高中三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)《一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)》教學(xué)課件

8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)1.通過(guò)用數(shù)學(xué)方法刻畫(huà)散點(diǎn)與直線接近的程度，體會(huì)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)原理，能推導(dǎo)參數(shù)估計(jì)公式，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2.通過(guò)對(duì)殘差和殘差圖的分析，能用殘差判斷一元線性回歸模型的有效性，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力.重點(diǎn)：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì).難點(diǎn)：參數(shù)估計(jì)值公式的推導(dǎo)，利用殘差分析回歸模型.問(wèn)題1：為了研究?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們建立了一元線性回歸模型達(dá)式刻畫(huà)的是變量Y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，其中參數(shù)a和b未知，我們能否通過(guò)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)a和b?與函數(shù)模型不同，回歸模型的參數(shù)一般是無(wú)法精確求出的，只能通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù)。追問(wèn)1：我們?cè)鯓訉ふ乙粭l“最好”的直線，使得表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最“接近”？目標(biāo)：從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)學(xué)的方法刻畫(huà)“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”利用點(diǎn)到直線y=bx+a的“距離”來(lái)刻畫(huà)散點(diǎn)與該直線的接近程度，然后用所有“距離”之和刻畫(huà)所有樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與該直線的接近程度.由yi=bxi+a+ei（i=1，2，…，n)，得|yi一(bxi+a)|=|ei|.顯然|ei|越小，表示點(diǎn)(xi，yi）與點(diǎn)（xi，bxi十a(chǎn)）的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小。特別地，當(dāng)ei=0時(shí)，表示點(diǎn)(xi，yi）在這條直線上.我們?cè)O(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2），…，(xn，yn)因此，可以用

來(lái)刻畫(huà)各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的整體接近程度。殘差平方和：求a，b的值，使Q（a，b）最小上式是關(guān)于b的二次函數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)b的取值為

我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫最小二乘法．注意：1、經(jīng)驗(yàn)回歸必過(guò).

問(wèn)題2：利用上節(jié)課的數(shù)據(jù)，依據(jù)用最小二乘估計(jì)一元線性回歸模型參數(shù)的公式，求出兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程。通過(guò)信息技術(shù)，計(jì)算求得追問(wèn)1：當(dāng)x=176時(shí)，,如果一位父親身高為176cm,他兒子長(zhǎng)大后身高一定能長(zhǎng)到177cm嗎？為什么？追問(wèn)2：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程

中斜率的具體含義，高個(gè)子的父親一定生高個(gè)子的兒子嗎？同樣，矮個(gè)子的父親一定生矮個(gè)子的兒子嗎？追問(wèn)3：根據(jù)模型，父親身高為多少時(shí)，長(zhǎng)大成人的兒子的平均身高與父親身高一樣？你怎么看這個(gè)判斷？

概念新授問(wèn)題3：兒子身高與父親身高的關(guān)系，運(yùn)用殘差分析所得的一元線性回歸模型的有效性嗎？殘差圖：作圖時(shí)縱坐標(biāo)

為殘差,橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．從上面的殘差圖可以看出，殘差有正有負(fù)，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在橫軸的兩邊，可以判斷樣本數(shù)據(jù)基本滿足一元線性回歸模型對(duì)于隨機(jī)誤差的假設(shè)。所以，通過(guò)觀察殘差圖可以直觀判斷樣本數(shù)據(jù)是否滿足一元線性回歸模的假設(shè)，從而判斷回歸模型擬合的有效性。一般地，建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程后，通常需要對(duì)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析.借助殘差分析還可以對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)與決策.(1)(2)(3)(4)追問(wèn)1：觀察以下四幅殘差圖，你認(rèn)為哪一個(gè)殘差滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定？圖（1）顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型；圖（2）顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分；圖（3）說(shuō)明殘差的方