2024年中考數(shù)學復習：有理數(shù)的概念復習講義

有理數(shù)的概念復習講義

一、正數(shù)和負數(shù)

在數(shù)學發(fā)展歷史上，從發(fā)現(xiàn)自然數(shù)開始，隨著人類文明進步，我們又逐漸定義了分數(shù)和小數(shù)等.在生活和學習

中，我們會需要記錄一些具有相反意義的量，比如：零下4。。和零上6℃，收入20元和支出30元，向東30米和

向西100米等等.這些數(shù)據(jù)不僅意義相反，而且表示一定的量，為了表示它們，我們定義了正負數(shù)：

L用正負數(shù)表示相反意義的量：

我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種與它具有相反意義的量規(guī)定為負的，分別用正數(shù)和負數(shù)表示，給

數(shù)字前面加上正號表示正數(shù)，加上負號表示負數(shù).

【例】以上幾個例子分別記為：-4℃和+6℃,+20元和-20元,+30米和-100米.

2.正數(shù):像30、+6、兀這樣的數(shù)叫做正數(shù)，正數(shù)都大于零；

3.負數(shù)：在正數(shù)前面加上“「號的數(shù)叫做負數(shù)，比如：-20、-3.14、-0.001,-辛

【注】①表示正數(shù)時，“+”號可以省略，但表示負數(shù)時，“-”號一定不能省略；

②數(shù)0既不是正數(shù)也不是負數(shù).

二、有理數(shù)的概念及分類

1.有理數(shù)：整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

2.有理數(shù)的分類：

⑴有理數(shù)按性質(zhì)分類：

‘正整數(shù)

自然數(shù)

整數(shù)零

有理數(shù)負整數(shù)

,正分數(shù)

分數(shù)＜

負分數(shù)

⑵有理數(shù)按符號分類

正整數(shù)

正有理數(shù)

正分數(shù)

有理數(shù)零（既不是正數(shù)，也不是負數(shù)）

'負整數(shù)

負有理數(shù)＜

.負分數(shù)

⑶小數(shù)的分類

有限小數(shù)）

小數(shù)無限循環(huán)小數(shù)卜----可化成分數(shù)，是有理數(shù)

1無限小數(shù)［f'

［無限不循環(huán)小數(shù)——不可化成分數(shù)，是無理數(shù)

【注】注意以下幾個概念的區(qū)分：

非負數(shù)：正數(shù)和零；非正數(shù)：負數(shù)和零；

非負整數(shù)：正整數(shù)和零；非正整數(shù)：負整數(shù)和零；

非負有理數(shù)：正有理數(shù)和零；非正有理數(shù)：負有理數(shù)和零.

三、數(shù)軸

1.數(shù)軸：數(shù)軸是一條規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線.

【注】原點、正方向和單位長度稱為數(shù)軸的三要素；

①原點：表示數(shù)。的點；

②正方向：數(shù)字從小到大排列的方向，一般規(guī)定向右為正方向；

③單位長度：人為規(guī)定的代表T的線段的長度.

2.數(shù)軸的畫法

(1)畫一條水平直線；

(2)在這條直線上取一點作為原點；

(3)一般用箭頭表示正方向；

(4)選取適當?shù)拈L度為單位長度，用細短線畫出刻度，并將數(shù)字對應標在數(shù)軸下方.

［例］一個標準的數(shù)軸：一士一力—012—>

【注】畫數(shù)軸的常見錯誤：

①三要素缺失：沒有原點、正方向箭頭或者單位長度刻度；

②單位長度不統(tǒng)一：相鄰兩個刻度之間間距不一樣；

③方向不統(tǒng)一：數(shù)字增大的方向不是正方向，或者數(shù)字排列混亂.

一些錯誤的數(shù)軸示例：

錯誤類型錯誤示例

11

三要素缺失-101

62,123

」1__1?

單位長度不統(tǒng)一012-201-101

111

110-1

方向不統(tǒng)一10-1

1

201

3.數(shù)軸與有理數(shù)的關系

①任何一個有理數(shù)均可用數(shù)軸上的一個點來表示；

但數(shù)軸上的點不一定代表有理數(shù)，比如71.

②數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；

③數(shù)軸直觀地說明了，正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于負數(shù).

4.數(shù)軸與數(shù)學思想

①數(shù)形結合思想：數(shù)軸形象地反映了數(shù)和點之間的對應關系；

②分類討論思想：數(shù)軸表現(xiàn)了有理數(shù)的一種分類方法，即分成正數(shù)、負數(shù)和零.

四、相反數(shù)&倒數(shù)

L相反數(shù)：如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反

數(shù)特別地，0的相反數(shù)是0.

【例】+5與-5互為相反數(shù);-5是+5的相反數(shù)；

【注】相反數(shù)必須成對出現(xiàn)，單獨一個數(shù)不能說是相反數(shù).“-5是相反數(shù)”是錯誤的.

2.相反數(shù)的性質(zhì)：

(1)代數(shù)性質(zhì):若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0;反之，若a+b=0,則a與b互為相反數(shù).

(2)幾何性質(zhì)：一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應的點分別位于原點兩側，并且到原點的距離相等，即這兩點是關于

原點對稱的.

3.倒數(shù)：乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).

【例】2與*-3與一］一?與一*

N5o5

4.負倒數(shù)：乘積為-1的兩個有理數(shù)互為負倒數(shù).

【例】2與-%-3與"衿*

【注】①0沒有倒數(shù)，也沒有負倒數(shù)；

②倒數(shù)是它的本身的數(shù)1或-L

五、絕對值

L絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.

2.絕對值運算：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；。的絕對值是0.

'a(a>0)

|a|—'0(a=0)

、一a(a<0)

3.絕對值的性質(zhì)：

⑴非負性：*0；

⑵雙解性:若|a|=|b|,則a=b或a=-b.

【注】如果若干個非負數(shù)的和為0,那么這若干個非負數(shù)都必為0.例如，若|a|+|b|+|c|=0,則a=0,6=0,c=0.

模塊一正數(shù)和負數(shù)

例題1

(1)仔細思考以下各對量：

①勝二局與負三局；②氣溫為-3丁與氣溫升高30。(7;

③盈利5萬元與虧損5萬元；④增加10%與減少20%.

其中具有相反意義的量有()

A.1對B.2對C.3對D.4對

⑵①我國現(xiàn)采用國際通用的公歷紀年法，如果我們把公元2017年記作+2017年，那么，處于公元前500年的春秋

戰(zhàn)國時期可表示為.

②如果80m表示向東走80m,那么-60m表示.

③A,B兩地海拔高度分別是120米,-10米，則B地比A地低一米.

(3)飲料公司生產(chǎn)的一種瓶裝飲料外包裝上印有“600±30(mD”字樣，請問“600±30(ml)”是什么含義？質(zhì)檢局對

該產(chǎn)品抽查5瓶，容量分別為603ml,611ml,589ml,573ml,627ml，問抽查產(chǎn)品的容量是否合格？

【解析】⑴C;［①③④具有相反意義］;

⑵①-500年,②向西走60m,③130;

(3)“600±30(ml)”表示每瓶飲料容量最小可以是(600-30)ml,最大可以是(600+30)ml抽出的5瓶容量均在(600-30)ml

與(600+30)ml之間,因此合格.

【提示】通過這道例題反復強調(diào)，正數(shù)和負數(shù)可以表示相反意義的量.

模塊二有理數(shù)的概念及分類

例題2

⑴下列說法錯誤的是()

A.0既不是正數(shù)也不是負數(shù)B.正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)

C.整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D.正有理數(shù)包括正整數(shù)和正分數(shù)

⑵把下列各數(shù)分別填在所屬分類里：

22RRR

一5,0,—3.14,32,—2.4,絲，-5.5,2.8,—三，3,14159,2003

77114

①正數(shù):{};

②負數(shù):{};

③非負整數(shù):{);

④分數(shù):{};

⑤非正有理數(shù):{};

模塊三數(shù)軸

例題3

⑴下面圖形是數(shù)軸的是()

“I」」」[_____111___________1I|1I?1111111A

-2-1012123-2-1012-1-2-30123

A.B.C.D.

(2)如圖所示，數(shù)軸的一部分被墨水污染了，被污染的部分內(nèi)含有的整數(shù)為—.

(3)已知：點A在數(shù)軸上的位置如圖所示，點B也在數(shù)軸上，且A、B兩點之間的距離是2，則點B表示的數(shù)

A

--------------------11--------------------------->

是一一3---------------O

(4)在數(shù)軸上標出下列各數(shù)：0,-4.2,3義,-2,+7,并用連接.

IIIIIII1IIIIII1>

-7-6-5-4-3-2-10I234567

【解析】(DC；

(2)-1,0,1,2;

(3)-1或—5;

(4)圖略,-4.2<-2<0<11<3|<+7.

【提示】主要考查數(shù)軸的基礎：(1)數(shù)軸三要素：原點，單位長度和正方向；(2)在數(shù)軸上表示數(shù)，右邊的數(shù)大于左

邊的數(shù)另外，第一次接觸分類討論，需要仔細引導.

例題4

(1)一個點沿著數(shù)軸的正方向從原點起移動2個單位長度后，又向反方向移動6個單位長度，則這個點表示的數(shù)

是____-

(2)一個小蟲在數(shù)軸上先向右爬2個單位，再向左爬6個單位，所在位置正好距離數(shù)軸原點2個單位，則小蟲的起

始位置所表示的數(shù)是—.

(3)數(shù)軸上的點A對應的數(shù)是-1,一只螞蟻從A點出發(fā)沿著數(shù)軸向右以每秒3個單位長度的速度爬行至B點后，

用2秒的時間吃光了B點處的蜜糖，又沿原路以原速度返回A點，共用去6秒，則螞蟻爬行的路程是幾個單位長

度?B點與A點的距離是多少個單位長度?B點對應的數(shù)是多少？

【解析】(D-4AB

(2)6或2;*1012345*

(3)螞蟻6s共爬行(6-2)x3=12個單位長度；B點到A點的距離為12+2=6個單位長度；所以B點對應的數(shù)是5.

【提示】總結：數(shù)軸上點的移動，點代表的數(shù)左減右加.

模塊四相反數(shù)&倒數(shù)

例題5

(1)-2017的相反數(shù)是__,2017與____互為相反數(shù).

(2)已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示如圖，則a、b、-a、-b的大小，正確的是()

III

A.—a<—b<a<bB.a<—b<b<—a1°b

C.—b<a<—a<bD.a<b<—b<—a

⑶下列說法正確的是()

A.一個數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)B.兀和.-3.14互為相反數(shù)

C.所有的有理數(shù)都有相反數(shù)D.13和31互為相反數(shù)

【解析】⑴2017,-2017;(2)C;⑶C.

【提示】主要考查相反數(shù)的基本性質(zhì)，建立數(shù)形結合的思想.

例題6

我們可以用字母表示數(shù)，比如a、b都能代表一個數(shù)，在一個數(shù)的前面添上號，就得到這個數(shù)的相反數(shù).

(1)5的相反數(shù)是—:扣勺相反數(shù)是_,0的相反數(shù)是_,數(shù)a的相反數(shù)是一：

(2)-5的相反數(shù)是—用勺相反數(shù)是_____-4的相反數(shù)是一；數(shù)-a的相反數(shù)是一；

⑶-(-2)的相反數(shù)是—;+(-5)的相反數(shù)是—，數(shù)-(+a)的相反數(shù)是一，數(shù)-(-a)的相反數(shù)是—;-(-a-b)與—互為相

反數(shù)

【解析】(1)0,-a;(2)51,4,a;(3)-2,5,a,-a,-a-b.

【提示】總結相反數(shù)的求法，可以結合數(shù)軸：先化簡，再求相反數(shù).

例題7

如果a<0，化簡下列各數(shù)的符號，并說出是正數(shù)還是負數(shù)

@-(+a)；②-(-a);③-[+(-a)];

@-{+[-(-a)]};?-{-{-{-{-{+[-(-a)]}}}}}

【解析】①-(+a)=-a,正數(shù);@-(-a)=a,負數(shù);③-[+(-a)]=a,負數(shù);④-a,正數(shù);⑤-{+[-(-a)]}=-a,正數(shù)；⑥-{-{-{-{-{+[-(-a)]}}}}}=-a,正

數(shù).

【提示】總結：字母前面的符號“奇負偶正”.

例題8

(1)-2017的倒數(shù)是___,2017與____互為負倒數(shù).

⑵一個數(shù)的倒數(shù)等于它本身，這個數(shù)是一;一個數(shù)的倒數(shù)等于它的相反數(shù)，則這個數(shù).

(3)已知a、b為有理數(shù)，在數(shù)軸上如圖所示，則()

1y111

A4.-<1<-叼</1

ab-1a01h

1111

(?.-<-<1D.l<-<-

baba

【解析】(1)—2;—焉;(2)1或-1,不存在;(2)B.

模塊五絕對值

例題9

(1)-2017的絕對值是.+20171的相反數(shù)是.卜2017|與___互為倒數(shù).

(2)①絕對值不大于3的整數(shù)有—；

②絕對值大于2而小于5的負整數(shù)是—.

⑶①若m、n滿足||m-2|+|n-3|=。,,貝！|mn的值等于___;

②|x|=-|y-7|,則xy=.

(4)已知|a|=5,|b|=2,貝!!|a-b由勺值是____.

【解析】(1)2017,2017,嘉；

⑵①0,±1,±2,±3;②-4,-3;

⑶6,0;

(4)3或7.

【提示】⑵可結合數(shù)軸講解，(3)絕對值的非負性，(4)分類討論.

例題10

(1)下列說法正確的個數(shù)()

①-(-a)表示正數(shù)；②|a|一定是正數(shù)，-|a|一定是負數(shù)；③絕對值等于本身的數(shù)只有兩個，是。和1；④如果|a|>|b|,則

a>b.

A.0個B.1個C.2個D.3個

(2)若x表示有理數(shù)，則+x|一定是()

A.正數(shù)B.負數(shù)C.非正數(shù)D.非負數(shù)

⑶下列說法正確的是()

A.若a表示有理數(shù)，則-a表示非正數(shù)B.和為零的兩數(shù)互為相反數(shù)

C一個數(shù)的絕對值必是正數(shù)D.若|a|>|b|,則a<b<0

【解析】⑴A;⑵C;⑶B.

【提示】綜合考查相反數(shù)，絕對值和倒數(shù)的概念，主要是代數(shù)感的建立.

復習鞏固

演練1

(1)如果節(jié)約16噸水記作+16噸，則浪費6噸水記作.

⑵在體育課的跳遠比賽中，以4.00米為標準，若小東跳出了4.22米，可記做+0.22,那么小東跳出了3.85米，記

作.

(3)把下列各數(shù)填入表示它所在的大括號：

-2.4,3,2.008,-0,-(-2),3.14,-|-4|.

a4

正有理數(shù):{}

非負整數(shù):{)

負分數(shù):{}

【解析】(1)-6噸：

(2)-0.15;

(3)正有理數(shù):3,2.008,1-(-2),3.14;

非負整數(shù)：3,0,-(-2);

負分數(shù)：-2.4,-三,-0.18.

演練2

(1)下列說法正確的是()

A.在有理數(shù)中，零的意義僅僅表示沒有

B.正有理數(shù)和負有理數(shù)組成全體有理數(shù)

C.0.5既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，因而它不是有理數(shù)

D.零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)

(2)下列說法不正確的是()

A.絕對值等于本身的數(shù)是非負數(shù)

B.倒數(shù)等于本身的數(shù)有2個

C.有理數(shù)可分為整數(shù)和分數(shù)

D.兩個負數(shù)比較大小，絕對值越大的數(shù)越大

【解析】(DD;

⑵D.

演練3

⑴如圖，表示數(shù)軸正確的是（）

111II11II11

-2-1012-1-20123

A.B.

III■I

-2-1012