立體幾何-二面角經(jīng)典求法

立體幾何中二面角求法（一）、二面角定義的回顧：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角來衡量的。而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角。OABOABOABl1、利用定義作出二面角的平面角，并設(shè)法求出其大小。例1、如圖,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.POBA解:設(shè)平面∩PABαPOBA∵PA⊥α,аα∴PA⊥а同理PB⊥а∴а⊥平面PAB又∵OA平面PAB∴а⊥OA同理а⊥OB.∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.在四邊形PAOB中,∠AOB=120°,.∠PAO=∠POB=90°,所以∠APB=60°三垂線定理（逆定理）法由二面角的一個(gè)面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角。ABCDA1B1C1D1EO例2：如圖,ABCD-A1B1C1D1是長方體,側(cè)棱AA1長為1,底面為正方體且邊長為ABCDA1B1C1D1EO解：在長方體ABCD—A1B1C1D1中由三垂線定理可得：CDCE=1,DE=3、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角。例5、如圖，已知PA與正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小。解:∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．P又CD⊥AD，故CD⊥平面PAD．AD而CD平面PCD，BC所以平面PCD⊥平面PAD．同理可證平面PAB⊥平面PAD．因?yàn)槠矫鍼CD∩平面PAD＝PD，平面PAB∩平面PAD＝PA，所以PA、PD與所求二面角的棱均垂直，即∠APD為所求二面角的平面角，且∠APD＝45°．5、平移或延長（展）線（面）法將圖形中有關(guān)線段或平面進(jìn)行平移或延長（展），以其得到二面角的兩個(gè)平面的交線。例3、正三角形ABC的邊長為10，A∈平面α，B、C在平面α的同側(cè)，且與α的距離分別是4和2，求平面ABC與α所成的角的正弦值。解：設(shè)E、F分別為B、C的射影，連EF并延長交BC延長線于D，連AD；AE∵E、F是B、C射影∴BE丄α；∵CF丄α∴BE∥CF又CF：BE=，B∴C是BD的中點(diǎn)∴BC=DC，C∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，又∠ACB+∠ACD=180°，EFD∴∠ACD=120°又AC=DC，A∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=90°，∴BA丄AD，又∵AE是AB在平面α上的射影，∴AE⊥AD又BA⊥AD，平面ABC∩平面α=A，∴∠BAE是平面ABC與α所成的角，∴BE⊥平面α，∴BE⊥AE，∴ΔABC是RtΔSin∠BAE=BE：AB=，即平面ABC與α所成角的正弦值為。6、射影公式由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。運(yùn)用這一方法的關(guān)鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關(guān)平面上的射影，而且它們的面積容易求得。AHMD1C1B1A1BAHMD1C1B1A1BCD解：∵D1D⊥面ABCD，C1C⊥面ABCD，∴?BMD1在底面上的射影為?BDC，設(shè)正方體的棱長a，則S?BCD=a，BD1=a所以∴MH=a，S?BMD1=a由S?BDC=S?BMD1cosθ得θ=arccos7、化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角例6、在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．求證:A1C⊥平面AEF；若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角(或直角)，則在空間中有定理：“若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成角的大小相等．”（2）、試根據(jù)上述定理，在AB＝4，AD＝3，AA1＝5時(shí)，求平面AEF與平面D1B1BD所成角的大小的余弦值A(chǔ)BCDA1B1C1D1FEG解：ABCDA1B1C1D1FEG又∵A1B⊥AE∴A1C⊥AE同理A1C⊥AF∴A1C⊥平面AEF的解法如下：過C作BD的垂線交AB于G．又D1D⊥CG，故CG⊥平面BB1D1D．而A1C⊥平面AEF((1)已證)，設(shè)CG與A1C所成的角為α，則α即為平面BB1D1D與平面AEF所成的角．Sin∠BCG＝Sin∠ABD＝，，Cos∠BCG＝，GC＝BG=，AG=A1G=A1A+AG=，A1C=AB+AD+AA1=50在?A1CG中，由余弦定理得Cos∠A1CG=練習(xí)題：一、定義法：例1:如圖1，設(shè)正方形ABCD-A1B1C1D！中，E為CC1中點(diǎn)，求截面A1BD和EBD所成二面角的度數(shù)。本題可用定義法直接作出兩截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，設(shè)AC、BD交于O，連EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EO⊥⊥BD，A1O⊥BD，故∠EOA1為所求二面角的平面角。二、垂面法例2如圖3，設(shè)三棱錐V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分別交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度數(shù)。本題應(yīng)用垂線法作出二面角的平面角，因△VBC為等腰三角形，E為VC中點(diǎn)，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，從而BD⊥平面VAC。三、垂線法：例3如圖6，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點(diǎn)。（1）求證：A1、E、C、F四點(diǎn)共面；（2）求二面角A1-EC-D的大小。（1）要證A1、E、C、F四點(diǎn)共面，可證：A、F//EC，取DC中點(diǎn)H，連AH、FH，則AHEC，又FHA1A。故A1F//AH，即A1F//EC，從而A、E、C、F四點(diǎn)共面。（2）要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本題可用三垂線法，因FH⊥底面ABCD于H，過H作HM⊥EC于M，連FM，則由三垂線定理知FM⊥EC。

所以∠HMF為所求二面角A1-EC-D的平面角。

四、延伸法例4.如圖10，設(shè)正三棱柱ABC-A'B'C'各棱長均為α，D為CC1中點(diǎn)，求平面A'BD與平面ABC所成二面角的度數(shù)。分析與解

由圖，平面A'BD與平面ABC只出現(xiàn)一個(gè)交點(diǎn)，故延長A'D交AC延長線于F點(diǎn)，連BF，則BF為所求二面角的棱。因CD=C'D，則A'C'=CF=BC=AC，所以∠ABF=90°，取BF中點(diǎn)E，連DE，則CE⊥BF，又DC⊥平面ABF，即DE⊥BF，從而∠DEC為所求二面角的平面角。五、射影法