2,4,6,8,10,所以構(gòu)成的集合為{0,2,4,6,8,10},

⑵(x+DM-4)=0的根為玉=-1,%=2,三=-2,所以所有實(shí)數(shù)根組成的集合為{-2,-1,2},

⑶聯(lián)立y=x+l和y=2x,解得，二;，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)為(L2),構(gòu)成的集合為{(1,2)}

題型5：描述法表示集合

例13.(2023?上海崇明?高一統(tǒng)考期末)直角坐標(biāo)平面上由第二象限所有點(diǎn)組成的集合用描述法可以表示為

【答案】｛(%y)k〈O,y〉O,yeR｝

【解析】依題意，第二象限所有點(diǎn)組成的集合是｛(x，y)|x〈O,y〉O,yeR｝.

故答案為：｛(x,y)|x〈o,y〉o,yeR｝

例14.(2023?高一課時(shí)練習(xí))用描述法表示所有奇數(shù)組成的集合.

【答案】［x\x=2k+1,k&z^

【解析】根據(jù)奇數(shù)可寫成2左+l?eZ的形式即可得出.所有奇數(shù)可寫成零+l#eZ的形式,

所以所有奇數(shù)組成的集合為"|*=2左+1#eZ｝.

故答案為：國(guó)尤=2左+1,左eZ｝.

例15.(2023?高一課時(shí)練習(xí))用描述法表示下列集合：

(1)被3除余1的正整數(shù)的集合.

(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的集合.

(3)大于4的所有偶數(shù).

【解析】(1)因?yàn)榧现械脑爻?余數(shù)為1,所以集合表示為：｛x|x=3〃+l,"eN｝；

(2)第一象限內(nèi)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均大于0,所以集合表示為：｛(x,y)|x>o,y>。｝；

(3)大于4的所有偶數(shù)都是正整數(shù)，所以集合表示為：｛x|x=2",〃23,〃eZ｝.

變式11.(2023?高一課時(shí)練習(xí))試用集合表示圖中陰影部分(含邊界)的點(diǎn).

【解析】由題意可得

所以圖中陰影部分(含邊界)的點(diǎn)組成的集合為｛(x,y)I-1WxW3,0WyW3｝.

變式12.(2023?河南周口?高一周口恒大中學(xué)?？茧A段練習(xí))用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；

⑵不等式2%-3>5的解集；

⑶方程V+工+1=0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；

(4)拋物線y=-X2+3X-6上所有點(diǎn)組成的集合；

(5)集合｛1,3,5,7,9｝.

【解析】(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為：｛》1尤=3上水eZ｝

⑵不等式2%-3>5的解集，用描述法可表示為：｛x|x〉4,xeR｝.

⑶方程d+x+1=0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，

用描述法可表示為：｛x|Y+x+l=O,xeR｝.

⑷拋物線y=-/+3》一6上所有點(diǎn)組成的集合，

用描述法可表示為：｛（x,y）ly=-d+3x-6｝.

（5）集合｛1,3,5,7,9｝,用描述法可表示為:｛x|x=2n-l,lgn<5MMeN*｝.

題型6：集合表示的綜合問(wèn)題

例16.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于左eA,如果左-IgA,k+\^A,那

么稱％是A的一個(gè)“孤立元”.給定S=｛1,234,5,6,7,8｝,由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的

集合共有個(gè).

【答案】6

【解析】由題意可知，不含“孤立元”的3個(gè)元素的集合中，集合中的3個(gè)元素一定是連續(xù)的3個(gè)自然數(shù)，列

舉出符合條件的集合，即可得出結(jié)果.由題意可知，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”時(shí)，這

三個(gè)元素一定是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，

故這樣的集合有：｛1,2,3｝、｛2,3,4｝、｛3,4,5｝、｛4,5,6｝、｛5,6,7｝、｛6,7,8｝,共6個(gè).

故答案為：6.

例17.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合｛x|（xT，—x+q）=0,無(wú)eR｝中的所有元素之和為1則實(shí)數(shù)〃的

取值集合為.

【答案】｛0｝。\，+曰

【解析】集合析（/-/+力=0,—周中的所有元素之和為1，

則：①當(dāng)。=0時(shí)，集合只有。和1兩個(gè)元素，故滿足所有的元素和為1.

②當(dāng)x2-x+a=0沒有實(shí)根時(shí)，/<0,即1—4。<0,解得：a>\.

4

綜合①②得:〃￡｛0｝u,+8].

故答案為｛0｝口\，+8：

例18.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4=卜辰2-3工-4=。｝.

（1）若A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的?取值范圍.

【解析】（1）由于A中有兩個(gè)元素，

關(guān)于尤的方程亦2一3x-4=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

9

A=9+\6a>0,且〃wO,即---，且awO.

16

9

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是弓且aw。}

16

4

(2)當(dāng)a=O時(shí)，方程為-3x-4=0,%=-§，集合A只有一個(gè)元素；

當(dāng)時(shí)，若關(guān)于1的方程分2_3%-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則A中只有一個(gè)元素，即A=9+16。=0,

9

a=-

16

9

若關(guān)于1的方程依2一3x-4=0沒有實(shí)數(shù)根，則A中沒有元素，即A=9+16〃<0,

16

9

綜上可知，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是{。1。？/或a=。}

16

變式13.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知集合4=,€尺|加+2%+1=0},其中敏區(qū).

(1)1是A中的一個(gè)元素，用列舉法表示A；

(2)若A中至多有一個(gè)元素，試求。的取值范圍.

【角星析】(1)因?yàn)?wA,所以。+2+1=0,得1=一3,

所以A={XER|—3d+2x+l=0}={-1,1}.

(2)當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí),ox?+2%+1=。只有一個(gè)解，

所以。=o或L),

所以a=0或。=1,

當(dāng)A中沒有兀素時(shí)，加+2無(wú)+i=o無(wú)解，所以《八，解得“>1,

[A=4-4a<0

綜上所述：a=0或421.

變式14.(2023?高一課時(shí)練習(xí))集合M滿足：若aeM,則/衛(wèi)eM(aW±1且aW0)已知3eM,試求集合

1-a

M中一定含有的元素.

_1+［二］21+￡

［解析］.==,—(:、=1二EM,/-2-=3GM,

1-32)3i_」22J

I3J32

???在M中還有兀素—2,--,

32

故集合M一定含有的元素有3,-2,-；,；.

變式15.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）集合A中的元素是實(shí)數(shù)，且滿足條件①若aeA,則JeA,②2e4,求:

\-a

（1）A中至少有幾個(gè)元素？

（2）若條件②換成3eA,A中至少含有的元素是什么？

（3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.

.1.rI----v=2wA

【解析】(1)因?yàn)?e/,由①知，-^―=-leA,而-leA,則：八A而7￡A,貝！]1

1—2—?LD/2

所以集合A中至少有3個(gè)元素.

.1.EI------------=-GA_2.fi-=3wA

(2)因?yàn)?￡A,由①知，---=——eA而一7￡人，則1(1、3，而彳EA,貝2

1—3221-(--)31--

19

所以集合A中至少含有的元素是3,-

]_3T二4"

(3)令4eA,由①知，--7=一而一貝,14，而則

1-4331-(,--)A41--

4

13

所以集合A中至少含有的其它元素是.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2023?陜西榆林?高一校考階段練習(xí)）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）

A.上課遲到的學(xué)生

B.2022年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有有理數(shù)

D.小于尤的正整數(shù)

【答案】B

【解析】對(duì)于B中難題沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)同一題有人覺得難，但有人覺得不難，故2022年高考數(shù)學(xué)

難題不能構(gòu)成集合，組成它的元素是不確定的.

其它選項(xiàng)的對(duì)象都可以構(gòu)成集合.

故選：B

2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）由小,2—a,3組成的一個(gè)集合4若A中元素個(gè)數(shù)不是2,則實(shí)數(shù)。的取值可以

是（）

A.-1B.1C.6D.2

【答案】D

【解析】由題意由片，2-a,3組成的一個(gè)集合A,A中元素個(gè)數(shù)不是2,

因?yàn)?=2-a=3無(wú)解，故由2-a,3組成的集合4的元素個(gè)數(shù)為3,

故“2*2—0片3,即aw—2,aw1,。w-l,aw土石，即?？扇?,

即A,B,C錯(cuò)誤，D正確，

故選：D

3.(2023?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)集合4={(%>)|*->20,依+丁22,彳一今<2},則()

A.當(dāng)〃=1時(shí)，(1,1)AB.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，(1,1)GA

C.當(dāng)a<0時(shí)，(1,1)AD.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(1,1)任A

【答案】C

【解析】當(dāng)"=1時(shí)，A={(x,y)\x-y>0,x+y>2,x-y<2],

1-1>0

將。,1)代入A得：，1+1N2成立，故即A錯(cuò)誤；

1-1<2

若a=0時(shí)，此時(shí)將(1,1)代入◎+>=122不成立，即B錯(cuò)誤；

當(dāng)a<0時(shí)，此時(shí)將(1,1)代入方+y=a+122不成立，即C正確；

1-1>0

若a=2時(shí)，此時(shí)將(1』)代入A得2+122成立，即D錯(cuò)誤；

1-2<2

故選：C.

4.(2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知集合4={-2,-1,0,1,2,3},B={x^A\-x^A\,則口=()

A.{1,2}B.{-2,-1}C.{0,3}D.{3}

【答案】D

【解析】???)={-2,—1,0,1,2,3},即集合8的可能元素-2,-1,0,1,2,3,則有：

由OeA,則-O=0eA,可得0色3；

由—leA,且leA,可得Te3,且1任3；

由一2eA,且2e/,可得一2e3,且2/B：

由3eA,且—3eA,可得3e3；

綜上所述：B={3}.

故選：D.

5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)A是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a/eA,都有

a+b,""期(除數(shù)20),則稱A是一個(gè)數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是()

b

A.NB.ZC.QD.{x|x關(guān)O.xeR}

【答案】C

【解析】l,2eN,|gN,故N不是數(shù)域，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，同理B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

任意a/eQ,都有。+仇。-仇0仇￡eQ（除數(shù)》wO）,故Q是一個(gè)數(shù)域，C選項(xiàng)正確;

b

對(duì)于集合人=｛彳1%W。2€1i｝,IGA,l-l=0gA,故｛x|xwO,xeR｝不是數(shù)域，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C

fx-2y-3z=0

6.(2023?高一課時(shí)練習(xí))方程組。'°八的解集可表示為()

[2x-y+3z=0

A.,(x,y,z)|%=gz,y==Z,Z￡R]B.，(％,y,z)IX=-：Z,y=-：Z,ZeR

C.{(x,y,z)\x=3z,y=3z,z￡R}D.{(x,y,z)\x=-3z,y=-3z,zeR}

【答案】D

If；；：二得22A3z)+(2x-y+3z)=。？3x

【解析】由3y=0?xy,

將x=y代入％-2y-3z=0^z=--x,所以x=y=-3z,

3

故選：D

7.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知集合A滿足--eA,若3EA,則集合A所有元素之和為（)

1-x

74

A.0B.1C.—D.一

63

【答案】C

1.1

【解析】集合A滿足VxeA,3eA,故里=-2eA,緊=-1eA,-4=^eA,

1-x1-31+231+12

3

1+-

T=3認(rèn)故人十一1行1口，

1--1*32

2

117

則集合A所有元素之和為：-2-彳+7+3=7

326

故選：C

8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4=卜吐2,且白EZ｝,則集合A中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

3

【解析】--eZ,2T的取值有-3、-1、1、3,又，，xeZ,?"值分別為5、3、1、-1,故集合A中

2-x

的元素個(gè)數(shù)為4,故選C.

考點(diǎn)：數(shù)的整除性

二、多選題

9.（2023?河南周口?高一周口恒大中學(xué)?？计谀┫铝姓f(shuō)法中不正確的是（）

A.。與｛0｝表示同一個(gè)集合

B.集合”=｛3,4｝與"=｛（3,4）｝表示同一個(gè)集合

C.方程（X-1）2（^-2）=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝

D.集合｛x|4<x<5｝不能用列舉法表示

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A中，。是一個(gè)元素（數(shù)），而｛0｝是一個(gè)集合，可得0e｛0｝,所以A不正確；

對(duì)于B中，集合M=｛3,4｝表示數(shù)3,4構(gòu)成的集合，集合N=｛（3,4）｝表示點(diǎn)集，

所以B不正確；

對(duì)于C中，方程（尤-（尤-2）=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝,根據(jù)集合元素的互異性，可得方程

（了-1）2@-2）=0的所有解的集合可表示為｛1,2｝,所以C不正確；

對(duì)于D中，集合｛x|4<x<5｝含有無(wú)窮個(gè)元素，不能用列舉法表示，所以D正確.

故選：ABC.

10.（2023?廣東佛山?高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┮阎螦=[x]xeN,三ez1,則下列屬于集合A的

元素有（）

A.-4B.3C.4D.6

【答案】CD

【解析】依題意，8-x是12的約數(shù)，而12的約數(shù)有±1,±2,±3,±4,±6,±12,

即8-xe｛-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12｝,則xe｛20,14,12,ll,10,9,7,6,5,4,2,T｝,

因?yàn)閤eN,因此xc｛20,14,12,11』0,9,7,6,5,4,2｝

所以CD正確，AB錯(cuò)誤.

故選：CD

11.（2023?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽(yáng)中學(xué)校考開學(xué)考試）（多選）給出下列關(guān)系中正確的有（）

A.—GRB.y/3eQC.—3eZD.—^/3gN

【答案】AD

【解析】因?yàn)間eR,垂，走Q,-3eZ,-6%N,

所以AD正確.

故選：AD.

12.（2023?云南?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合A=[o,a+b,，},A={2,2-6,c}若,貝物+6+c的值可能為

（）

323

A.-B.2C.—D.12

22

【答案】ABD

【解析】因?yàn)锳=3,所以2-。=0或c=0.

①當(dāng)6=2時(shí)，A=+3={2,0,c},

所以“+2=2或@=2,得4=0或4.

2

當(dāng)a=0時(shí)，A={0,2}不合題設(shè)，舍去.

當(dāng)a=4時(shí)，A={0,6,21,c=6,止匕時(shí)a+Z?+c=12.

②當(dāng)c=0時(shí)，A=\0,+—>,3={2,2—40},

。+。=2[a+b=2-bQ=1

a=0a=l

所以Jb或小解得:氏2或皿或片

當(dāng)a=0時(shí)，A={0,2}不合題設(shè)，舍去.

[a=\,、

當(dāng)力一[時(shí)，A=5={0,2,l},此時(shí)a+b+c=2.

當(dāng)，1時(shí)，A=B=|O,1,23

止匕時(shí)“+b+c=—.

b=—I22

I2

故選：ABD

三、填空題

13.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？既＃┘褐獅x|尤,一，nr+〃=o}={1},貝!]祖+〃=.

【答案】3

【解析】因?yàn)閧x|f-爾+〃=0}={1},所以二次方程無(wú)2一m+〃=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

貝l]A=機(jī)2-4〃=0①，

且方程的根為1,所以1-〃?+〃=0②，

聯(lián)立①②解得：m=2,n=l.

所以機(jī)+幾=3.

故答案為：3.

14.（2023?上海楊浦?復(fù)旦附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A={%,x2+1,-1）中的最大元素為2,則實(shí)數(shù)x=

【答案】1

【解析】因?yàn)椤?|+：＞0,所以

所以％2+1=2,解得％=1或%=-1,

顯然、=-1不滿足集合元素的互異性，故舍去，經(jīng)檢驗(yàn)x=l符合題意.

故答案為：1

xyzxyz

15.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知％為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式兄+（+臼+鬲的值所組成的集合是“，貝IJM=

【答案】{Y,0,4}

xyzxyz/

【解析】當(dāng)x，y，z都為正數(shù)時(shí)，可得R+向+向+扇=4;

當(dāng)x,y,z都為負(fù)數(shù)時(shí)，可得

xyzxyz

當(dāng)x,y,z兩正一負(fù)時(shí)，可得兄+加+向+西二0；

xyzxyz八

當(dāng)x,y,z一正兩負(fù)時(shí)，可得閉+凡+向+廚=0,

所以集合河={^,0,4}.

故答案為：{T,0,4}.

16.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知集合人={無(wú)皿2+2尤-1=0},若集合A中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的取值

的集合是.

【答案】{一1,0}

【解析】當(dāng)。=0時(shí)，A={x|2x-l=o）=14,滿足條件；

當(dāng)時(shí)，A={x|加+2x-l=0}只有1個(gè)元素，則二次方程判別式22+4a=0,解得a=—1.

故a=0或〃=—1

故答案為：{—1,。}

四、解答題

17.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

（1）由方程x（N—2x—3）=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;

(2)大于2且小于6的有理數(shù)；

(3)由直線y=—x+4上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點(diǎn)組成的集合.

【解析】(1)方程的實(shí)數(shù)根為-1,0,3,所以方程的實(shí)數(shù)根組成的集合可以表示為{—1,0,3);

(2)由于大于2且小于6的有理數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，可以用描述法表示該集合為{xGQ24<6}；

(3)用描述法表示該集合為Af={(x,y)\y=—x+4,x^N,y^N].

18.(2023?貴州安順?高一?？茧A段練習(xí))已知集合4={4+4〃+1,a+1},B^{x\x1+px+q=Q\,若leA.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)如果集合A是集合B的列舉表示法，求實(shí)數(shù)P，4的值.

【解析】⑴—，.?.〃+4°+1=1或者”+1三1

得Q=Y或〃=。，

驗(yàn)證當(dāng)。=0時(shí)，集合A={1，1},集合內(nèi)兩個(gè)元素相同，故舍去。=0

a=-4

⑵由上。=^得4={1，-3},故集合3中，方程無(wú)2+px+g=。的兩根為1、-3.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得。=一口+(-3)]=2,?=lx(-3)=-3.

19.(2023?黑龍江哈爾濱?高一黑龍江省哈爾濱市南崗中學(xué)校校考階段練習(xí))已知集合

4={。+2,(。+1)2,。2+3。+3},若leA,求實(shí)數(shù)a的取值集合.

【解析】因?yàn)閘eA,所以

①若a+2=l,解得。=-1,此時(shí)集合為{1,0,1},元素重復(fù)，所以不成立，即aw-l.

②若(a+l)2=l,解得。=0或a=—2,當(dāng)a=0時(shí)，集合為{2,1,3},滿足條件，即a=0成立.

當(dāng)a=-2時(shí)，集合為{0」」},元素重復(fù)，所以不成立，即a?2.

③若/+3a+3=l，解得。=-1或。=-2,由①②知都不成立.

所以滿足條件的實(shí)數(shù)。的取值集合為{。}?

20.(2023?福建福州?高一福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí))已知集合&={尤eRar2-3x-4=0).

(1)若leA,求集合A(用列舉法表示)；

(2)若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)閘eA,所以a-3—4=0,解得a=7,

4

解方程7爐—3元-4=0可得x=l或％=-亍，

所以集合

⑵當(dāng)a=0時(shí)，方程為-3x-4=0,

此時(shí)集合A=hWl，