陜西省寶雞市2025屆高三數(shù)學（理）模擬考試試題（含解析）

陜西省寶雞市2025屆高三數(shù)學2月模擬考試試題理(含解析)

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設全集。={0,123,4},集合A={0,l,2},集合3={2,3},貝()

A.0B.{1,2,3,4}C.{2,3,4}D.

{04,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】

先求C°A,再依據(jù)并集定義求結果.

【詳解】因為QA={3,4},所以(CA)U6={2,3,4},選C.

【點睛】本題考查集合的補集與并集，考查基本分析求解實力，屬基本題.

2.在區(qū)間［—2,2］上隨意取一個數(shù)x,使不等式尤2一%<。成立的概率為()

1111

A-B.-C.-D.—

6234

【答案】D

【解析】

【分析】

先解不等式，再依據(jù)幾何概型概率公式計算結果.

1-01

【詳解】由三―x<0得0<%<1，所以所求概率為1選D.

【點睛】(1)當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應考慮運用幾何概型求解.

(2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事務發(fā)生的區(qū)域的找尋，有

時須要設出變量，在坐標系中表示所須要的區(qū)域.

(3)幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性.基本領件可以抽象為點，盡管這些

點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率.

3.已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列{4}滿意q=1,g4=16,則％,=()

A.64B.32C.16D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

先依據(jù)條件求公比，再依據(jù)等比數(shù)列通項公式求生.

55

【詳解】由a2a4=16得012g4=16,九=16q>Qq=2a6=a^q=2=32.B.

【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式，考查基本分析求解實力，屬基本題.

4.歐拉公式*=cosx+/sinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學家歐拉獨創(chuàng)的，它將指數(shù)

函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，依據(jù)歐拉公式可知，F(xiàn)表

—I

e4

示的復數(shù)在復平面中位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

en

依據(jù)歐拉公式計算不，再依據(jù)復數(shù)幾何意義確定象限.

—I

em_cos7i+isin7i_-1_^2.0廠廠

【詳解】因為五=一兀一兀=飛―7T=_T+zT-所以對應點（―義,衛(wèi)），

e4cos—+isin——+22

4422

在其次象限，選B.

【點睛】本題考查復數(shù)除法以及復數(shù)幾何意義，考查基本分析求解實力，屬基本題.

X>1,

y>1,

5.已知A/、N是不等式組，?八所表示的平面區(qū)域內(nèi)的兩個不同的點，則1腦V|的

x-j+l>0,

x-\-y<6

最大值是（）

A.5B.叵C.372D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

先作可行域，再依據(jù)圖象確定|MN|的最大值取法，并求結果.

【詳解】作可行域,為圖中四邊形ABCD及其內(nèi)部，由圖象得A(l,1),B(2,1),C⑶5,2.5),D(1,5)

四點共圓，BD為直徑，所以的最大值為8口=而不=而，選A.

【點睛】線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合的思想.須要留意的是：一，精確

無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要留意與約束條件中的直線的斜率進

行比較，避開出錯；三，一般狀況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上

取得.

6.若均不為1的實數(shù)匕滿意a>3>0,且。6>1,則()

afoab+xa+bba

A.loga3>log,3B.3+3>6C.3>3D.a>b

【答案】B

【解析】

【分析】

舉反例說明A,C,D不成立，依據(jù)基本不等式證明B成立.

【詳解】當a=93=3時log,,3<l0gz,3；當a=2力=1時3""+i=3"+";當a=4,b=2時

或=b。；

因為a>b>0，ab>l,所以3“+3">2后下=2^2后而>6，

綜上選B.

【點睛】本題考查比較大小，考查基本分析論證實力，屬基本題.

7.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)三視圖可知該幾何體為一組合體，是一個棱長為2的正方體與三棱錐的組合體，依據(jù)體

積公式分別計算即可.

【詳解】幾何體為正方體與三棱錐的組合體，由正視圖、俯視圖可得該幾何體的體積為

V=23+-x-x2x73x2=8+^^,

323

故選A.

【點睛】本題主要考查了三視圖，正方體與三棱錐的體積公式，屬于中檔題.

8.如圖，邊長為1正方形A3CD,射線從54動身，圍著點5順時針方向旋轉至BC,在

旋轉的過程中，記乙鉆2=4工€[0,會]),3尸所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域(陰影部

分)的面積為y=/(%),則函數(shù)/(x)的圖像是()

B

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)條件列y=/(x),再依據(jù)函數(shù)圖象作推斷.

71

【詳解】當時，y==；

n7t時，=x

當t工￡丁，彳yf（）=1--xix—^―

(422tanx

依據(jù)正切函數(shù)圖象可知選D.

【點睛】本題考查函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象，考查基本分析識別實力，屬基本題.

9.下邊程序框圖算法思路來源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執(zhí)行

該程序框圖，若輸入。、人、i的值分別為6、8、0,則輸出。和i的值分別為()

A.0,3B.0,4C.2,3D.2,4

【答案】C

【解析】

【分析】

執(zhí)行循環(huán)，直至a=6終止循環(huán)輸出結果.

【詳解】執(zhí)行循環(huán)，得，=l,b=2"=2,a=4"=3,a=2,結束循環(huán)，輸出a=2/=2,此

時1=3,選C

【點睛】算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關

概念，包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止

條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖探討的數(shù)學問題，是求和還是求項.

sin(x+?),%<0

io.已知函數(shù)/'(%)=,、八的圖像關于y軸對稱，則、=311%的圖像向左平移

cos(x+b),x>()

()個單位，可以得到y(tǒng)=cos(x+a+b)的圖像().

71

B.-C.—D.n

432

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)條件確定a,。關系，再化簡y=cos(x+a+Z?),最終依據(jù)誘導公式確定選項.

/、[sin(x+a\.x<0

【詳解】因為函數(shù)/(x)=〈\C的圖像關于y軸對稱，所以

cos^x+b),x>G

sin+a]=cos,sin(—?+=cos(?+b),即sin/?=cosa,sina=cosb,

兀_

因此匕4+人=萬+2kli(keZ),

從而y=cos(x+a+/>)=-sinx=sin(x+^'),選D.

【點睛】本題考查偶函數(shù)性質(zhì)、誘導公式、三角函數(shù)圖象變換，考查基本分析識別實力，屬

中檔題.

11.已知一條拋物線恰好經(jīng)過等腰梯形A3CD的四個頂點，其中A5=4,

NC=CD=A￡)=2,則該拋物線的焦點到其準線的距離是()

A.正B.@C.V3D.2A/3

42

【答案】B

【解析】

【分析】

不妨設拋物線標準方程無2=2刀5>0),將條件轉化為坐標，代入解出。，即得結果.

【詳解】不妨設拋物線標準方程無2=2”(°>0),可設。(1,7〃),3(2,根+百)，

則1I—?'"'.?.3=2p6.p=￡,即拋物線的焦點到其準線的距離是由，選B.

[4=2"(相+我22

【點睛】本題考查拋物線方程及其性質(zhì)，考查基本分析求解實力，屬基本題.

12.已知正方體ABC?！狝4GR的棱長為2,M為CG的中點.若AM,平面a,且平

面戊，則平面0截正方體所得截面的周長為()

A.30+2&B.4+472C.2肥+2后D.672

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)線面垂直確定平面a,再依據(jù)截面形態(tài)求周長.

【詳解】明顯在正方體中3D，平面ACGA，所以80，AM,

取AC中點E,取AE中點0,則tanZ^OA=tanZACM/.\O±AM,

取AC中點Ei,取AE中點Oi,過Oi作PQ〃BD,分別交A&,AD于P,Q

從而4以，平面3DQP,四邊形BDQP為等腰梯形，

周長為2夜+及+2xJ1+2?=3直+2石，選A.

【點睛】本題考查線面垂直推斷以及截面性質(zhì)，考查綜合分析與求解實力，屬難題.

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C：二—4=1,點P(2,1)在C的漸近線上，則C的率心率為

a2b2

【答案】—書

2

【解析】

試題分析：依據(jù)雙曲線的方程，可知焦點在x軸上，結合P(2,1)在漸近線上，所以2=J_,

a2

即。=24所以c=后,從而有其離心率6=工=1百.

a2

考點：雙曲線的離心率.

14.(2x-。葉的綻開式中的常數(shù)項的值是________.(用數(shù)學作答)

7x

【答案】60

【解析】

【分析】

依據(jù)二項式定理確定常數(shù)項的取法，計算得結果.

【詳解】因為=禺(2》產(chǎn)(一力)’=C黃2產(chǎn)(一1)》,

所以令6—：r=0得r=4,即常數(shù)項為C；(2)6-4(_I)4=60.

【點睛】求二項綻開式有關問題的常見類型及解題策略

(1)求綻開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項，再由特定項的特點求出廠值即可.

(2)已知綻開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r+1項，由

特定項得出廠值，最終求出其參數(shù).

15.設AABC的外心P滿意AP=；(AB+AC),貝|cos44C=

【答案】-

2

【解析】

分析】

依據(jù)向量表示確定外心為重心，即得三角形為正三角形，即得結果.

【詳解】設BC中點為M,所以AP=g(A3+AC)=■|AM,因此P為重心，而P為AA6C的

外心，所以AABC為正三角形，cosZBAC=~.

2

【點睛】本題考查向量表示以及重心性質(zhì)，考查綜合分析與求解實力，屬中檔題.

16.數(shù)列｛為｝的首項為1，其余各項為1或2,且在第左個1和第左+1個1之間有2女-1個2,

即數(shù)列｛4｝為：1，2，1，2,2，2，1，2，2，2,2,2,1，…，記數(shù)列｛。“｝的前

〃項和為S“，則§2019=.(用數(shù)字作答)

【答案】3993

【解析】

【分析】

先由題意，得到第k+1個1為數(shù)列｛風｝第公+左+1項，依據(jù)題意，分組求和，即可求出結

果.

【詳解】由題意，第左+1個1為數(shù)列｛4｝第左+1+(1+3+5++2左—1)=產(chǎn)+左+1項，

當出=44時，攵2+^+1=1981；

當上=45,時左？+左+1=2071；

所以前2024項有45個1和44?+(2019—1981)個2,

因止匕S2019=45+2x[442+(2019-1981)]=3993.

【點睛】本題主要考查數(shù)列的求和，熟記分組求和的方法即可，屬于常考題型.

三、解答題：本大題共6個大題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在，ABC中，角A，B,C的對邊分別是b,c,已知cos2A=-§,c=6，

sinA=A/6sinC■

(1)求。的值；

(2)若角A為銳角，求力的值及”ABC的面積.

【答案】(1)a=342(2)b=5,S^BC二當

【解析】

【分析】

(1C

(1)結合題設條件和正弦定理——=——，即可求解；

sinAsinC

(2)由余弦的倍角公式，求得cosA=且，sinA--,再結合余弦定理和三角形的面積

33

公式，即可求解.

【詳解】（1）在qABC中，因為c=百，sinA=-J6sinC，

Z7「

由正弦定理一^=「；，解得a=30

sinAsinC

17T

（2）因為cos2A=2cosoA—1=—,又0<A<一,

32

所以cosA=-，sinA=-

33

由余弦定理I^b2+c--2bccosA，得廿―28—15=0，

解得b=5或Z?=—3（舍），所以S-BC=；、csinA=5f,

【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三

角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解

是解答的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎題.

18.如圖（1）,等腰梯形ABC。，AB=2,CD=16,AD=2五,E、歹分別是CD的兩

個三等分點.若把等腰梯形沿虛線A尸、師折起，使得點。和點。重合，記為點尸，如圖（2）.

（1）求證：平面？EEL平面

（2）求平面Q4F與平面總B所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）正.

7

【解析】

【分析】

（1）依據(jù)線面垂直的判定定理，先證明班1面？即，再由面面垂直的判定定理，即可得

出結論成立；

（2）過P作POLER于。，過。作龐的平行線交/方于G,得到尸。，面又尸O,

EF,0G所在直線兩兩垂直，以它們?yōu)檩S建立空間直角坐標系，用空間向量的方法，分別求出

平面Q4F和平面R鉆的法向量，計算向量夾角余弦值，即可求出結果.

【詳解】(1)因為E，尸是CD的兩個三等分點，易知，ABER是正方形，故BELEF，

又BE±PE,且PEcEF=E，所以BE1面PEF，

又BEu面ABEF,所以面？印，45石尸.

(2)過P作POLER于。，過。作龐的平行線交于G,則尸0,面ABEF,

又P0,EF,0G所在直線兩兩垂直，以它們?yōu)檩S建立空間直角坐標系，

則4（2,—1,0）,5（2,1,0）,F（0,-l,0）,P（0,0,豆），

所以河=（—2,0,0）,FP=（0,1,73）,AB=（0,2,0）,PA=（2,-1,-73）,

設平面B4F的法向量為“=(xrjpZj),

〃1?AF—0

則

々-FP-0

設平面R4B的法向量為%=(x2,j2,z2),

n-AB—0.2y2=°//—\

則22X2-瓜2=。'%=隔°，2）

n2,PA—0

_______2_=也

因止匕COS0=7—7-.-T

|n1|-|n2|2-A/77

V7

所以平面與平面N3所成銳二面角的余弦值

7

【點睛】本題主要考查證明面面垂直，以及求二面角的余弦值，熟記線面垂直，面面垂直的

判定定理，以及空間向量的方法求二面角即可，屬于?？碱}型.

19.已知耳，工分別為橢圓C:=+4=1（?！?〉0）的左、右焦點，點尸（L%）在橢圓上，

ab

且尸鳥，x軸，的周長為6.

（I）求橢圓的標準方程；

（II）過點7（0,1）的直線與橢圓。交于A,B兩點,設。為坐標原點，是否存在常數(shù)X,使

得。4-OB+￡DLZB=—7恒成立？請說明理由.

【答案】（I）土+匕=1（II）當；1=2時，OAOB+ATATB=-1

43

【解析】

【分析】

（I）由三角形周長可得歸周+歸閭=4,求出。，再依據(jù)〃=4—。2即可寫出橢圓標準方

程（II）假設存在常數(shù)X滿意條件，分兩類探討（1）當過點T的直線A3的斜率不存在時，

寫出A,B坐標，代入。4.08+彳以-^8=—7可得幾=2（2）當過點T的直線A5的斜率存

在時，設直線A3的方程為丁=依+1,設4（石,%），B（x2,y2）,聯(lián)立方程組，利用根與系

數(shù)的關系代入OAOB+ATATB=%々+%%+彳［石工+（%-1）（%-1）］中化簡即可求

出4=2.

【詳解】（I）由題意，6（—L0），耳。,0），c=l

△尸耳工的周長為6,怛￡|+|尸閭+2c=2a+2c=6

22

：.a=2,6=6，橢圓的標準方程為土+匕=1.

43

（ID假設存在常數(shù)彳滿意條件.

（1）當過點T的直線AB的斜率不存在時，A（0,A/3）,B（0,-73）,

OAOB+ATATB=-3+磯百-川-百-1）］=-3-22=-7,

.?.當4=2時，OAOB+ATATB=-J；

（2）當過點T的直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為丁=依+1,設A（%，K）,

3（孫％）,

f22

土匕=]

聯(lián)立<43，化簡得（3+4女2）/+8日—8=0,

y=Ax+1

08k8

1-4左2+31-4F+3

**?OAOB+ATATB=%尤2+%%+幾[%々+（X-1）（%一1）]

=（1+彳）（1+左2）%%2+左（石+%2）+1

_8（1+/1乂1+左2）8k2+]_（_8）[（2+2*+]+2]]_7

―4k2+34左2+3—4F+3-

==解得：2=2即4=2時，OAOB+ATATB=-1<

43

綜上所述，當；1=2時，OAOB+ATATB=-J-

【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，向量的坐標運算，分類

探討的思想，屬于難題.

20.某地區(qū)進行疾病普查，為此要檢驗每一人的血液，假如當?shù)赜蠳人，若逐個檢驗就須要檢

驗N次，為了削減檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設每組有人個人，把這個女個人

的血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這左個人的血液全為陰性，因而這左個人只要檢

驗一次就夠了，假如為陽性，為了明確這個女個人中原委是哪幾個人為陽性，就要對這左個人

再逐個進行檢驗，這時左個人的檢驗次數(shù)為人+1次.假設在接受檢驗的人群中，每個人的檢驗

結果是陽性還是陰性是獨立的，且每個人是陽性結果的概率為P.

（I）為熟識檢驗流程，先對3個人進行逐個檢驗，若p=O.l,求3人中恰好有1人檢測結

果為陽性的概率；

（II）設自為女個人一組混合檢驗時每個人的血須要檢驗的次數(shù).

①當左=5,。=0」時，求J的分布列；

②是運用統(tǒng)計概率的相關學問，求當左和。滿意什么關系時，用分組的方法能削減檢驗次數(shù).

【答案】（I）0.243；（II）①見解析，②當1一夕〉正時，用分組的方法能削減檢驗次

【解析】

【分析】

(I)依據(jù)獨立重復試驗概率公式得結果；(II)①先確定隨機變量，再分別計算對應概率，

列表可得分布列，②先求數(shù)學期望，再依據(jù)條件列不等式，解得結果.

【詳解】(I)對3人進行檢驗，且檢驗結果是獨立的，

設事務A：3人中恰有1人檢測結果為陽性，則其概率0.92=0.243

(II)①當K=5,P=0.1時，則5人一組混合檢驗結果為陰性的概率為0.95,每人所檢驗

的次數(shù)為g次，若混合檢驗結果為陽性，則其概率為1-0.95,則每人所檢驗的次數(shù)為g次，

故自的分布列為

16

4

55

P0.951-0.95

②分組時，每人檢驗次數(shù)的期望如下

"+1=1-2)k

1

.?.EG”-叫+—

k

,、kI

不分組時，每人檢驗次數(shù)為1次，要使分組方法能削減檢驗次數(shù)，需1-(1-P)+-<1即

K

所以當1-時，用分組的方法能削減檢驗次數(shù).

【點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“推斷取值”，其次步是

“探求概率”，第三步是“寫分布列”，第四步是“求期望值”.

21.已知函數(shù)/(x)=4x2—4x+mln(2x),其中，"為大于零的常數(shù)

(I)探討y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若y=/(x)存在兩個極值點再，x2(xt<x2),且不等式/(石恒成立，求實數(shù)a

的取值范圍.

【答案】(I)見解析；(II)ae(e3—21n2].

【解析】

【分析】

(I)先求導數(shù)，再依據(jù)導函數(shù)零點狀況分類探討導函數(shù)符號，最終依據(jù)導函數(shù)符號確定函

數(shù)單調(diào)區(qū)間；(II)先依據(jù)參變分別法轉化為求對應函數(shù)最值問題，再依據(jù)極值點條件化函

數(shù)為一元函數(shù)，最終利用導數(shù)求對應函數(shù)單調(diào)性以及最值，即得結果.

【詳解】(I)/(x)=8x2~4x+m(x>0),

(1)當機時，f(x)>0,/(%)在(0,轉)在上單調(diào)遞增

(2)當0<g時，設方程8f一4%+m=0的兩根為西，々

1-,.|1—J1—2m1+J1—2m

則無?=-------------，Xr)=-------------------------------

」424

八111

??一,一</<一,

14422

???/(%)在(0,%)(1，內(nèi))上單調(diào)遞增,(%,%)上單調(diào)遞減

||

(II)由(I)可知，0<加<]且%1+%2=5，-%2=—

由2ax2：.a<*'J

,-々

因為/(%)=4xJ-4^+mlnlxj=(2七一1了-1+4^(l-2x1)ln2x1

所以“^=￡^=2(1—2%)—+

5f

設.=2%，0</<g

21

令/z?)=2(1--------F2rtnr(0<-)

h'(t)=21——二+21皿

(1-r)_

當0</<!時，1—；^T+21W<0

2(J)

故力⑺在上單調(diào)遞減，所以“⑺〉?g[=—3—21n2

綜上所述，ae(fo,—3—21n2]時，/(%)23恒成立.

【點睛】利用導數(shù)探討不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)探討函數(shù)的

單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分別變量,

構造函數(shù)，干脆把問題轉化為函數(shù)的最值問題.

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

X—\—t

22.在直角坐標系九0y中，直線/的參數(shù)方程為l。為參數(shù))，在以原點。為極點，x

[y=t

軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，曲線G與曲線G的極坐標方程分別為

p=y/3cos0,夕=3sin9.

(I)求直線/極坐標方程；

(II)設曲線G與曲線的一個交點為點A(A不為極點)，直線/與。4的交點為3,求

\AB\.

【答案】(I)psin6,+