浙江省紹興市2023-2024學年高二年級下冊6月期末考試數(shù)學試題（含答案）

紹興市2023學年第二學期高中期末調(diào)測

高二數(shù)學

注意事項，

i.請將學校、班級、姓名分別填寫在答卷紙相應(yīng)位置上。本卷答案必須做在答卷相應(yīng)

位置上。

2.全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知集合/={x|-2<x<2},B={x|x<2},貝U

A.2GBB.(q/)UB=RC.A=BD.ADB^0

則無=

2.若4=l+2i,:z2=2+i,

Z2

43.上34.34.

A.—+—1B.3C.—+-iD.------1

55555555

3.若函數(shù)/(》)=2f+"—》在xe[0,l]上有兩個不同的零點，則下列說法正確的是

A.62+8a>0B.a-b>—2C.b<0D.-2<a<0

4.已知向量a"滿足|。|=1，\b\=2,(a-6)1(3a+6),則向量包與5夾角的余弦值是

V15

A-4B.-C.D店

4~4~4

714

5.已知cos(—+a)=—,—<a<—7i,貝！Jcos2a=

44

A.」B.L24

C.D喘

252525

6.將編號為1,2,3,4,5,6的6個小球放入編號為1,2,3,4的4個盒子中，每個

盒子至少放1個小球，則不同的放法種數(shù)是

A.2640B.2160C.1800D.1560

111-----

7,設(shè)4,3為兩個隨機事件,若尸(4)=1，P(B)=-,P(B\A)=~,貝I」尸(B|4)=

A，7CD-

IB.,卷I

12

高二數(shù)學試卷第1頁(共4頁)

8.已知函數(shù)”*)的定義域為“，2］，對定義域內(nèi)任意的孫/，當玉時，都有

|/(所)-/(多)卜修占-引，則下列說法正確的是

A.若了(丫)=?+丫，貝!)后<10

B.若/(x)=1"2一*,則上4，

232

C.若"1)=/⑵，則1〃石)-/(?2)|<g

D.函數(shù)^=/。)和卜=在［1,2］上有相同的單調(diào)性

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知X，y都是正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

A.—+—^：2B.(x+y)(—+—)>4

yxxy

C.x+y>\+xyD.x2+y2>2(x+y-T)

10.四位同學各擲大小一致、質(zhì)地均勻的骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù).四位同

學的統(tǒng)計結(jié)果如下，則可能出現(xiàn)點數(shù)6的是

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2B.平均數(shù)為2,方差為2.4

C.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2D.中位數(shù)為3,方差為2.8

11.已知函數(shù)［(x)=sin(7ix)+esin"則下列說法正確的是

A.〃x)41+e恒成立B./(x)在［0,句上單調(diào)遞增

C./(x)在［-兀,0］上有4個零點D./(x)是周期函數(shù)

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.計算Iog23」og354og58=▲?

13.在棱長為2的正方體/BCD-44GA中，E為棱3。的中點，則四面體E4DP的外接球

的表面積是▲.

__/A<jr

14.在平面四邊形中，AB=AD=3,^ADC==^=-,記A4BC與AdCD的面

23

積分別為瓦，邑，則S,的值是▲.

高二數(shù)學試卷第2頁(共4頁)

四、解答魔：本大期共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15、(13分)

已知函數(shù)/(x)=sui(2x+—)+sin2x.

<1)求的

4

(2)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

16.(15分)

有力和B兩道謎語，張某猜對4謎語的概率為0.8,猜對得獎金10元；猜對3謎語的

概率為0.5,猜對得獎金20元.每次猜謎的結(jié)果相互獨立.

(1)若張某猜完了這兩道謎語，記張某猜對謎語的道數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X

的分布列與期望；

(2)現(xiàn)規(guī)定：只有在猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道.如果猜謎順序由

張某選擇，為了獲得更多的獎金，他應(yīng)該選擇先猜哪一道謎語？

17.(15分)

如圖1,在四邊形4BCD中，AD/IBC,ABLAD,48=2,40=4,現(xiàn)將A4BC沿

著ZC進行翻折，得到三棱錐尸-4CZ),且平面⑷7)1.平面48,如圖2.

(1)若ZP與平面4c。所成的角為生，證明：APLCD；

3

(2)若3。=3,求平面"。與平面尸CD夾角的余弦值.

圖2

高二數(shù)學試卷第3頁(共4頁)

18.(17分)

已知函數(shù)=l+a，?

(1)當a=e時，求曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線方程;

(2)當1＜。＜2時，證明t/(功＞0在。。)上恒成立.

19、(17分)

已知集合S”={X\X=(孫孫…,eRu=1,2,??',?)(?＞2),對于/=(q,%…，品)，

B=佃也，…，翁)eS”，定義4與3之間的距離為d(45)=￡|為也|.

/=1

(1)若Z=(l,l),5=(x,y)eS2,求所有滿足d(4B)=2的點(x,y)所圍成的圖形的面積;

(2)當天e{0,l}(i=l,2,…,町時，A,BeSn,1=(0,0,…,O)eR,并且

d(I,A)=d(I,B)=p＜n,求d(45)的最大值(用p表示)；

(3)當X”{0,1,2}。=1,2,…,見時，求集合S”中任意兩個元素之間的距離的和.

高二數(shù)學試卷第4頁(共4頁)

2023學年第二學期高中期末調(diào)測

高二數(shù)學參考答案

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

41K9J3

12.313.—14,出

44

四、解答題：本大題共5小題，共77分。

15.(本題滿分13分)

27c2TE

解：(1)/(x)=sin2xcos—+cos2xsin—+sin2x...........2分

=—sin2x+—cos2x=sin(2x+,...........3分

223

所以，/(-)=sin—=-............6分

462

(2)因為/(x)=sin(2x+J),

3

所以，---1■W2x+—<—FkGZ,...........9分

232

所以，----FWxW—I-ku*kG...........12分

1212

所以，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為+?，=+豚］aeZ)............13分

16.(本題滿分15分)

解：(1)隨機變處才的可能取值為0,1，2............2分

P(X=0)=(1-0.8)x(l-0.5)=0.1,

P(X=1)=0.8x(l-0.5)+(l-0.8)x0,5=0.5,

高二數(shù)學參考答案第1頁（共6頁）

尸(X=2)=0.8x0.5=04,............5分

所以隨機變出X的分布列為

X012

P0.10.50.4

............6分

所以E(X)=0x0.I+lx0.5+2x0.4=L3............8分

(2)如果先猜/謎語，那么他將有0.2的概率得0元,

有0.8x(l-0.5)=0.4概率得10元，有0.8x0.5=0.4概率得30元，

此時，他的獎金期望是0x0.2+10x04+30x0.4=16............11分

如果先猜B謎語，那么他的獎金期望是0x0.5+20x0.5x(1-0.8)+30x0.4=14.

...........14分

因為16>14,所以他應(yīng)選擇先猜X謎語......15分

17.(本題滿分15分)

(1)證明：過尸作P01/4。于點。，因為平面在QJ"平面月8,所以尸0J.平面力C。，

則乙〃1。為直線"與平面力CZ)所成的角，所以NP40=NP4D=工.

?3

...........2分

又因為4P=48=2,AD=4,所以PZ)2=",+4D2-2"-4Z〉COS[=12,

所以4L>2="2+尸。2,所以力尸_|_尸￡),.....4分

因為力B_LBC,所以"_LPC,/?

所以"1平面PCD,所以"1CD............6分

(2)解：法1：過戶作尸后，/10于點E,因為平面4PQJL平面/1C。，

所以尸EJ.平面水力，

以點E為原點,ED,EP所在的直線分別為'軸，z軸建立空間直角坐標系，

22

在四邊形地C。中，因為空=絲，所以花=3,PE=>]PA-AE=—,

ABBC33

所以力(0,-±0)，P(0,0,竺)，C(2,-,0),D(0,-,0),...........8分

3333

設(shè)平面"。的一個法向貴為〃,=($,WZ),因為萬=(0；,竺)，配=(2,3,0),

33

高二數(shù)學參考答案第2頁(共6頁)

2再+3乂=0，石

?衣=0,

所以即《4275取』=3,則凹=-2,Z]=——'

-AP=Q,-y\+-^-zi=°>5

所以m=（3,-2,警）.

10分

設(shè)平面DPC的一個法向盤為n=（x2,”，Z2），

因為麗=(0,-？,竺)，皮=(2,-1,0),

33

法2：過尸作PE_L4。于點E,因為平面"OJ■平面力CD,所以尸EJ?平面48,

在四邊形4BCD中，因為絲=吧，

ABBC

所以=PE=-tDE=-,PD=亞~

3333

.....8分

因為PC=3,CQ=石，

…84

所以cosZPCD=CD?+C如-PD2=+9=走.....10分

2CDCP6后45

過。作QF_LPC于點尸，過尸作H?J_PC,且mPMC=G,連接。G,

所以ZDFG是二面角彳-PC-0的平面角，12分

CF=CD.COS/CD=3,DF2=CD2-CF2=^-,DF=緲^,

又因為嚕=*=尊=三，所以屆=*，CG=運,

APACCP272727

高二數(shù)學參考答案第3頁（共6頁）

所以，DG2=CD2+CG2-2CD-CG-cosZACD=—,

729

3561963904

所以cos/Z)>6=如2+叩2_〃62=右+至一俞=_返,.....]4分

2FD-FG22底1489

9—?27

所以平面APC和平面PCD夾角的余弦值為粵?......15分

18.(本題滿分17分)

(1)解：當a=c時，f(x)=l+(c-^)x-e,

所以/'(x)=c-4-eX,八1)=一：，.....2分

又/(I)4......3分

所以，曲線y=/(x)在點(1，/。))處的切線方程為k3=(-；)。-1)，

[1[]J=-1x+l.......5分

(2)證明：因為/0：)=1+(4-3*-。*，所以/'(或=。一;一/Ina.......6分

22

當l<a<2時，/"(x)=-/(lna)2<0恒成立，

所以，/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，.....7分

又因為/'(0)=a-；-lna>a—；+l-a>0，且當x-m時，/'(x)<0,

所以,存在與€(0,+8),使得/'(*0)=。，8分

所以，/(x)在(0，%)上單調(diào)遞增，在(％+8)上單調(diào)遞減......9分

①當x02a時，因為/(X)在(0,。)上單調(diào)遞增，

所以，對于xw(0,a),/(x)>/(0)=0恒成立.......11分

②當出<。時，因為/(1)在(0，%)上單調(diào)遞增，在(x0,a)上單調(diào)遞減,

高二數(shù)學參考答案第4頁(共6頁)

所以，只要證當l<a<2時,/(a)>0,

即證當1<。<2時，l+aQ—p—fl0>0恒成立，.....13分

設(shè)〃(。=1+工0-3)-爐，

當xeQ,2)時，n(x)=1+x(x--)-xx>I+x(x--)-.v2=>0,

222

所以，當l<a<2時，l+>0恒成立......16分

綜合①②可知，當1<。<2時，/(》)>0在(0，。)上恒成立......17分

19.(本題滿分17分)

解：(1)由"=Q,1),B=(x,y),d(A.tB)=2,得|x—l|+|y—1|=2,............1?分

所以，點(x,y)所圍成的圖形是以(-1,1),Q,-1),(3,1),(1,3)為頂點的正方形，

............3分

所以，圖形的面積為8.............5分

(2)d(1,4)=￡|q-0|=%,=p,同理d(1,B)=，4=p.............6分

1=11=1仁I

①當〃一