2022年春蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)幾何壓軸題訓(xùn)練(附答案)

2022年春蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)幾何壓軸題專(zhuān)題訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,NA=30°,8。是△ABC的角平分線，DE1AB,

垂足為E,點(diǎn)尸在。E的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在線段4。上，且/BGF=60°.

(1)若。E=2,求AC的長(zhǎng)；

(2)證明：DF^AD+DG.

2.在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在A3、AC邊上，設(shè)BE與C。相交于點(diǎn)?

(1)如圖①，設(shè)/A=60°,BE、CD分別平分乙48C、ZACB,證明：DF=EF.

(2)如圖②，設(shè)BE_L4C,CO_LAB,點(diǎn)G在CO的延長(zhǎng)線上，連接AG、AF-,若NG=

Z6,BD=CD,證明：GD=DF.

3.已知：如圖，在RtZXABC中，/C=90°,AB^5cm,AC^3cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)沿

射線BC以Icm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(1)求BC邊的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求f的值；

(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求f的值.

4.如圖，已知A(a,b),A8_Ly軸于8,且滿(mǎn)足J/+(6-2)2=0,

(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)分別以AB,49為邊作等邊三角形△ABC和△A。。，如圖1試判定線段AC和。C

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

(3)如圖2過(guò)A作AELx軸于E,F,G分別為線段。E,AE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足NEBG

=45°,試探究變幽的值是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)說(shuō)明理由并求其值；如果變化，

FG

請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.【閱讀理解】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題:

如圖1,△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)

經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使QE=A。，請(qǐng)根據(jù)小明的方

法思考：(1)由己知和作圖能得到陽(yáng)的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范圍是.

4.6<AZ)<8B.6WAOW8C.1<AD<7D.1WAOW7

【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角

形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

【問(wèn)題解決】

(3)如圖2,是△ABC的中線，8E交AC于E,交4。于F,且AE=EF.求證：AC

BF.

6.在等邊△ABC的兩邊AS、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,。為AABC外一點(diǎn)，且/

MDN=60°,/BDC=120°,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線A3、AC上移動(dòng)時(shí),

BM、NC、之間的數(shù)量關(guān)系及△?1阿的周長(zhǎng)。與等邊AABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且。時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量

關(guān)系是;此時(shí)&=；

L

(2)如圖2,點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DMWDN時(shí)，猜想(/)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還

成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)

量關(guān)系如何？并給出證明.

7.已知△ABC為等邊三角形，。為AC的中點(diǎn)，/EDF=120°,DE交線段A2于E,DF

交直線BC于F.

(1)如圖(1),求證：DE=DF；

(2)如圖(2),若求證：CF^l.BC.

4

(3)如圖(3),若8￡=工4￡,則b=BC；在圖(1)中，若BE=4AE,則CP

3

8.如圖，在四邊形A8CD中，AD=BC=4,AB=CD,8。=6,點(diǎn)E從。點(diǎn)出發(fā)，以每秒

1個(gè)單位的速度沿ZM向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)廠從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C

-8-C作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)8出發(fā)沿8。向點(diǎn)。勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有

一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)證明：AD//BC.

(2)在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△OEG與△BFG全等的

情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)△OEG與△BFG全等的情況.

(1)如圖1,若NA=60°,ZC￡)￡=120°,5.CD+AB=BC.求證：CE平分/BCD；

(2)如圖2,ZA與/D互補(bǔ)，NDEA=2NCEB,若凸五邊形ABCDE面積為30,且

C￡)=2AB=4.求點(diǎn)￡到BC的距離.

3

10.已知△A8C之△ADE,且它們都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，連接8。并延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)R

①求證：NCBD=NEDF；

②求證：點(diǎn)尸為線段CE的中點(diǎn)；

(2)△AOE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，連接8。并延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)尸，點(diǎn)歹還

是線段CE的中點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖I圖2

11.已知在△ABC與△?)￡1中，AB=CD,/B=ND,ZACE=ZB,點(diǎn)8、C、。在同一

直線上，射線A//、￡；/分別平分/A4C、ZCED.

(1)如圖1,試說(shuō)明AC=CE的理由;

(2)如圖2,當(dāng)AH、E/交于點(diǎn)G時(shí)，設(shè)NB=a,NAGE=0,求0與a的數(shù)量關(guān)系,

并說(shuō)明理由;

(3)當(dāng)A8〃￡7時(shí)，求的度數(shù).

E

ZBAC=ZADE=90°.

(1)連接CE,若42=1,點(diǎn)、B、C、E在同一條直線上，求AC的長(zhǎng);

(2)將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),如圖2,8c與交于點(diǎn)FBC

的延長(zhǎng)線與AE交于點(diǎn)N,

過(guò)點(diǎn)。，作。/〃AE交8C于點(diǎn)M.

求證：①BM=DM；

②Ma=NF,NB.

BBA

圖1圖2

13.如圖1,2,3,將一個(gè)矩形ABC。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<aW90°），得到矩形ABiCifh,

①如圖1,當(dāng)a=90°時(shí)，點(diǎn)G恰好在。B的延長(zhǎng)線上，若A8=l,求的長(zhǎng)；

②如圖2,連接AQ,過(guò)點(diǎn)藥作。交3。于點(diǎn)線段與DM相等嗎？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

（2）在探究（1）②的條件下，射線。8分別交AOi、AQ于點(diǎn)尸、N（如圖3）.

求證：①M(fèi)N=AN；②M1^=PN，DN.

14.如圖1,在矩形A8C￡?中，點(diǎn)￡是C￡>上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將△ADE沿AE折疊，點(diǎn)

。落在點(diǎn)尸處，AE與。尸交于點(diǎn)。

（1）射線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,射線DF與BC交于點(diǎn)G.

i）求證：XADEsXDCG：

ii）若AB=10,AD=6,求CG的長(zhǎng)；

（2）如圖2,射線EF與A8交于點(diǎn)H,射線。F與BC交于點(diǎn)G,連接HG,若HG〃AE,

AD=10,DE=5,求CE的長(zhǎng).

A

圖1圖2

15.如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,46=10,BC=6.D、E分別是48、AC邊的

中點(diǎn)，連接。￡.現(xiàn)將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)?

(1)如圖2,點(diǎn)E正好落在4B邊上，CF與A。交于點(diǎn)尸.

①求證：AE-AB=AD'AC；

②求BE的長(zhǎng)；

(2)如圖3,若A尸恰好平分ND4E,直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng).

16.如圖，過(guò)。。外一點(diǎn)尸作。。的兩條切線融和PB,交0。于。和C,E在弦。C

上.且NZME=/PBC.

(1)求證：/AOC=NB4C；

(2)求證：AADEsABAC；

(3)若AO=5,BC=3,AC=4,試求8。的長(zhǎng).

17.如圖，在△ABC中，AB=AC,A0_L2C于點(diǎn)O,0E_LA3于點(diǎn)E,以點(diǎn)。為圓心，OE

的長(zhǎng)為半徑作半圓，交A。于點(diǎn)?

(1)求證：AC是。0的切線；

(2)若點(diǎn)尸是AO的中點(diǎn)，OE=3,求圖中陰影部分的面積；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)尸是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+尸尸取最小值時(shí)，求出8尸的長(zhǎng).

18.如圖，AABC為。0的內(nèi)接三角形,AB為。。的直徑，將△ABC沿BC翻折得到△O8C,

過(guò)點(diǎn)D作。。的切線DF,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F為切點(diǎn)，O。的半徑為?,Z

ABD=30°.

(1)求寶的長(zhǎng).

(2)若DE〃AB,連接AE.

①求證：四邊形為菱形.

②求。尸的長(zhǎng).

19.如圖，是O。的直徑，C是O。上一點(diǎn)，OOLAC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作O。的切線,

交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Af,0M交O。于點(diǎn)N,連接AM.

(1)求證：AM是。。的切線；

(2)若。N=4,AC=8?,求線段MN的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

20.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以4B為直徑的交AC于點(diǎn)。，連接8。,

△ADE是以為斜邊的直角三角形，且滿(mǎn)足/EAO=ND48,DE=DC.

(1)求證：DE為。0的切線；

(2)求證：DE1=EF-BD；

(3)若A2=l,求3。的長(zhǎng).

參考答案

1.(1)解：在RtZXABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

ZABC=60°,

?.?是△ABC的角平分線，DELAB,

:?CD=DE=2.ZCBD=ZABD=30°,

：.BD=2CD=4,

9：DELAB,ZCBD=ZABD=30°,

：.AD=BD=4,

：.AC=AD+CD=4+2=6,

：.AC的長(zhǎng)為6；

(2)證明：如圖，在OE上截取Z)〃=Z)G,連接GH,

VAD=BD,ZA=ZABD=30°,

：.ZBDE=ZADE=60°,

???△0GH是等邊三角形，

：?NDGH=/DHG=60°,

9：ZBGF=6Q°,

AZ1+ZHGB=Z2+ZHGB=60°,

AZ1=Z2,

'：ZBDC=ZDHG=6Q°,

ZBDG=ZFHG=120°,

在△BOG和△尸HG中，

'N1=N2

,DG=HG，

ZBDG=ZFHG

???△BDG義LFHG(ASA),

：.BD=FH,

?/DF=FH+DH=BD+DG=AD+DG,

:.DF=AD+DG.

2.證明：(1)如圖，在2c上截取連接-W,

：.ZBFC=9Q°+60°4-2=120°,

AZBFD=60°,

；BE平分/ABC,

：.Z1=Z2,

在△BFD和△8FM中，

'BD=BM

<Z1=Z2>

BF=BF

：./\BFD^/\BFM(SAS),

：.ZBFM=ZBFD=60°,DF=MF,

：.ZCFM=120°-60°=60°,

:/CFE=NBFD=60°,

：.ZCFM=ZCFE,

平分/ACB,

.-.Z3=Z4,

又CF=CF,

在和△MCB中，

fZCFE=ZCFM

，F(xiàn)C=FC，

./3=/4

：./\ECF^/\MCF(ASA),

：.EF=MF,

：.DF=EF；

(2)VBEXAC,CD±AB,

：.ZBDF=ZCDA=90°,

.'.Zl+ZBFZ)=90o,Z3+ZCFE=90°,ZBFD=ZCFE,

???N1=N3,

?：BD=CD,

在尸和△CD4中，

'NBDF=NCDA

<BD=CD，

Z1=Z3

:?ABDF咨ACDA(ASA),

：.DF=DAf

VZAZ)F=90°,

.*.Z6=45°,

VZG=Z6,

???N5=45°

：.ZG=Z5,

???GD=DA,

：.GD=DF.

3.解：(1)在RtZXABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,

.\BC=4(cm)；

(2)由題意知3P=/CM,

①當(dāng)NAP5為直角時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，BP=BC=4cm,即￡=4；

②當(dāng)N8AP為直角時(shí)，BP=tcm,CP=(L4)cm,AC=3cm,

在RtZkACP中，

AP2=32+(r-4)2,

在RtZXBAP中，AB1+AP2=BP2,

即：52+[32+(L4)勺=落

解得：尸至，

4

故當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，/=4或/=空；

4

(3)①當(dāng)時(shí)，t=5；

②當(dāng)時(shí)，BP=2BC=8cm,r=8；

③當(dāng)8P=AP時(shí)，AP=BP=tcm,CP=(4-/)cm,AC=3cm,

在RtZXACP中，AP2=AC2+CP2,

所以?=32+(4-t)2,

解得：f=空，

8

綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，f=5或/=8或/=空.

圖③圖④圖⑤

解得：a=2,b=2,

則A的坐標(biāo)是(2,2)；

(2)AC=CD,且ACLLCD

如圖1,連接。C,CD,

VA的坐標(biāo)是(2,2),

：.AB=OB=2,

\'AABC是等邊三角形，

.-.ZOBC=30°,OB=BC,

：.ZBOC=ZBCO=15°,

:在直角△AB。中，/BOA=45°,

：.ZAOC=ZBOC-ZBOA=15°-45°=30°,

：△04。是等邊三角形，

：.ZDOC=ZAOC=30°,

即0C是/AOD的角平分線，

：.OC1AD,且0c平分A。，

：.AC=DC,

：.ZACO^ZDCO^60°+75°=135°,

/.ZACD=360°-135°-135°=90°,

：.AC.LCD,

故AC=CZ),且AC_LC￡).

延長(zhǎng)GA至點(diǎn)M,使A0=OF,連接

:在△BAM與△BOB中，

'AB=OB

<ZBAM=ZBOF-

AM=OF

:.ABAM以BOF(SAS),

；./ABM=/OBF,BF=BM,

VZOBF+ZABG=90°-NFBG=45°,

：.ZMBG^45°,

:在△FBG與△MBG中，

rBM=BF

'NMBG=/FBG，

BG=BG

；.AFBG鄉(xiāng)/XMBG(SAS),

：.FG=GM=AG+OF,

.OF+AG=1

FG,

5.(1)解：：在△AOC和△瓦啰中

'AD=DE

<NADC=/BDE，

BD=CD

/.AADC^AEDB(SAS'),

故選B；

(2)解：：由(1)知：AADC^AEDB,

：.BE=AC=6,AE=2AD,

二?在△ABE中，AB=8,由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6<2AD<8+6,

.?.1<AD<7,

故選C.

(3)證明：

延長(zhǎng)A。到M,使連接3M,

:A。是△ABC中線，

:.CD=BD,

:在△ADC和中

'DC=DB

<ZADC=ZMDB

DA=DM

:.AADC咨AMDB,

：.BM=AC,ZCAD=ZM,

'：AE=EF,

：.ZCAD=ZAFE,

,：ZAFE^ZBFD,

：.NBFD=/CAD=ZM,

：.BF=BM=AC,BPAC=BF.

6.解：（1）如圖1,BM,NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN,

此時(shí)旦上，

L3

理由：?;DM=DN,ZMDN=60°,

是等邊三角形，

,?.△ABC是等邊三角形，

/.ZA=60°,

■:BD=CD,ZBDC=120°,

：.ZDBC=ZDCB=30°,

ZMBD=ZNCD=90°,

?：DM=DN,BD=CD,

：.RSDM法RtACDN,

：.ZBDM=ZCDN=3Q°,BM=CN,

:?DM=2BM,DN=2CN,

：.MN=2BM=2CN=BM+CN；

：.AM=AN,

???△AMN是等邊三角形，

'：AB=AM+BM,

：.AM：AB=2：3,

???Q=2.

L3,

(2)猜想：結(jié)論仍然成立，

證明：在NC的延長(zhǎng)線上截取CMi=5M,連接QMi,

VZMBD=ZMi0)=90°,BD=CD,

：?ADBM注ADCMi,

：.DM=DMi,NMBD=NM1CD,MiC=BM,

VZMDN=60°,ZBDC=12Q°,

ZM\DN=ZMDN=60°,

:.AMDN絲AMiDN,

：.MN=MiN=MiC+NC=BM+NC,

：.AAMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB-^-AC,

?旦=2.

L31

(3)證明：在CN上截取CMi=8M,連接。Mi,

可證△O8M0ADCMi,

：.DM=DM\,

可證/AhZ)N=NMDN=60°,

:AMDN%AM1DN,

:.MN=MiN,

：.NC-BM=MN.

'：ZDMB=ZDNB=90°,ZABC=60°,

；./MDN=/EDF=120°,

ZMDE=NNDF,

「△ABC是等邊三角形，AD^DC,

：.ZDBA=ZDBC,

:*DM=DN,

：.ADME學(xué)ADNF,

:*DE=DF.

(2)如圖2中，作。K〃BC交AB于K.設(shè)AE=a,貝UBE=3a,AB=AC=BC=4a,

圖2

'：AD^DC,DK//CB,

:.AK=BK=2a,DK=2a=AD^AK,

2

.\AE=EK=a,

：.DE±AKf

：.ZBED=90°,

9：ZBED+ZBFD=1SO°,

:?NDFB=90°,

在RtZXCD尸中，???NC=60。,

CF=—CD=a,

2

.-.CF=ABC.

4

(3)①如圖3中，作。K〃3c交AB于K.

設(shè)BE=a,則AE=3a,AK=BK=2a,ZkADK是等邊三角形,

AZADK=60°,ZEDF=ZKDC,

:.NKDE=NCDF,

,:DK=DC,DE=DF,

：.4EDK烏AFDC,

：.EK=CF=a,'：BC=4a,

:.CF=1BC.

4

②如圖4中，由(1)可知

圖4

設(shè)A￡=a,貝！|BE=4a,AB—BC—AC—5a,AM=CN=,EM—FN—^-a,

44

:.CF=FN+CN=鼠,

2

/.CF-.BC=3a：5a=3：10,

2

：.CF^^-BC.

10

故答案為工，A.

410

8.(1)證明：在△ABD和△COB中，

'AD=BC

-AB=CD>

BD=DB

:.AABD經(jīng)ACDB(SSS),

：.ZADB=ZCBD,

J.AD//BC；

(2)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為v,

當(dāng)0Vt《暫時(shí)，

O

若ADEGq4BGF,

則，DE=BF,

1DG=BG

.ft=4-3t

,J6-BG=BG'

.Jt=1

|BG=3

/.v=3；

若ADEG四八BGF,

DE=BG,

則

DG=BF，

t=BG

6-BG=4-3t

.’=-1(舍去);

lBG=-l

當(dāng)當(dāng)＜t＜旦時(shí)，

3'

若ADEG咨ABFG,

則DE=BF

DG=BG'

t=3t-4

6-BG=BG

t=2

BG=3'

3

,,y="

2

若ADEGmABGF,

5

t=

ui，11DE=BG.(t=BG7

JDG=BF，"l6-BG=3t-4,

BG=y

v=l.

綜上，當(dāng)點(diǎn)G的速度為3或1.5或1時(shí).會(huì)出現(xiàn)△￡)￡＜；與△B/G全等的情況.

9.(1)證明：延長(zhǎng)C0到T,使得0T=84,連接

VZCZ)E=120°,

：.ZEDT=180°-120°=60°,

VZA=60°,

，ZA=ZEDT,

在△EAB和△EOT中，

'AE=DE

<ZA=ZEDT>

AB=DT

:.AEAB咨AEDT(SAS),

；.EB=ET,

：.CB=CD+BA=CD+DT=CT,

在△ECB和△ECT中，

fEC=EC

■EB=ET)

CB=CT

AECB當(dāng)△ECTCSSS),

；./ECB=/ECD,

:.CE平分/BCD.

(2)解：延長(zhǎng)CD到。，使得/QED=ZAEB,過(guò)點(diǎn)E作EHLBC于H.

圖2

VZA+ZCZ)￡=180°,ZCDE+ZEDQ=1^0°,

/A=/EDQ,

在△AEB和△QEQ中，

,ZAEB=ZDEQ

<EA=ED，

ZA=ZEDQ

絲△OEQ(ASA),

：.EB=EQ,

,：NAED=2/BEC,

???/AEB+/CED=NBEC,

：.NCED+/DEQ=/BEC,

:?/CEB=/CEQ,

在△(?防和ACEQ中，

'EB二EQ

<ZBEC=ZCEQ，

EC=EC

AAECB^AECe(SAS),

?S五邊形ABCDE=S四邊形EBCQuZSziEBCuS。，

??S^\EBC~15,

VCD=-2.AB=4,

3

：.AB=6,CD=4,

???BC=CD+QD=CD+AB=10,

.\AX10X￡H=15,

2

：?EH=3,

???點(diǎn)七到5C的距離為3.

10.(1)證明：?VAABC^AADE,

：.AB=ADfBC=DE,AE=AC,

VAABC,△ADE為等腰直角三角形，

：.AD=DE,AB=BC,

ZDAE=ZAED=ZBAC=ZBCA=45°,

在△ABO中，AB=ADf

：.ZABD=ZAZ)B=67.5°,

：.ZCBF=90°-ZAB￡)=22.5°,NEDF=90°-ZCDF=90°-ZADB=22.5°,

：.ZCBF=ZEDF,

：.ZCBD=ZEDF；

(2)VAE=AC,ZEAC=45°,

AZACE=ZAEC=61.5°,

VZADE=90°,

:?/DEC=225°,

VZFDC=ZFCD=61.5°,

：.EF=DF,DF=FC,

：?EF=FC,

工點(diǎn)廠為線段CE的中點(diǎn)；

(2)解：點(diǎn)尸還是線段CE的中點(diǎn)，理由如下:

過(guò)點(diǎn)E作EG〃8C交5尸延長(zhǎng)線于G,

：.ZEGF=ZCBF,/FEG=NFCB,

9

：AB=ADf

：.ZABD=ZADB,

VZADE=ZABC=90°,

；./EDG=90°-ZADB=90°-ZABD=ZFBC,

:?/EDG=/EGD,

：.DE=EG,

■:DE=BC,

：.EG=BC,

VZFEG=ZFCB,/FGE=NFBC,

:?△EFG"ACFB(ASA),

：.EF=CF,

???方為EC的中點(diǎn).

11.(1)證明：VZACD=ZACE+ZECD=ZA+ZB,

又/B=/ACE,

：.ZA=ZECD.

在△ABC和△CDE中,

，ZB=ZD

-AB=CD，

ZA=ZECD

/.AABC^ACDE(ASA).

C.AC^CE.

(2)解：3a-20=180°.理由如下：

如圖1所示，連接GC并延長(zhǎng)至點(diǎn)K.

\'AH.E/分別平分NBAC、ZDEC,

則設(shè)NCA8=N3AH=a,NCEI=NDEI=b,

?//ACK為AACG的外角，

ZACK^a+ZAGC,

同理可得/ECK=b+NEGC,

ZACE=ZACK+ZECK=ZB=a

=(q+NAGC)+(b+/EGC)=〃+/?+NAGE=〃+/?+0,

即a=a+b+0,

a+b=a-p.

又由(1)中證明可知NECZ)=NR4C=2〃，

由三角形內(nèi)角和公式可得,

即2〃+2b+a=180°,

.*.2(〃+/?)+a=180°,

.'.3a-2p=180°.

(3)當(dāng)A"〃E/時(shí)，如圖2所示，

過(guò)點(diǎn)C作MN//AH.則MN//AH//EI.

：.ZCAH=ZACM=a,ZCEI=ZECM=b,

，NACE=NACM+NECA/=〃+Z?=a,即a=〃+b.

由(1)中證明可得NEC￡)=NBAC=2〃，ZD=ZB=a.

在△CEO中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有NECD+NCED+ND=180°,

即2。+25+。=180°,

即2(q+b)=180°-a,

即3a=180°,解得：a=60°.

故NB=60°.

12.⑴解：VAABC^A￡)A￡,

：.AD^AB=1,AC=DE,

：/BAC=NAOE=90°,

C.AB//DE,

：.AABC^ADEC,

AB=AC

DECD，

-1=AC

"AC1-AC'

解得AC=近二1；

2

(2)證明：①連接BD,

?/△ABgADAE,

ZABC=ZDAE,AB=DA,

9：DM//AE,

：.ZMDA=ZDAE,

：.ZABC=ZMDAf

'：AB=DA,

：.ZABD=ZADB,

：.ZABD-ZABC=ZADB-NMDA,

：./MBD=/MDB,

：.BM=DM；

②連接K4,

由①知，BM=DM,AB=DA,

*：AM=AM,

AAAMB^AAMD(SSS),

，ZBAM=ZDAM.

由①知，ZABC=ZDAE,

：.ZABC+ZBAM=ZDAE-^ZDAM,

：./AMN=/NAM,

:?MN=AN,

9：ZBNA=ZANF,ZABC=ZDAE,

：.AANFsABNA,

???—AN二NF”,

BNAN

：.AN2^BN'NF,

：.MI^=NF?NB.

圖2

13.(1)解：①如圖1,?.?四邊形ABC。是矩形，

:.CD=AB,BC=DA,/BAD=90°,

:將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形ABiCiDi,

：.ZDiAD=ZBAD=9Q°,CiDi=CD=AB=l,

.?.AB與AD1重合，即點(diǎn)A、B、Di在同一條直線上，

設(shè)BC=DA=DiA=x,貝!]D\B=x-1,

VZ￡>i=ZBA￡>=90°,ND1BC1=NABD,

：.ADiBCi^AZABD,

.D[B=C[Di

""AB--DA

??x?-1—-,1

1X

解得尤1=上度，琛=土返(不符合題意，舍去)，

22

：.BC=

2

②理由如下：

如圖2,連結(jié)ODi,

VADi=AD,

ZADiD=ZADDif

9

：DiCi=AB,NCi0iA=N8AO=9O°,ADi=DAf

.,.△CiDiA^ABAT)(SAS),

：.ZDiACi=ZADB,

9：DiM//ACi,

：.ZADiM=ZDiACi,

：.ZADiM=ZADB,

：.ZADiD-ZADiM=ZADDi-ZADB,

：.ZMDiD=ZMDDu

：.DiM=DM.

(2)證明：如圖3,連結(jié)AM,

@a：ADi=AD,DiM=DM,AM=AM,

：.AADiM^/\ADMCSSS'),

：.ZAD1M=AADM,ZMADi=ZMAD,

???ZADiM=ZNADif

：.ZNADi=ZADM,

：.ZNADi-i-ZMADi=ZADM+ZMAD,

VZNAM=ZNADi+ZMADi,ZNMA=ZADM+ZMADf

：./NAM=NNMA,

：.MN=AN.

②:ZNADi=ZADMf

：.NNAP=NNDA,

'：ZANP=ZDNA,

：.XANPsXDNA,

?PN=AN

**ANDN

：.AN2=PN'DN,

:.M?=PN,DN.

14.解：（1）z）由翻折可得，AADEHAFE,DF1AETO,

：.ZCDG+ZADO=90°,ZADO+ZEAD=90°,

：.ZCDG=ZEAD,

VZADE=ZDCG^9Q°,

叢ADEs叢DCG；

n）\'AB^10AAD￡^AAF￡,

：.AF=AD=6,

在RtAABF中,BF={AB2-AF?=7102-62=

設(shè)DE=EF=x,CE^10-x,BC=AD=6,

在RtABCE中，BE1=BC1+CE1,

即（8+尤）2=62+（10-x）2,

解得：x—2,

由z）可知△AOEs2XocG,

??--A--D----D--C,

DECG

???--6---1-0,

2CG

解得：CG=M；

3

（2）由i）可知，AADEsADCG,

?ADDC10n

DECG5

同理可得，AADEsADOE,

即以a

0EDE/

9

：ZOAD=ZODEfZADE=ZDOE=90°,

*：HG//AE,

：./\HGF^/\EDF,

?；ADOE義AFOE,

?HG_EQ_1

,?而而至，

,：ZBGH+ZCGD=9Q°,ZBHG+ZBGH=90°,

:.NCGD=NBHG,

VZB=ZC=90o,

:.叢BHGs^CGD,

??D?C=---B--G=y門(mén),

CGBH

綜上所述，ABHGsACGDsADEAsAOEDsAGHF,

設(shè)CE=x,DC=5+x,CG=-^il,BG=10-CG=10-立區(qū)=2^_,8〃=_1"?=運(yùn)三

22224

HG=y[sBH=立（15-x）,

4

,:HG：GP=1：2,

...GF=V5（15-X）

2

在△AOE中，AD=10,DE=5,AE=5疾,D0=^D<lE_=5XIQ

AE5v5

..11

?萬(wàn)AE?0D=qAD-0E=S^&E'

..DO

?---二0n

OE

：.0E=娓,D0=0F=2a,

在△OCG中，DC=5+x,CG=5+x,￡)G=Z)F+FG=4、左擊115-xJ

22

?.?D布G寺f

：.DG=^CG,

即外小片)/x等,

解得：尤=9,

即CE=9.

15.(1)①證明：：。、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，

：.DE//BC,

：.LADEsAABC,

AAE=AD；

?,瓦AB)

：.AE-AB=AD'AC；

②解：如圖1,

作CG_LA2于G,作FH±AB于H,

在Rt^ABC中，AB=10,BC=6,

；.AC=8,

：.AE=4,

：.BE^AB-AE^6,

,.,BG=BOCOSZABC=6^=6X_L=1S,

AB105

CG=8C?sin/ABC=6X

105

：.EG=BE-8G=6-

55

tanZFEH=tanZCEG=里=Q

EG

：.tanZFEH=^=n,

EH

設(shè)EH=a,FH=2a,

■an/J^—FH口-=2,

BHBE

：.BH=4a,

；BH-EH=BE,

??A-ci-〃=6,

:?Q=2,

：?FH=4,BH=8,

BF=VFH2+BH2=V12+82=4^;

(2)如圖2,

?.ZAFD=ZAED=90°,

...點(diǎn)A、E、F、。共圓，

：.ZDEF=ZDAF,

設(shè)AF與。E的交點(diǎn)為。，作OG_LA。于G,作AH_LCT于X,

：4尸平分/。4￡,

/.OG=OE,AG=AF=4,

：.DG=AD-AG=1,

設(shè)OG=OE=x,

:?OD=3-x,

在RtADOG中，

(3-x)2-x2=l2,

.??人r=4f

3

OG=OE=A,

3

_4

.,.tanZDAF=^-^_=A,sinZDAF^^ZM,COSC=3a

AG431010

VZA￡D=90°,

：.ZAEH+ZDEF=90°,

VZAEH+ZEAH=90°,

ZEAH=ZDEF=ZDAF,

：.EH=AE-sinZEAH=4X,

105

AH=AE-cosZEAH^4xMH^^m,

105

???6=必而=荷_智)2=彎1

CE=EH+CH=2V10+2V310.

5

;以是OO的切線，

.'.ZMC+ZB4C=90°,

VZAFC+ZMC=90°,

ZAFC=ZPAC,

ZADC=ZAFC,

：.ZADC=APAC,

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)8作直徑BG,連接GC,

AZG+ZGBC=90°,

：尸3是OO的切線，NGBC+NCBP=90°,

：.ZG=ZCBP,又NG=/BAC,

；.NBAC=NCBP,

'：ZDAE=ZPBC,

：.ZDAE=ZBAC,

,：ZADE=ZABC,

：.△ADEs^BAC,

(3)如圖，過(guò)A作AN_L尸。于點(diǎn)M過(guò)B作于M,則AN=4Z>sinNA￡)C,BM

=BD-sinZBDC,

S

...APAC_AN=AD-sinNADC

^APBCBMBD?sinNBDC

又SAPAC=/PA，AC?sin/PAOSNBC=-^-pg?BC?sin/PB。

?S^PAC=PA?AC-sin/PAC,

^APBCPB,BC?sin/PBC

U：PA,PB是OO的切線，

：.PA=PB,

...SAPAC—AOsin/PAC,

^APBCBOsinNPBC

?AD>sinZADC=AC>sinZPAC

"BD-sinZBDCBOsin/PBC,

由(1)知：AADC=ZPAC,ZBDC=ZPBC,

?-?-A-D二--A-C,

BDBC

??5?二--4,

BD3

4

17.(1)證明：過(guò)。作。M_LAC于M,如圖：

\"AB=AC,AO1BC,

平分aBAC,

'JOELAB,OM±AC,

：.OE=OM,

：0E為。O半徑，

.?.0〃為O。半徑，

，AC是。。的切線；

(2)解：：0M=0E=0B=3,且尸是。4中點(diǎn),

：.OA=6,

在RtaAE。中，AE=^OA2_OE2=373,

/.S^AOE=—AE'OE=-'^",

22

"：0ELAB,0A=6,0E=3,

：.ZEAO=30°,ZAO￡=60°,

r.S扇形。EF=60兀><32=4,

3602

973_3兀.

:.s陰影S/\AOE~S扇形OEF=-----；

2-----2

(3)解：作尸關(guān)于8c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接EG交2C于尸，連接EF,如圖:

此時(shí)PE+PF最小，最小值為EG的長(zhǎng)度，

:尸、G關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，

：.ZFOP=ZGOP=90°,

：.ZFOP+ZGOP=liO°,即尸、0、G共線,

由(2)知/EO/=60°,OG=OF=OE,

：.ZG=30°,NEOB=30°,

：.ZGPO=ZB=60Q,

：.ZEPB=ZB=60°,

...△防尸是等邊三角形，

：.BP=BE,

而Rt2\BOE中，BE=----更----=如,

tan/BOE

:.BP=g

18.(1)解:如圖,連接。C,

AABC沿BC翻折得至！

：.AC=DC,

；.OC為△ABO的中位線，

OC//BD,

：.ZAOC^ZABD=30°,