2024上海楊浦區(qū)高考數學(理)三模試題(附答案)

2024年楊浦區(qū)高考模擬（三模）

數學理試卷

填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙上相應編號的空格內

干脆填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.

1.設。=凡知={幻/-2工>0},則C〃M=

2.（理科）計算：lim--------------------=__________.

”->81+2+3+…+〃

3.二項綻開式（x-'）6中的常數項為.（用數字作答）

x

4.（理科）已知一個關于X、y的二元一次方程組的增廣矩陣是-1則x+y二.

5.（理科）已知點G為&48c的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且

AM=xAB,贏=yAC,則±一的值為________________.

x+y

102

6.（理科）直線/的方程為x23=0,則直線/的一個法向量是.

y-12

7.（理科）函數y=sin（x+?cosx的最大值為.

8.（理科）在極坐標系中，點（、6,2）到直線夕cose-夕sme-i=o的距離等于______.

4

Y-1_1_cosB

9.（理科）若直線3x+4），+/n=0與曲線jyZ_2+sin/9（。為參數）沒有公共點，則實

數陽的取值范圍是.

10.（理科）已知圓錐底面半徑與球的半徑都是1cm,假如圓錐的體積恰好也與球的體積相等,

那么這個圓錐的母線長為cm.

11.（理科）己知函數/（x）=ax+l-2（a>0,且。工1）,設廣氣為是六幻的反函數.若

y=/■,（%）的圖象不經過其次象限，則。的取值范圍.

12.（理科）知離散型隨機變量x的分布列如右表。若Ev=0,Dx=\,K1,a=*b=。

X-1012

1

Pabc—

12

13.已知函數/（幻是定義在R上的奇函數.當x<0時，/（X）=X2-6,則x>0時，

不等式/（x）<x的解集為—.

14.（理科）設〃cN"圓C”：￡+72=用（4>0）與丁軸正半軸的交點為〃，與曲線

y=4的交點為Ny,），“），直線MN與x軸的交點為4凡,0）.若數列｛玉｝滿意：

xn+I=4怎+3,芭=3.則常數〃=使數列｛/川一〃?4｝成等比數列；

選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案,選對得5分，

答案代號必需填在答題紙上.留意試題題號與答題紙上相應編號一一對應,不能錯位.

15.（理科）一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是有一條邊水平的等邊三角形，則這個

三角形肯定是（）

（A）.銳角三角形（B）.直角三角形

（C）.鈍角三角形（D）.以上都有可能

16.為了得到函數y=sin（2x-g）的圖象，只需把函數y=sin2x的圖象（）

JF1T

（A）向左平移上個單位長度（B）向右平移巳個單位長度

33

（C）向左平移N個單位長度（D）向右平移N個單位長度

66

17.等差數列｛%｝中，公差d=2,且成等比數列，則。2=（）

（A）.—4（B）.—6（C）.—8（D）.—10

18.（理科）假如函數y=|x|-2的圖像與曲線C:/+4y2=4恰好有兩個不同的公共點，則

實數4的

取值范圍是()

(A).[-1J)(B).{-1.0}(C).(-oo,-l]U[0,1)(D).[-1,01U(l,+oo)

三、解答題

G.（本題滿分12分）本題共有2個小題，每小題滿分各6分.

（理科）如圖，在棱長為1的正方體4MM園G〃中，點E是棱歷上的動點.

（1）求證：D&IE9；

（2）若直線與平面喇成角為45°,求一的值;

AB

20.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

（理科）己知虛數Z]=cosa+isina,z2=cos/?+zsinJ3,

（1）若％-Zzb,百，求cos（a-￡）的值；

（2）若zi,Z2是方程3x『2x+c=0的兩個根，求實數c的值。

21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

（理科）氣象臺預報，距離S島正東方向300km的4處有一臺風形成，并以每小時30km的

速度向北偏西30。的方向移動，在距臺風中心處不超過270km以內的地區(qū)將受到臺風的影

響.

問：（1）從臺風形成起經過3小時，S島是否受到影響（精確到0.1km）?（2）從臺風形成起

經過多少小時，S島起先受到臺風的影響？持續(xù)時間多久？（精確到0.1小時）

22.（本題滿分16分）本題共有2個小題，第1小題①滿分4分，②滿分6分；第2小題

滿分6分.

（理科）已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為片、尸2，

拋物線（m>0）的準線與x軸交于K，橢圓C與拋物線M的一個交點為

P.

（1）當相=1時，①求橢圓。的方程；②直線/過焦點尸2,與拋物線M交于A、B兩點、,

若弦長且等于的周長，求直線/的方程；

（2）是否存在實數機，使得AP6用的邊長為連續(xù)的自然數.

23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3

小題滿分8分.

（理科）在數列｛%｝中，若〃；一見了=女（〃？2,Z為常數），

則稱｛〃〃｝為X數列.

（1）若數列｛〃,｝是X數列，4=1,%=3,寫出全部滿意條件的數列｛"｝的前4

項；

（2）證明：一個等比數列為X數列的充要條件是公比為1或-1；

（3）若*數列｛?！ǎ凉M意6=2,c2=2y/2,c“>0,設數列，，的前〃項和為是

.Cn.

否存在正整數p,夕，使不等式7；>而行一1對一切〃都成立？若存

在，求出p,4的值；若不存在，說明理由

2024年高考數學模擬試卷

（理答案僅供參考）

考生留意：

1.答卷前，考生務必將姓名、高考準考證號填寫清晰.并在規(guī)定的區(qū)域內貼上條形碼。

2.本試卷共有23道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.

填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙上相應編號的空格內

干脆填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.

1.設U=R,M={x|%2-2x>0},則二[0,2]_

2.（理科）計算：lim--------星------=______2____

1+2+3H-----Fn

3.二項綻開式*-'）6中的常數項為-20_.（用數字作答）

x

4.（理科）已知一個關于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是*，則戶產.

6

5.（理科）已知點G為&48c的重心，過G作直線與A3、AC兩邊分別交于M、N兩點，且

AM=xAB,AN=yAC,則」一的值為________________

x+y3

解：M、G、NAG=ZAM+(1-A)AN=AxAB+(1-A)yAC

又G為MBC的重心nAG=-AB+-AC,所以'

33x+y3

(l-2)y=-

102

6.（理科）直線/的方程為x23=0,則直線/的一個法向量是

y-12

答案（Z,22）其中人工0

7.（理科）函數y=sin（x+?COSK的最大值為—

8.（理科）在極坐標系中，點（、歷,馬到直線夕cos。一夕sin。-1=0的距離等于

4

—2一.

X=1+COS。

9.（理科）若直線3工+4），+加=0與曲線2+sin?（夕為參數）沒有公共點，則實

數機的取值范圍是______機>10或帆<0..

10.（理科）已知圓錐底面半徑與球的半徑都是1cm,假如圓錐的體積恰好也與球的體積相等,

那么這個圓錐的母線長為—屈—cm.

11.（理科）己知函數/（x）=ax+l-2（a>0,且。工1）,設/”（幻是*幻的反函數.若

y=/■,（%）的圖象不經過其次象限，則。的取值范圍a>2..

解得f-i（x）=log.*+2）—l,要使>=/7"）的圖象不過其次象限，只需

loga2-l<0,

a>\y

解得a22.

12.（理科）知離散型隨機變量x的分布列如右表。若Er=0,Dx=\,貝!Ja=?b=。

X-1012

解：由題知a+b+c=U，-a+c+1=0，,1

126Pabc-

l2x?+l2xc+22x—=1?解得a=9，b=--

12124

13.已知函數/（幻是定義在R上的奇函數.當x<0時，/（X）=X2-6,則x>0時，

不等式/（3）<式的解集為—.（-2,0）J（2,+oo）

14.設〃￡N"圓C“：/+'2=M（6>0）與）,軸正半軸的交點為加，與曲線

的交點為N（x”,y”），直線MN與無軸的交點為A（a,,0）.若數列｛xn｝滿意：

xn+l=4%“+3,X1=3.則常數p=__2或4使數歹|J｛4用一〃q｝成等比數列；

解，y二五與圓C”交于點汽廁R；=片+y；=片+x“,&=&+5,

由題可知，點M的坐標為(0,凡)，從而直線MN的方程為土+2=1,由點

anRn

N(x“,練)在直線MN上得：&+&=1,將R“=Jd+x〃,%=嘉代入化簡得:

anRn

q=i+,+"i+,?

由既+I=4%+3得：1+%,=4(1+5)，又1+凡=4,故1+乙=44”T=4"，

...q=4"+"=4〃+2〃

%-P?T=4叫2w+,-p?(4"+2”)=(4—〃)?4"+(2-p)?T，

限一P.%=4*2+2n+2-p.(4向+2n+,)=(16-4p)?4”+(4-2p)?2"

令為+2-P.4川=4(〃”+i一凡)得：

(16-4p)-4H+(4-2p)-2n=^(4-p)-4n+^(2-p)-2n

由等式(16-4p)?2〃+(4-2p)二4(4一〃)?2〃+4(2-p)對隨意〃eN”成立得：

16-4〃=4(4一〃)［的=8/P=2］p=4

?，解得：或《

4-2〃=g(2-〃)(〃+夕=6國=4國=2

故當〃=2時，數列｛。什］一/?！ǎ晒葹?的等比數列；

當p=4時，數列｛.用一〃?%｝成公比為2的等比數列。

選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題只有一個正確答案,選對得5分，

答案代號必需填在答題紙上,留意試題題號與答題紙上相應編號一一對應,不能錯位.

15.(理科)一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是有一條邊水平的等邊三角形，則這個

三角形肯定是(C)

(A).銳角三角形(B).直角三角形

(C).鈍角三角形(D).以上都有可能

16.為了得到函數y=sin(2x-。)的圖象，只需把函數y=sin2x的圖象(D)

(A)向左平移四個單位長度(B)向右平移4個單位長度

33

jrjr

(C)向左平移上個單位長度(D)向右平移三個單位長度

66

17.等差數列{%}中，公差d=2,且6,如，。4成等比數列，則。2=(B)

(A).-4(B).-6(C).-8(D).-10

18.(理科)假如函數y=|x|-2的圖像與曲線。:/+/尸=4恰好有兩個不同的公共點，則

實數4的

取值范圍是(A)

(A).[-1,1)(B).{-1.0}(C).(-oo,-l]U[0,1)(D).[-1,0]U(l,+oo)

解：數形結合，分類探討。

①當;1=0時，曲線C表示兩條平行直線x=±2,與曲線y=|x|-2有兩個公共點；

②當;1=1時，曲線C表示圓C:f+y2=4,與曲線y=|x|_2有三個公共點

③當0＜兄＜1時，曲線C表示焦點在)，軸上的橢圓《+4=1,與曲線y=(x]-2有兩個公

44

2

共點；

22

④當義＞1時，曲線C表示焦點在不軸上的橢圓工+4=1,與曲線y=U|-2有四個公共點;

44

I

22

⑤當丸＜o時，曲線c表示焦點在x軸上的雙曲線三-上了=1,考慮雙曲線的漸近線，當

44

-I

—iWxlvO時與曲線y=|x|-2有兩個個公共點；所以；I引-1,1)答案選A

三、解答題

19.(本題滿分12分)本題共有2個小題，每小題滿分各6分.

(理科)如圖，在校長為1的正方體陽笫■力山。〃中，點￡是楂4?上的動點.

(1)求證：DCE仄；

AF

(2)若直線與平面儂成角為45”，求一的值；

AB

解：以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則。(0,0,0),4(1,0,0),

8(1,1,0),COLO),5(0,1,2),4(1,0,1),設E(l,m,0)(Osmsl)

(1)證明：以=(1,0,1),皮＞；=(一1,一加』)

B

D\=lx(-l)+Ox(-w)+1x1=0

所以D4_L￡Di.----------4分

(2)設平面CEDi的一個法向量為v=(x,y,z)，則

v-CD.=0--

.，而C〃=(0,—1,1),CE=(1,加一1,0)

v-CE=0

-y+z=0,一

所以取z=l,得y=l,x=l-m,得u=(l-如1,1).

x+(/w-l)y=0,

因為直線D4與平面CEDi成角為45。，所以sin45°=|cos<D^,v>|

所以」2鄉(xiāng)—已_=也，所以—=.=絲,解得分

II?IuI2\f2\Jm2-2tn+322

20.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

(理科)已知虛數Z1=cosa+isina,z2=cos/?+zsin/7,

(1)若|Z|-Z2|=：6,求cosQ-夕)的值；

(2)若zi,Z2是方程3x2-2x+c=0的兩個根，求實數c的值。

解(1):2]-22=(852-85力)+小山。―5111/7),..........2分

ZX(COS-COS22

V|zj-2|=-|-/5?/?7^>^)+(sina-sin^)=5分

2--

cos(a—3)=___5_2...6...分......

25

(2)由題意可知cosa=cos0,sina=-sinp8分

且2=]=cos2a+sin2a=I...........10分.?.c=3,經檢驗滿意題意。......12

分

21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

（理科）氣象臺預報，距離S島正東方向300km的A處有一臺風形成，并以每小時30km的

速度向北偏西30。的方向移動，在距臺風中心處不超過270km以內的地區(qū)將受到臺風的影

響.

問：（1）從臺風形成起經過3小時，S島是否受到影響（精確到0.1km）?（2）從臺風形成起

經過多少小時，S島起先受到臺風的影響？持續(xù)時間多久？（精確到0.1小時）

解⑴設臺風中心經過3小時到達點B,由題意，在ASAB中，SA=300,AB=90,

NS48=90O—30°=60°,依據余弦定理，

SB2=SA1+AB2-2SA?AB?cosASAB

22。，八/

=300+90-2X300X90cos60------4分^

=71JOO.

SB=>j7J100X266.6<270.

所以，經過3小時S島已經受到了影響.------6分

(2)可設臺風中心經過t小時到達點B,由題意得，

Z5AB=90°-30°=60°.在VS48中，SA=300,AB=30t,由余弦定理，

SB2=SA2+AB2-2SA-AB-cos^SAB.=3OO2+(30f尸-2x300x30,cos60°

■-一10分

若S島受到臺風影響，則有5B<270,而S82?27()2,

化簡整理得產-10f+19W0,解此不等式得5-指《，45+后.即f的范圍大約在2.5

小時與7.4小時之間.所以從臺風形成起，大約在2.5小時S島起先受到影響，約持續(xù)4.9

小時以后影響結束.一14分

22.(本題滿分16分)本題共有2個小題，第1小題①滿分4分，②滿分6分；第2小題

滿分6分.

(理科)已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為K、尸2，

拋物線M:/=4mx(m>0)的準線與x軸交于F{,橢圓C與拋物線M的一個交點為

P.

(1)當加=1時，①求橢圓。的方程；②直線/過焦點B，與拋物線M交于A、B兩點,

若弦長|4同等于APf；工的周長，求直線/的方程；

(2)是否存在實數小，使得APKB的邊長為連續(xù)的自然數.

22.解：(1)①設橢圓的實半軸長為a,短半軸長為b,半焦距為c,

當時，由題意得，a=2c=2,b'=a2—c2=3,a2=4,

22

所以橢圓的方程為工+上=1.（4分）

43

/=?得,

②依題意知直線/的斜率存在，設，：y=A（x—1）,由，

y=k(x-1)

k2x2-（2k2+4）x+k2=0,由直線/與拋物線M有兩個交點，可知女工0.

2k2+42+2

設4（用,必）,3（々,必），由韋達定理得司+工2=1,

2K

則卜8|=71777帆_司='(1+心(2+5)2—4.1+Z

”?下(6

分）

1_i_L2

因為APE居的周長為2。+2c=6,所以4?——=6,（8分）

k2

解得左=±近，從而可得直線/的方程為2x土血了一2=0（10分）

（2）假設存在滿意條件的實數加，由題意得C=/HM=2旬月用=2機，又設

仍用=q,|尸鳥|=弓，q+r2=2a=4m,設尸（與，加），對于拋物線M,有々=與+肛對

’22

上+9=11

廣橢圓C,由，4m3用_________得&=/(4w-x0)???……：13分）

.弓=J(與一機T+y；一

1?57

由/+〃z=—（4加一餐）解得：/=—"2,所以與=—機，從而八=一相，因此，APF[F?

2333

的邊長分別為-tn.-m,

333

當機=3時，使得△尸巴苞的邊長為連續(xù)的自然數.（16分）

23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3

小題滿分8分.

（理科）在數列｛勺｝中，若〃（〃22,〃eN*,左為常數），

則稱｛〃”｝為X數列.

(1)若數列｛〃｝是X數列，a=l,b?=3,寫出全部滿意條件的數列也｝的前4

項；

(2)證明：一個等比數列為X數列的充要條件是公比為1或-1；

(3)若X數列｛5｝滿意q=2,02=20,c”>0,設數列的前〃項和為是

否存在正整數p,4,使不等式7；>麗麗