遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2024年9月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．02．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．已知是無(wú)窮數(shù)列，，則“對(duì)任意的”，都有”是“是等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，得到的圖象，則（）A． B． C． D．5．通常用聲強(qiáng)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，假設(shè)講話瞬間發(fā)出聲音的聲強(qiáng)為，則經(jīng)過(guò)t秒后這段聲音的聲強(qiáng)變?yōu)椋渲惺且粋€(gè)常數(shù)．定義聲音的聲強(qiáng)衰減到原來(lái)的所需的時(shí)間為，則約為（）附：，．A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，則（）A．48 B．50 C．52 D．547．已知函數(shù)，對(duì)任意的都有，且，則下列說(shuō)法不正確的是（）A． B．是奇函數(shù)C．是R上的增函數(shù) D．8．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．若，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)，則11．若定義在R上的函數(shù)，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是周期為4的周期函數(shù)C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為_(kāi)_______．13．設(shè)集合，．若，則a=________．14．已知且時(shí)，不等式恒成立，則正數(shù)m的取值范圍是________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．16．（15分）已知函數(shù)．（1）求曲線的對(duì)稱軸；（2）已知，，求的值．17．（15分）如圖，已知斜三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让?，?cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值．18．（17分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，且對(duì)于任意，滿足．（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）設(shè)，證明：．19．（17分）對(duì)于數(shù)列，定義：若存在函數(shù)，使得數(shù)列的前n項(xiàng)和小于，則稱數(shù)列是“控制數(shù)列”．（1）設(shè)，證明：存在，使得等差數(shù)列是“控制數(shù)列”；（2）設(shè)，，判斷數(shù)列是否是“控制數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（3）仿照上述定義，我們還可以定義：若存在實(shí)數(shù)T，使得數(shù)列的前n項(xiàng)積小于T，則稱數(shù)列是“T特控?cái)?shù)列”．設(shè)，其中，證明：數(shù)列是“特控?cái)?shù)列”．遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2024年9月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及解析1．【答案】A【解析】由題可知，，因此．2．【答案】B【解法】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，即可求解．【解析】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”．故選：B．3．【答案】A【解析】對(duì)任意的，都有，令，可以得到，因此是公差為的等差數(shù)列：若，則，故“對(duì)任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件．4．【答案】A【解法】由三角函數(shù)圖象的平移與伸縮變換求解即可．【解析】的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，得到的圖象故選：A．5．【答案】B【解法】根據(jù)已知公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果【解析】由題意，，即，等號(hào)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，即，所以．故選：B．6．【答案】C【解法】法一：由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可證明中奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差均為2，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可；法二：由題意可得，數(shù)列是以7為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可．【解析】法一：∵①，∴當(dāng)時(shí)，②，①-②得當(dāng)時(shí)，，∴中奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差均為2．∵，∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．∴．法二：∵，∴，，∴數(shù)列是以7為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴．故選：C．7．【答案】C【解析】令，得到，因此，所以選項(xiàng)A正確；令，得到，即，所以選項(xiàng)B正確；條件可以化為，記，因此，符合條件，從而，不是R上的增函數(shù)，所以選項(xiàng)C不正確；令，，得，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，所以D選項(xiàng)正確．8．【答案】A【解法】進(jìn)行合理?yè)Q元和同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，最后得到參數(shù)的取值范圍即可【解析】令，即．令，定義域?yàn)椋?，易知在上單調(diào)遞增，且．所以，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A．9．【答案】BD【解法】由，分類討論和時(shí)的情況可判斷選項(xiàng)A，B；取特殊值可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)D．【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；所以，即，選項(xiàng)B正確；當(dāng)，時(shí)，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，選項(xiàng)D正確．故選：BD．10．【答案】AB【解法】根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐一判斷即可．【解析】由題圖得，，又，所以，選項(xiàng)A正確；即，由，得，，解得，，又，所以，故，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；令，，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，則函數(shù)在區(qū)間上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，由，得，若函?shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．11．【答案】ABC【解法】利用賦值法結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可．【解析】因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以．又，則，即，所以，故是周期為4的周期函數(shù)．因?yàn)椋砸彩侵芷跒?的周期函數(shù)，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，則，即，所以，所以為偶函數(shù)，選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋?，得，即，令，得，即，故，選項(xiàng)C正確；由，得，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．【答案】（5分）【解法】利用基本不等式可求得ab的最大值【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故ab的最大值為．故答案為：．13．【答案】2（5分）【解法】先根據(jù)題目條件以及集合中元素的互異性證明，再驗(yàn)證滿足條件即可．【解析】因?yàn)椋?，所以，所以是整?shù)，且，再由集合中元素的互異性知，，．所以a是整數(shù)，且，，，得．當(dāng)時(shí)，，，故，滿足條件．故答案為：2．14．【答案】（5分）【解析】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè)，則，單調(diào)遞增，且，①若，即時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，故只需，即，解得；②若，即時(shí)，，即時(shí)，恒成立．綜上，m的取值范圍是．15．【答案】（1）（5分）（2）（8分）【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，， （1分）， （2分）由解得， （4分）所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為． （5分）（2），時(shí)，或． （6分）①若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，函數(shù)取極小值； （8分）②若，當(dāng)或時(shí)，．因此不是函數(shù)的極值點(diǎn)； （10分）③若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，函數(shù)取極大值． （12分）綜上，a的取值范圍是． （13分）16．【答案】（1）（7分）（2）（8分）【解析】解：（1），， （2分）． （5分）由，得曲線的對(duì)稱軸為． （7分）（2）由題意可得，即， （8分）又，則，則， （10分）所以， （12分）故 （15分）17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（6分）（2）（9分）【解析】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)，連接EF，EG，則，， （1分）又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC， （3分）因?yàn)?，平面EFG，平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC， （5分）因?yàn)槠矫鍱FG，所以FG∥平面ABC． （6分）（2）解：側(cè)面是矩形，所以，又因?yàn)槠矫妗推矫?，平面平面，所以BC⊥平面， （7分）又平面，因此．在菱形中，，因此是等邊三角形，又E是的中點(diǎn)，所以，從而得． （8分）如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BE，，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，因此，，，，所以，，?（10分）設(shè)平面的法向量為，由，得，由，得，令，得， （11分）設(shè)平面的法向量為，由，得，由，得，令，得， （12分）． （15分）所以二面角的余弦值為．18．【答案】（1）（5分）（2）證明見(jiàn)解析（4分）（3）證明見(jiàn)解析（8分）【解析】（1）解：由題意，計(jì)算得， （1分）由，可得，相減可知，整理可得， （3分）所以為定值，定值為為等差數(shù)列，故． （5分）（2）證明:由（1）得，所以， （6分），故． （9分）（3）證明：， （11分）因?yàn)椋?（13分）所以． （17分）另解：．19．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（3分）（2）數(shù)列是“控制數(shù)列”，理由見(jiàn)解析（5分）（3）證明見(jiàn)解析（9分）【解析】（1）證明：不妨設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，前n項(xiàng)和為，則， （1分）取，，，則，即存在，使得等差數(shù)列是“控制數(shù)列”得證． （