2021-2022學(xué)年江西省吉安市峽江縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年江西省吉安市峽江縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．（3分）下列既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A．菱形 B．平行四邊形 C．等邊三角形 D．等腰梯形2．（3分）若一元二次方程的兩根為，，則的值是A．4 B．2 C．1 D．3．（3分）在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個，能讓燈泡發(fā)光的概率是A． B． C． D．4．（3分）如圖，小李打網(wǎng)球時，球恰好打過網(wǎng)，且落在離網(wǎng)的位置上，則球拍擊球的高度為A． B． C． D．5．（3分）如圖，把拋物線沿直線平移個單位后，其頂點在直線上的處，則平移后的拋物線解析式是A． B． C． D．6．（3分）如圖，等邊三角形的邊長為4，點是的中心，，繞點旋轉(zhuǎn)，分別交線段、于、兩點，連接，給出下列四個結(jié)論：①；②；③四邊形的面積始終等于；④周長的最小值為6．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）已知，均為銳角，且滿足，則．8．（3分）已知一個正比例函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象的一個交點為，則另一個交點坐標(biāo)是．9．（3分）某校九（1）班的學(xué)生互贈新年賀卡，共用去1560張賀卡，則九（1）班有名學(xué)生．10．（3分）如圖，菱形中，，于點，且，連接，則的度數(shù)為度．11．（3分）如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為，則的所有可能的值之和為．12．（3分）如圖，矩形中，，，點是的中點，點在上，，是矩形上一動點．若點從點出發(fā)，沿的路線運動，當(dāng)時，的長為．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）解方程：（1）；（2）．14．（6分）如圖，在中，，，，分別為垂足．（1）求證：；（2）求證：四邊形是矩形．15．（6分）如圖，反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點，兩點，點在第四象限，軸，．（1）求的值及點坐標(biāo)；（2）求的面積．16．（6分）如圖，在矩形中，點為的中點，請只用無刻度的直尺作圖（1）如圖1，在上找點，使點是的中點；（2）如圖2，在上取兩點，，使，是的三等分點．17．（6分）我國于2019年6月5日首次完成運載火箭海上發(fā)射，這標(biāo)志著我國火箭發(fā)射技術(shù)達(dá)到了一個嶄新的高度．如圖，運載火箭從海面發(fā)射站點處垂直海面發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點處時，海岸邊處的雷達(dá)站測得點到點的距離為8千米，仰角為．火箭繼續(xù)直線上升到達(dá)點處，此時海岸邊處的雷達(dá)測得處的仰角增加，求此時火箭所在點處與發(fā)射站點處的距離．（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：，四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）已知如圖，在中，平分交于點，點在上，且；（1）求證：；（2）求證：．19．（8分）如圖，，點，分別在，上，連接，、的平分線交于點，、的平分線交于點．（1）求證：四邊形是矩形；（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過作，分別交，于點，，過作，分別交，于點，，得到四邊形，此時，他猜想四邊形是菱形，他的猜想是否正確，請予以說明．20．（8分）小聰同學(xué)周六到某歡樂谷玩迷宮游戲，從迷宮口到達(dá)迷宮口有多個路口，如圖所示（迷宮的一部分），規(guī)定從迷宮口到達(dá)處不能重復(fù)走同一路線，且小聰走每一條路線的可能性相同．（1）請用畫樹狀圖的方法，求小聰同學(xué)從迷宮口到達(dá)處所走的所有可能路線；（2）求小聰同學(xué)從迷宮口到達(dá)處經(jīng)過路口的概率．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件與銷售單價（元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該商品每天獲得的利潤（元最大？最大利潤是多少？（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？22．（9分）對于兩個不相等的有理數(shù)，，我們規(guī)定符號，表示，中的較大值，如，，，．請解答下列問題：（1）；（2）如果，，求的取值范圍；（3）如果，，求的值．六、（本大題共12分）23．（12分）如圖，拋物線經(jīng)過點，點，軸于點，連接，等腰直角三角形的斜邊在軸上，點的坐標(biāo)為，點與原點重合（1）求拋物線的解析式并直接寫出它的對稱軸；（2）以每秒1個單位長度的速度沿軸正方向移動，運動時間為秒，當(dāng)點落在邊上時停止運動，設(shè)與的重疊部分的面積為，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）點是拋物線對稱軸上一點，當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出所有符合條件的點坐標(biāo)．

2021-2022學(xué)年江西省吉安市峽江縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．（3分）下列既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A．菱形 B．平行四邊形 C．等邊三角形 D．等腰梯形【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【解答】解：．菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；．平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；．等邊三角形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；．等腰梯形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：．【點評】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，能熟記中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．2．（3分）若一元二次方程的兩根為，，則的值是A．4 B．2 C．1 D．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計算的值．【解答】解：根據(jù)題意得，，所以．故選：．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．3．（3分）在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個，能讓燈泡發(fā)光的概率是A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能讓燈泡發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡發(fā)光的有2種情況，能讓燈泡發(fā)光的概率為，故選：．【點評】本題考查了列表法、樹狀圖法求概率，畫出樹狀圖得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況是正確解答的關(guān)鍵．4．（3分）如圖，小李打網(wǎng)球時，球恰好打過網(wǎng)，且落在離網(wǎng)的位置上，則球拍擊球的高度為A． B． C． D．【分析】利用平行得出三角形相似，運用相似比即可解答．【解答】解：，，，，經(jīng)檢驗：是原方程的根．故選：．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，根據(jù)已知得出是解決問題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，把拋物線沿直線平移個單位后，其頂點在直線上的處，則平移后的拋物線解析式是A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)點所在位置設(shè)出點坐標(biāo)為再根據(jù)，利用勾股定理求出的值，然后根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)：左加右減，上加下減可得解析式．【解答】解：在直線上，設(shè)，，，解得：舍去），，，平移后的拋物線解析式為：，故選：．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的幾何變換，關(guān)鍵是求出點坐標(biāo)，掌握拋物線平移的性質(zhì)：左加右減，上加下減．6．（3分）如圖，等邊三角形的邊長為4，點是的中心，，繞點旋轉(zhuǎn)，分別交線段、于、兩點，連接，給出下列四個結(jié)論：①；②；③四邊形的面積始終等于；④周長的最小值為6．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】連接、，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得，再證明，于是可判斷，所以，，則可對①進(jìn)行判斷；利用得到四邊形的面積，則可對③進(jìn)行判斷；作，如圖，則，計算出，利用隨的變化而變化和四邊形的面積為定值可對②進(jìn)行判斷；由于的周長，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時，最小，的周長最小，計算出此時的長則可對④進(jìn)行判斷．【解答】解：連接、，如圖，為等邊三角形，，點是的中心，，、分別平分和，，即，而，即，，在和中，，，，所以①正確；，四邊形的面積，所以③正確；作，如圖，則，，，，，，，即隨的變化而變化，而四邊形的面積為定值，；所以②錯誤；，的周長，當(dāng)時，最小，的周長最小，此時，周長的最小值，所以④正確．故選：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）已知，均為銳角，且滿足，則．【分析】直接利用絕對值的非負(fù)性和偶次方的非負(fù)性得出，，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：，，，，，，，則．故答案為：．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．8．（3分）已知一個正比例函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象的一個交點為，則另一個交點坐標(biāo)是．【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱．【解答】解：反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱，另一個交點的坐標(biāo)與點關(guān)于原點對稱，該點的坐標(biāo)為．故答案為：．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，要求同學(xué)們要熟練掌握關(guān)于原點對稱的兩個點的坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．9．（3分）某校九（1）班的學(xué)生互贈新年賀卡，共用去1560張賀卡，則九（1）班有40名學(xué)生．【分析】設(shè)九（1）班有名學(xué)生，則每名學(xué)生需送出張新年賀卡，利用九（1）班共用去賀卡的數(shù)量人數(shù)每人送出新年賀卡的數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)九（1）班有名學(xué)生，則每名學(xué)生需送出張新年賀卡，依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），九（1）班有40名學(xué)生．故答案為：40．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，菱形中，，于點，且，連接，則的度數(shù)為15度．【分析】利用菱形的性質(zhì)得出的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出的度數(shù)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：菱形中，，，，，，于點，，，菱形中，，，的度數(shù)為：．故答案為：．【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，得出是解題關(guān)鍵．11．（3分）如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為，則的所有可能的值之和為38．【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從主視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和個數(shù)，從而算出總的個數(shù)．【解答】解：主視圖最右邊可能有4或5或6個小正方體；由主視圖最左邊看到只有一列，俯視圖也只有一列，則左邊有一個小正方體；主視圖中間有兩列，俯視圖亦有兩列，則中間可以有3或4個小正方形．的值可能為：，，，，，，則的所有可能的值之和．故本題答案為：38．【點評】本題考查對三視圖的理解應(yīng)用及空間想象能力．可從主視圖上分清物體的上下和左右的層數(shù)，從俯視圖上分清物體的左右和前后位置，綜合上述分析數(shù)出小立方塊的個數(shù)．12．（3分）如圖，矩形中，，，點是的中點，點在上，，是矩形上一動點．若點從點出發(fā)，沿的路線運動，當(dāng)時，的長為4或8或．【分析】如圖，連接，，，取的中點，連接、．以為圓心畫交于．只要證明，即可推出，，解決問題．【解答】解：如圖，連接，，，取的中點，連接、．以為圓心的長度為半徑，畫交于．四邊形是矩形，，，，，，，，易知，是等邊三角形，，，，，故答案為4或8或．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的有關(guān)知識、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）解方程：（1）；（2）．【分析】（1）兩邊直接開平方，繼而得到兩個關(guān)于的一元一次方程，解之即可；（2）先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可．【解答】解：（1），或，解得，；（2），，則，或，解得，．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．14．（6分）如圖，在中，，，，分別為垂足．（1）求證：；（2）求證：四邊形是矩形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，由已知得出，由證明即可；（2）證出，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，在和中，，，；（2）證明：，，，四邊形是矩形．【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．15．（6分）如圖，反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點，兩點，點在第四象限，軸，．（1）求的值及點坐標(biāo)；（2）求的面積．【分析】（1）先把代入中求出得到；再把點坐標(biāo)代入中可確定的值，然后利用反比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)確定點坐標(biāo)；（2）設(shè)，根據(jù)兩點間的距離公式和勾股定理得到，求出得到，從而得到的長，然后關(guān)鍵三角形面積公式求得即可．【解答】解：（1）把代入得，則；把代入得，點與點關(guān)于原點對稱，；（2）軸，點的橫坐標(biāo)為1，設(shè)，．，即，解得，，，．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．16．（6分）如圖，在矩形中，點為的中點，請只用無刻度的直尺作圖（1）如圖1，在上找點，使點是的中點；（2）如圖2，在上取兩點，，使，是的三等分點．【分析】（1）根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分作出圖形即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理作出圖形即可．【解答】解：（1）如圖1，連接、交于點，延長交于，則點即為所求；（2）如圖2，交于，延長交于，連接交于，連接交于，則、即為所求．【點評】本題考查的是作圖的應(yīng)用，掌握矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理、正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．17．（6分）我國于2019年6月5日首次完成運載火箭海上發(fā)射，這標(biāo)志著我國火箭發(fā)射技術(shù)達(dá)到了一個嶄新的高度．如圖，運載火箭從海面發(fā)射站點處垂直海面發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點處時，海岸邊處的雷達(dá)站測得點到點的距離為8千米，仰角為．火箭繼續(xù)直線上升到達(dá)點處，此時海岸邊處的雷達(dá)測得處的仰角增加，求此時火箭所在點處與發(fā)射站點處的距離．（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：，【分析】利用已知結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出的長．【解答】解：如圖所示：連接，由題意可得：，，，，在直角中，．在直角中，．答：此時火箭所在點處與發(fā)射站點處的距離約為．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）已知如圖，在中，平分交于點，點在上，且；（1）求證：；（2）求證：．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，由，得到，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由，推出，等量代換得到，證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）平分，，，，，；（2），，，，，，，即．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．19．（8分）如圖，，點，分別在，上，連接，、的平分線交于點，、的平分線交于點．（1）求證：四邊形是矩形；（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過作，分別交，于點，，過作，分別交，于點，，得到四邊形，此時，他猜想四邊形是菱形，他的猜想是否正確，請予以說明．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行導(dǎo)角，可求得四邊形的四個內(nèi)角均為，進(jìn)而可說明其為矩形．（2）根據(jù)題目條件可得四邊形為平行四邊形，要證菱形只需鄰邊相等，連接，由于，要證，只需證，只需證四邊形為平行四邊形，可證、點分別為、中點，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：平分，平分，，，，，，，，同理可得：，平分，平分，，，點、、在同一條直線上，，即，，即，四邊形是矩形（2）解：他的猜想正確，理由是：，，四邊形為平行四邊形．如圖，延長交于點，，，，，，，，，，，同理可得，，，四邊形為平行四邊形，，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形是矩形，，，平行四邊形為菱形．【點評】本題考查矩形、菱形的性質(zhì)與判定，屬于綜合題，熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)及判定方法是解題關(guān)鍵．20．（8分）小聰同學(xué)周六到某歡樂谷玩迷宮游戲，從迷宮口到達(dá)迷宮口有多個路口，如圖所示（迷宮的一部分），規(guī)定從迷宮口到達(dá)處不能重復(fù)走同一路線，且小聰走每一條路線的可能性相同．（1）請用畫樹狀圖的方法，求小聰同學(xué)從迷宮口到達(dá)處所走的所有可能路線；（2）求小聰同學(xué)從迷宮口到達(dá)處經(jīng)過路口的概率．【分析】（1）根據(jù)題意得出小聰同學(xué)從迷宮口到達(dá)處所走的所有可能路線共有4種；（2）根據(jù)概率公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意畫圖如下：小聰同學(xué)從迷宮口到達(dá)處所走的所有可能路線共有4種；（2）一共有4種情況，而過的有3種，故小聰同學(xué)從迷宮口到達(dá)處經(jīng)過路口的概率為．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件與銷售單價（元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該商品每天獲得的利潤（元最大？最大利潤是多少？（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？【分析】（1）將點、代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）由題意得，即可求解；（3）由題意得，解不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式為：，將點、代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）由題意得：，，故當(dāng)時，隨的增大而增大，而，當(dāng)時，有最大值，此時，，故銷售單價定為50元時，該商店每天的利潤最大