上海市高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角講義

第1講三角

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

L理解任意角、象限角和終邊相同的角的概念，掌握角度與弧度之間的轉(zhuǎn)化以及扇形的弧長(zhǎng)及面積公式；

2.掌握任意角的三角比的定義，同角三角比的關(guān)系；

3.掌握誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正余弦(正切)公式、倍角公式，會(huì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與證明.

課堂引入

三角學(xué)是以三角形的邊角關(guān)系為基礎(chǔ)，研究幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系及其在測(cè)量方面的應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。

“三角學(xué)”一詞的英文“trigonometry”就是由兩個(gè)希臘詞“三角形”和“測(cè)量”合成的?，F(xiàn)在，三角學(xué)主要研究三角

函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。1463年，法國學(xué)者繆勒在《論三角》中系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)三角的研究成果。17世紀(jì)

中葉，三角由瑞士人鄧玉函(JeanTerrenz1576-1630)傳入中國。在鄧玉函的著作《大測(cè)》二卷中，主要論述

了三角函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)表的制作和用法。當(dāng)時(shí)，三角函數(shù)是用左圖中的八條線段的長(zhǎng)來定義的，這已

與我們剛學(xué)過的三角函數(shù)線十分類似。

著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家歐拉(LeonardEuler)1707年出生于瑞士的巴塞爾，1720年進(jìn)入巴塞

爾大學(xué)學(xué)習(xí)，后獲碩士學(xué)們。1727年起，他先后到俄國、德國工作，1766年再次到俄國直至逝世。1748年，

歐拉出版了一部劃時(shí)代的著作《無窮小分析概論》，其中提出三角函數(shù)是對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與圓的半徑的比

值，并令圓的半徑為1,這使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化，他還在此書的第八章中提出了弧度制的思想。

他認(rèn)為，如果把半徑作為1個(gè)單位長(zhǎng)度，那么半圓的長(zhǎng)就是萬，所對(duì)圓心角的正弦是0,即sin%=0,同理，

TT7T

圓的1/4的長(zhǎng)是一，所對(duì)圓心角的正弦是1,可記作sin—=1。這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來,

22

大大簡(jiǎn)化了某些三角公式及其計(jì)算。18世紀(jì)中葉，歐拉給出了三角函數(shù)的現(xiàn)代理論，他還成功地把三角函

數(shù)的概念由褸范圍推廣到復(fù)數(shù)范圍。值得指出，1735年，歐拉右眼失明，《無窮小分析概論》這部著作出

自版于他這一不幸之后。他的著作，在樣式、范圍和記號(hào)方面堪稱典范，因此被許多大學(xué)作為教科書采用。

1766年，他回到俄國不入，又轉(zhuǎn)成雙目失明，他以驚人的毅力，在圣彼得堡又用口述由別人記錄的方式工

作了近17年，直到1783年去世。1909年，瑞士自然科學(xué)學(xué)會(huì)開始出版歐拉全集，使他卷帙浩繁的著作得

以流芳百世，至今已出版七十余卷。

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、正弦、余弦、正切、余切

Clw

點(diǎn)-知識(shí)概括-

1.終邊相同的角：{/忸=H360+a,左eZ}

2.弧度制：1=/上弧度，1弧度=1國］.

180I7J

3.扇形的弧長(zhǎng)和面積：I=ar,S=—tzr2=—lr

22

4.任意角的正弦、余弦、正切、余切：

設(shè)a是一■個(gè)任意角，它的終邊上一點(diǎn)P(x,y),r=j￡+/

正弦sm。=—余弦cos。=一

rr

正切tana='|a^—+k/r,keZ余切cota=—,(aw左乃，左eZ)

2)yv)

5.各三角比在各個(gè)象限的符號(hào)：

fl-例題分析-

【例1】若扇形的圓心角為二，半徑為5,則扇形的弧長(zhǎng)為，面積為

3

【例2】已知圓的一段弧長(zhǎng)等于其內(nèi)接正三角形的周長(zhǎng)，則這段弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)是

■ec.sinxcosxtanxcotx

【例3】函數(shù)y=-------+J-------+；------1+J------^的值域R是__________

|sinx|cosx|tanx|cotx

【例4】已知點(diǎn)尸(tana,cos。)第三象限，則角a的終邊在第象限.

2..

【例5]⑴已知角a的終邊在直線y=Ax上，若sina=-而且cosa<0,求實(shí)數(shù)上的值;

(2)已知角。的終邊上一點(diǎn)。卜百,y),且sinau^y,求cosa和tana的值.

敏學(xué)思途-

1.終邊落在y軸的正半軸上的角可表示為.

a

2.已知a是第一象限的角，問：巴是第幾象限的角？

2

3.已知一扇形的中心角是a,所在圓的半徑是R.

(1)若a=60,R=10cm,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積；

(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值c(c>0),當(dāng)a為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積?

知識(shí)點(diǎn)二、同角三角比關(guān)系、誘導(dǎo)公式

-知識(shí)概括-

1.平方關(guān)系:sin?a+cos2a=1

sinacosa

2.商數(shù)關(guān)系:tana=-----,cola=------

cosasin。

3.倒數(shù)關(guān)系:tana?cota=l

4.誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限

5.已知正弦、余弦、正切求角

sin/3=sina的角°的全體為｛例尸=2k7i+a或尸=2左"+?—。,左cZ｝,可簡(jiǎn)記作

萬二人》+(—1小。,左wz1.

同理可得cos/?=cosa,則｛例￡=2k7i±a.kGZ!；

tan/?=tancr,則=kr+a,左￡Z}

fl-例題分析-

【例1】已知。是第三象限角，且tana='，求sin%cosa的值.

3

【例21滿足方程tan12x+q)=-左的角的集合是.

［例3］方程cos2x-cosx=0在區(qū)間［0,句上的解集為.

【例4】已知sinacosa=3,且工<1<匹，貝！Jcoscr+sintz的值是.

842

【例5】若sin［?+a)=V，則sin［今一e［=.

【例6】設(shè)tan(;r+a)=-3,求下列各式的值:

3sina-2cosa5sin3a+cosa

⑴(2)4sin*a2-3sinacosa(3)

2sina+cosa2cos3a+sin?acosa

cos(—cr—7r)sin(27r+6z)tan(2^r—cr)

［例7］已知cosa=L71

且——<a<0,則.(3冗)(71

sin------acos——\-a

32I2)12

19

【例8】已知夕￡(0,?),且sin。、cos。是方程5九2一%一~丁二0的兩根，求sin，8+cos'。，tanO+cot。,

tan。一cot。的值.

-敏學(xué)思途-

4

1.已知sina=—,且a是第二象限角，那么tana的值是

5

2.已知。為第三象限角，sma=~~^~9則tan(q-a)=

3.已知角lw[0,4),且滿足gtan(2x-令=1,則角x為

4.若sine?cos。=L0e7171

,貝！Jcos6-sine=

815

sin（2%-a）tan（乃+a）cot（—a-%）

5.化簡(jiǎn)的結(jié)果為(

cos（萬一a）tan（3%-a）

A.1B.—1C.—cosaD.cotcr

71

cosa+cos（2?-a

6.已知tana=-3,則---

sin（7r-6Z）+2sin.a

八”i,sin。cos?

7.若sing,(30$夕是方程2九2一(6+1)%+m=0的兩根，貝！J----------+-----------

l-cot<91-tan

8.已知sinc=2sin/7,tana=3tan/,貝Ucos2a=

知識(shí)點(diǎn)三、常用三角公式

□-知識(shí)概括-

1.(1)兩角差的余弦、正弦和正切

cos(a-p)=cosacos/3+smasin[3

sin(cr-/?)=sinacos0-cosasin0

/c、tana—tan￡

tan(cr—0二------------

1+tan6ztan/?

⑵兩角和的余弦、正弦和正切

cos(0+分)=cosacos/?一sin&sin°

sin(6Z+萬)=sinacos0+cosasin/?

/八、tan(2+tan/?

tan(a+尸)二------------

1-tan6ztan/?

2.二倍角公式

sin2。=2sinacosa

cos2。=cos2a-sin2a-2cos2(7-1=l-2sin2a

2tana

tanla-

1-tan2a

3.(1)半角的正弦、余弦公式:

.a.1一cosaa1+COS6Z

sin—=±.—cos—2-

21122

⑵半角的正切、余切公式:

asina1-coscra1+cosaa.1-cosa

tan—=------------=-------------cot—=------------tan—=±

21+cosasina2sina21+COS6Z

4.輔助角公式

asinx+Z?cos%=JZ已了\[11(工+夕)(其中夕角所在的象限由a,b的符號(hào)確定，。角的值由

hnh

sin0=-F==,cos=~r==,tan。=上確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.

J/+/J*/a

5.(1)積化和差公式

sinacos/?=；[sin(c+/)+sin(cr-夕)].

cosasm/3=—[sin(a+方)一sin(c-/?)].

cosaCOS/?=—[COS(6Z+￡)+cos(a—.

sinasin尸=一工[cos(a+4)-cos(a-/?)].

(2)和差化積公式

a+Ba-p

sina+sin/?=2sin----cos

22

a-/3

sma-smp-2cos-sm

2

》八a+Ba-B

cosa+cosp=2cos-----cos-----

22

a+B.a-p

cosa-cos/二一2sin-----sin

22

6.基本的技巧有：

(1)巧變角(已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變

換.如a=(a+/3)—/3=(a—/3)+/3,2a—(cc+p)+(CL—p),2ct—(/?+cc)—(0—CL),

a、a十0a+J3("胃-性-勾等兀

a+/3=2?—產(chǎn),

2

(2)三角比名互化(切割化弦)；

(3)公式變形使用(tana土tan4=tan(a±0(ltanatan⑶；

(4)三角比次數(shù)的降升(降塞公式：cos2aJ+cos2a,sir?。=匕整也與升寨公式:

22

1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a)；

(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、三角比名稱、式子結(jié)構(gòu)化同)；

(6)常值變換主要指“1”的變換(I=sin2%+cos2%=sec2%-tan2%=tanA>cotx

=tan^=sin^=),

42

(7)正余弦“三兄妹一sinx±cosx、sinxcosx”的內(nèi)在聯(lián)系---“知一求二”，若sinx±cosx=，，則

/2_]

sinxcosx=±----,特別提醒：rE[-A/2,42].

2

-例題分析-

Q3

【例1】若。，尸為銳角，且sino=五,(：0$/二《,貝！Jcos(口+0=

【例2】已知tan]a+?=2,則tana=

【例3】若2A/3sin0cos0-cos2?？苫癁?sin(28+(p).-n<(p<n,則°=

【例4】若sin(a+￡)=△,sin(cr-/3)=—,則‘一=____

54tan夕

【例5】已知1211%12117?是方程4九2-3百尤+1=0的兩根，若//?￡卜（今卜則。+〃的值是

【例6】已知為銳角，且滿足tanAtanjB=tanA+tan5+l,則cos(A+5)=

TTjr

【例7】已知3tan(6——)=tan(6>+—),則sin28=.

【例8】(1+tan1°)(1+tan2。)…(1+tan45°)=.

【例9】已知sina+cosa=-則cosla+—)

3I2

8上

B.-D

9999

【例10]化簡(jiǎn)Jl+sina+Jl-sina-j2+2cosa，aeK

【例11］已知求sin(x+y)的值

【例12］已知-------------二一5,求3cos26+4sin2。的值

sin。-3cos。

34

【例13】已知：sina+sm/3=—,cosa+cosj3,求cos（。-尸）的值.

【例14】已知sina-cosa--,7i<a<27i,求tan冬和tana

22

【例15】已知tanaTan尸=-y,求（2—cos2a）（2-cos2/7）的值.

-敏學(xué)思途-

2.若tana=3,tan（fz一/?）=2,則tan/?=.

3.已矢口°一尸=工,cosa+cos尸=-,貝!Jcosa+

4.已知?！?一，7i),sina=一，cos2a二

213

0n?/3

5.已知sin—+cos—=—■—，那么sin夕的值為，cos2。的值為

223

6.已知cos6=g,8￡（肛2?）,則sin,=,cos—=.

2

3兀wsina+sinla

7.己知sin（3?+a）=2sin-----Fa八則---------------

2Jsm?2i+c2cos2a

8.已知8cos(2c+6)+5cos0=0,則tan(cif+p)-tana的值為.

9.設(shè)點(diǎn)尸是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從初始位置用(1,0)出發(fā)，沿單位圓按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)

角a(0<a<])后到達(dá)點(diǎn)Pt,然后繼續(xù)沿著單位圓按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)角(到達(dá)點(diǎn)￡,若點(diǎn)鳥的縱坐標(biāo)為-1,

則點(diǎn)耳的坐標(biāo)為—.

10.已知:sin1+sin（Z——sincr（0WtzW4）,求tana的值.

11.求證：COS26Z-COS2/?=-sin（0+/?）sin（a一4）

、Tt兀兀l八、"n5\/3sincr+5cosa=8

12.n設(shè)ae(O,￡),即G，g),且a,4滿足

362[\/2sin/3+A/6COS/3=2

(1)求cos(a+?)的值.

(2)求cos(a+0的值.

13.已知tana=g,tan(a+/)=g,且a,6是銳角.

(1)求tan￡的值；(2)求2a+/的值.

勇攀高峰

1.若實(shí)數(shù)￡[0,27],且滿足cos(x+y)=cosx+cosy,則稱％、y是"余弦相關(guān)”的.

(1)若x=],求出所有與之“余弦相關(guān)”的實(shí)數(shù)y；

(2)若實(shí)數(shù)x、y是“余弦相關(guān)''的，求尤的取值范圍；

(3)若不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y是“余弦相關(guān)'的，求證：存在實(shí)數(shù)z,使得x、z為“余弦相關(guān)”的，y、z

也為“余弦相關(guān)”的.

師生總結(jié)

「任意角的推廣

一角度制和弧度制

一任意角的正弦、余弦、正切

J同角三角比的關(guān)系

J誘導(dǎo)公式

-已知正弦、余弦、正切求角

三角比、常用公式

「兩角和與差的余弦、正弦和正切

\V-二臃=

\降尊公式

常用公式-半角公式

卜萬能公式

輔助角公式

一和差、和差化積公式

自主鞏固

1.判斷下列命題的真假，并說明理由.

(1)若a是第一象限的角，則羨Of也必是第一象限的角；

(2)弧度的角與72的角是終邊相同的角；

(3)終邊在無軸上的角的集合為?=版■，keZ｝；

(4)終邊在x軸上方的角的集合為｛目24》<a<(2左+1)肛左EZ｝.

2.設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3)，那么2cos。一sin。=.

3.點(diǎn)P(4,-J3a)(a<0)是角a終邊上一點(diǎn)，那么sina=.

4.若a,分為銳角，且sina=；,cos/?=弓，貝!Jcos（c+0=.

34

5.已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是（一1,二），則

sin2a=.

6.化簡(jiǎn):sin+crcos+sin（^-a）sin.

7.把$[111—6852化為y15111（。+0）（其中A>0,0￡（—肛）））的形式：.

sin(----6)+cos(24-0)

8.已知tan(9=2,貝!J—1---------------------

37r

cos(--O')-sin(?-O')

9化簡(jiǎn):

10.方程sin尤-6cosx=垃在[0,2加上的解組成的集合為.

11.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)-tan2,l+tanC],且0<a<2〃，則角a的大小______.

11212yl—

12.已知cosa-cos/?二;,sina—sin/=g,則cos(a-/)二

13.若log]sina+logisin'=2且^27cosa『'=L則cos(2a+2/3)=____.

229

__1+tancre1c

]4.右--------=2023,則-------Ftan2a=_________.

1-tancrcos2a

15.方程sin3x=cos2x的解集為.

16.已知3sin2q+2sin2分=1,3sin2a-2sin24=0,且a,夕都是銳角，則。+2,的值為.

17.設(shè)函數(shù)/(x)=asin(?%+a)+Z?cos(兀x+0,其中。也。/都是非零實(shí)數(shù)，且滿足/(2021)=-1,

貝叮(2022);.

18.在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，貝hanA+2tan5tanC+tanAtan5tanC的最小值

是.

19.提鞋公式也叫李善蘭輔助角公式，其正弦型下:asinx+bcosx=J^"TP_sin(x+0),-=<0工》

下列判斷錯(cuò)誤的是()

b

A.當(dāng)〃>0,6>0時(shí)，輔助角/=arctan—

a

h

B.當(dāng)a>0,/?<0時(shí)，輔助角°=arctan—+?

a

b

C.當(dāng)av0,Z?>0時(shí)，輔助角夕=arctan—+?

a

b

D.當(dāng)〃v0,Z?<0時(shí)，輔助角°=arctan——TC

a

20.若一2萬<%<--，Jl-sin%+Jl+sinx的化簡(jiǎn)結(jié)果是()

2