數(shù)列真題(含答案)

數(shù)列真題演練一、選擇題1、【2017年高考全國I卷理數(shù)】記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．82、【2017年高考全國I卷理數(shù)】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，是A．440 B．330 C．220 D．1103、【2017年高考全國II卷理數(shù)】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞4、【2017年高考全國III卷理數(shù)】等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項的和為A． B．C．3 D．85、【2017年高考浙江卷】已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4+S6>2S5”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6、【2018年高考全國I卷理數(shù)】設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則A． B．C． D．7、【2018年高考浙江卷】已知成等比數(shù)列，且．若，則A． B．C． D．8、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A． B． C． D．9、【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則A．16 B．8 C．4 D．210、【2019年高考浙江卷】設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=an2+b，，則A．當(dāng) B．當(dāng)C．當(dāng) D．當(dāng)二、填空題1、【2017年高考全國II卷理數(shù)】等差數(shù)列的前項和為，，，則___________．2、【2017年高考全國III卷理數(shù)】設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．3、【2018年高考全國I卷理數(shù)】記為數(shù)列的前項和，若，則___________．4、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=___________．5、【2019年高考全國III卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________．三、解答題1、【2017年高考浙江卷】已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．證明：當(dāng)時，（1）0＜xn+1＜xn；（2）2xn+1?xn≤；（3）≤xn≤．2、【2018年高考全國II卷理數(shù)】記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值．3、【2018年高考全國III卷理數(shù)】等比數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）記為的前項和．若，求．4、【2018年高考浙江卷】已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1?bn）an}的前n項和為2n2+n．（1）求q的值；（2）求數(shù)列{bn}的通項公式．5、【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項公式.6、【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：對每個成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）記證明：7、【2020年高考浙江卷】已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足．（Ⅰ）若{bn}為等比數(shù)列，公比，且，求q的值及數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若{bn}為等差數(shù)列，公差，證明：．8、【2020年高考全國I卷理數(shù)】設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．?dāng)?shù)列真題演練答案一、選擇題1、【答案】C【解析一】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C．【解析二】因為，即，則，即，解得，故選C．【名師點睛】求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.2、【答案】A【解析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時，所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.【名師點睛】本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷.3、【答案】B【解析】設(shè)塔的頂層共有燈盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個首項為，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有，解得，即塔的頂層共有燈3盞，故選B．4、【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由a2，a3，a6成等比數(shù)列可得，即，整理可得，又公差不為，則，故前6項的和為.故選A．5、【答案】C【解析】由，可知當(dāng)時，有，即，反之，若，則，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要條件，選C．6、【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B．7、【答案】B【解析】令則，令得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此.若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，，故選B.8、【答案】A【解析】由題知，，解得，∴，,故選A．9、【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．10、【答案】A【解析】①當(dāng)b=0時，取a=0，則.②當(dāng)時，令，即.則該方程，即必存在，使得，則一定存在，使得對任意成立，解方程，得，當(dāng)時，即時，總存在，使得，故C、D兩項均不正確.③當(dāng)時，，則，.（ⅰ）當(dāng)時，，則，，，則，，故A項正確.（ⅱ）當(dāng)時，令，則，所以，以此類推，所以，故B項不正確.故本題正確答案為A.二、填空題1、【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由題意有，解得，數(shù)列的前n項和，裂項可得，所以．2、【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項公式可得．3、【答案】【解析】根據(jù)，可得，兩式相減得，即，當(dāng)時，，解得，所以數(shù)列是以?1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，故答案是.4、【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．5、【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因，所以，即，所以．三、解答題1、【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【解析】（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．當(dāng)n=1時，x1=1>0．假設(shè)n=k時，xk>0，那么n=k+1時，若，則，矛盾，故．因此．所以，因此．（2）由得，．記函數(shù)，，函數(shù)f(x)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以=0，因此，故．（3）因為，所以，由，得，所以，故．綜上，．2、【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16．3、【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得.由已知得，解得（舍去），或.故或.若，則.由得此方程沒有正整數(shù)解.若，則.由得，解得.綜上，.4、【答案】（1）；（2）.【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力和綜合應(yīng)用能力.（1）由是的等差中項得，所以，解得.由得，因為，所以.（2）設(shè)，數(shù)列前n項和為.由解得.由（1）可知，所以，故，.設(shè)，所以，因此，又，所以.5、【答案】（1）見解析；（2），.【解析】（1）由題設(shè)得，即．又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．由題設(shè)得，即．又因為a1–b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，．所以，．6、【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得，解得．從而．所以，由成等比數(shù)列得．解得．所以．（2）