3.3冪函數(shù)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

3.3冪函數(shù)安徽淮南第四中學(xué)2024.61.理解冪函數(shù)的概念，會畫冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，

的圖象；教學(xué)目標(biāo)2.結(jié)合這幾個冪函數(shù)的圖象，理解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)；3.通過觀察、總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生概括抽象和識圖能力，發(fā)展直觀想象，數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).重點：理解冪函數(shù)的概念，會畫冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，

的圖象；難點：結(jié)合這幾個冪函數(shù)的圖象，理解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)；

情

境

導(dǎo)

入

數(shù)學(xué)史上很早就借用“冪”字，起先用于表示面積，后來擴充為表示平方或立方.1859年中國清末大數(shù)學(xué)家李善蘭(1811～1882)譯成《代微積拾級》一書，創(chuàng)設(shè)了不少數(shù)學(xué)專有名詞，如函數(shù)、極限、微分、積分等，并把“Power”這個詞譯為“冪”．這樣“冪”就轉(zhuǎn)譯為若干個相同數(shù)之積．高一年級運動會即將到來，在此期間有如下問題：(1)如果某同學(xué)參加引體向上比賽，每秒鐘可以做一個標(biāo)準(zhǔn)的引體向上，那么他做的引體向上數(shù)量P(個)是關(guān)于時間ω(秒)的函數(shù)嗎？函數(shù)解析式為

.P=ω,ω＞0(2)如果跳遠(yuǎn)場地為正方形，邊長為a，那么場地占地面積S是關(guān)于邊長a的函數(shù)嗎？函數(shù)解析式為

.S=a2,a＞0(3)如果新建的醫(yī)務(wù)室為正方體，棱長為b，那么醫(yī)務(wù)室的體積V是關(guān)于棱長b的函數(shù)嗎？函數(shù)解析式為

.V=b2,b＞0(4)如果游泳館正方形場地的面積為S，那么該場地的邊長c是關(guān)于面積S的函數(shù)嗎？函數(shù)解析式為

.(5)如果1km田徑比賽中某同學(xué)用時ts，那么他的平均速度v(km/s)是關(guān)于時間t(s)的函數(shù)嗎？函數(shù)解析式為

.t＞0觀察上述函數(shù)解析式，它們在形式上有什么共同特征這些函數(shù)的解析式都有冪的形式，而且都是以冪的底數(shù)為自變量；冪的指數(shù)都是常數(shù)，分別是1,2,3，

，-1；它們都是形如y=xα的函數(shù).知識點一：冪函數(shù)的概念

一般地，我們把形如

y=xα的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，α為常數(shù)。(1).具有冪的形式且系數(shù)為1；(2).冪的底數(shù)x是自變量；(3).冪的指數(shù)α

是常數(shù).xα前面的系數(shù)是1，例1.已知函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值．練：在函數(shù)①y=②

y=

3x3③

y=

2x+1④

y=

2

⑤x3

⑥中，是冪函數(shù)的是（）

.①⑤⑥

3知識點二：冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)

冪函數(shù)的圖像xyoy＝x2y＝x3y＝x【總結(jié)】①只有α

=1時圖像才是直線；②圖像一定會出現(xiàn)在第一象限，

一定不會出現(xiàn)在第四象限；③圖像一定經(jīng)過(1,1)這個定點；④α>0

時，圖像在定義域內(nèi)上升；⑤

α<0時，圖像在第一象限下降；定義域值域單調(diào)性公共點R上R上y=xy=x3y=x2RRRRR[0，+∞)[0，+∞)[0，+∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)在（－∞,0]上在(0,+∞）上在(0，+∞)上在(－∞,0)，(0,+∞）上（1，1）冪函數(shù)性質(zhì)：1)定點：所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；當(dāng)α＞0時，冪函數(shù)的圖象都通過原點2)單調(diào)性：當(dāng)α＞0時，在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù)當(dāng)α＜0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù).3)奇偶性：

當(dāng)α為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù),

當(dāng)α為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù)題型一冪函數(shù)的概念例1(1)在函數(shù)y＝x-2,y＝2x2,y＝(x＋1)2,y＝3x中,冪函數(shù)的個數(shù)為(

)A.0B.1C.2D.3根據(jù)冪函數(shù)定義可知,只有y＝x-2是冪函數(shù)因為f(x)是冪函數(shù),所以m2-4m-4＝1,即m2-4m-5＝0,解得m＝5或m＝-1題型二冪函數(shù)的圖像及應(yīng)用例2

如圖是冪函數(shù)y＝xn的部分圖象,已知n取

,2,-2,-這四個值,則與曲線C1,C2,C3,C4相對應(yīng)的n依次為(

)A.2,，-

，-2B.-2,-,,2C.-

,-2,2,D.2,,-2,-xyo11C1C2C3C4α＞1時向上凹，0＜α＜1時向下凹，

xyoxyoxyoxyoABCD二、四題型三冪函數(shù)簡單性質(zhì)的應(yīng)用角度1比較冪的大小冪函數(shù)y=xα在(0，+∞)上單調(diào)性與α

有什么關(guān)系？例3.比較下列各組中冪值的大小:

角度二由冪函數(shù)的大小求字母的取值范圍∵函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1，2.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數(shù)，∴m＝1.∴3-2a＜a+1＜0或a+1＞3-2a＞0或a+1＜0＜3-2a設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα,因為其圖象過點(2,8),所以2α＝8,解得α＝3,所以f(x)＝x3.因為f(x)＝x3在R上為增函數(shù),所以由f(a-3)＞f(1-a),得a-3＞1-a,解得a＞2.所以滿足不等式f(a-3)＞f(1-a)的實數(shù)a的取值范圍是(2,＋∞).利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式的步驟(1)確定可以利用的冪函數(shù);(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性,將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系;(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍時,注意分類討論思想的應(yīng)用.鞏固練習(xí)1.若f(x)＝

,則函數(shù)f(4x-3)的定義域為(

)易知f(x)＝

的定義域為(0,＋∞),則4x-3∈(0,＋∞),即x∈

,2.函數(shù)f(x)＝xa＋b,不論a為何值,f(x)的圖象均過點(m,0),則實數(shù)b的值為(

)A.-1B.1C.2D.3∵冪函數(shù)y＝xa過定點(1,1),∴f(x)＝xa＋b過定點(1,1＋b),結(jié)合已知條件可知1＋b＝0,則b＝-1.3.(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝xn,n∈{-2,-1,1,3}的圖象關(guān)于y軸對稱,則下列說法正確的是(

)A.f(-2)＞f(1)B.f(-2)＜f(1)C.f(-2)＝f(-1)D.若｜a｜＞｜b｜＞0,則f(a)＜f(b)冪函數(shù)f(x)＝xn,n∈{-2,-1,1,3}的圖象關(guān)于y軸對稱,則n＝-2,則f(x)f(-x)＝f(x),且

f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,于是有f(-2)＝f(2)＜f(1)＝f(-1),則A錯誤,B正確,C錯誤;若｜a｜＞｜b｜＞0,則f(｜a｜)＜f(｜b｜),即f(a)＜f(b)成立,故D正確.4.有四個冪函數(shù):①f(x)＝x-1;②f(x)＝x-2;③f(x)＝x3;④f(x)＝

.某同學(xué)研究了其中的一個函數(shù),并給出這個函數(shù)的三個性質(zhì):(1)是偶函數(shù);(2)值域是{y｜y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.對于函數(shù)①