第一章直線與圓全章總結(jié)提升課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

全章總結(jié)提升第一章直線與圓北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

易錯易混·銜接高考知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一求直線或圓的方程通過直線與圓的方程的求解可提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng),從而借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題;通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成程序化思考問題的品質(zhì).【例1】

(1)[2024浙江杭州月考]已知直線l:x-y-2=0和圓C:(x-2)2+(y-3)2=2,則與直線l垂直且與圓C相切的直線方程為

.

x+y-3=0或x+y-7=0★(2)圓C的圓心在直線l1:x-y-1=0上,與直線l2:4x+3y+14=0相切,且截直線l3:3x+4y+10=0所得的弦長為6,求圓C的方程.規(guī)律方法

確定圓的方程的主要方法一是定義法,二是待定系數(shù)法.定義法主要是利用直線和圓的幾何性質(zhì),確定圓心坐標(biāo)和半徑,從而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;待定系數(shù)法則是設(shè)出圓的方程(多為一般式),再根據(jù)題目條件列方程(組)求出待定的系數(shù).變式訓(xùn)練1[2024黑龍江哈爾濱期末]已知圓C經(jīng)過A(0,2),B(1,1)且圓心在直線l1:2x+y-4=0上.(1)圓C的方程是

;

(2)若從點(diǎn)M(3,5)發(fā)出的光線經(jīng)過直線l2:x+y-1=0反射后恰好平分圓C的圓周,則反射光線所在直線的方程是

.

(x-1)2+(y-2)2=14x-5y+6=0(2)

如圖,設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)為N(x,y).專題二與圓有關(guān)的最值問題通過建立形與數(shù)的聯(lián)系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題,來解決與圓有關(guān)的斜率、截距、距離等最值問題.【例2】

(1)已知點(diǎn)O(0,0),A(0,2),點(diǎn)M是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點(diǎn),則△OAM面積的最小值為(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

根據(jù)題意,得圓(x-3)2+(y+1)2=4的圓心為(3,-1),半徑r=2.由O(0,0),A(0,2),知OA所在的直線是y軸,當(dāng)點(diǎn)M到直線OA的距離最小時,△OAM的面積最小.因為點(diǎn)M到直線OA的距離的最小值d=3-2=1,則△OAM面積的最小值S=×OA×d=1.★(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:①的最大值和最小值;②y-x的最大值和最小值;③x2+y2的最大值和最小值.規(guī)律方法

解決與圓有關(guān)的最值問題的常用方法(1)形如

的最值問題,可轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)(a,b)與圓上的動點(diǎn)(x,y)的斜率的最值問題;(2)形如t=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題;(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問題.變式訓(xùn)練2(1)在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

(x-1)2+y2=2(2)已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2+y2-6x-6y+14=0上.①求

的最大值和最小值;②求x2+y2+2x+3的最大值與最小值.②x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示點(diǎn)P與A(-1,0)的距離的平方加上2.連接AC,交圓C于B,延長AC,交圓C于D(圖略),AD為最長,且為|AC|+r=5+2=7,則x2+y2+2x+3的最大值為72+2=51,x2+y2+2x+3的最小值為32+2=11.專題三直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題直線與圓位置關(guān)系的判斷方法有兩種,其一為幾何法,按圓心到直線的距離為d與圓的半徑長為r的大小關(guān)系來劃分三種位置關(guān)系;其二是代數(shù)法,聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組,消元后得到一個一元二次方程,根據(jù)判別式Δ的符號來劃分.這兩種方法以幾何法為主.研究直線與圓的位置關(guān)系,集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例3】

已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C:x2+y2-6x+12y+20=0.(1)當(dāng)m∈R時,證明直線l與圓C總相交;(2)m取何值時,直線l被圓C截得的弦長最短?并求此弦長.(1)證明

直線的方程可化為y+3=2m(x-4),由直線方程的點(diǎn)斜式可知,直線恒過點(diǎn)P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,所以點(diǎn)P在圓內(nèi),故當(dāng)m∈R時直線l與圓C總相交.解

圓的方程可化為(x-3)2+(y+6)2=25.設(shè)l與C交于A,B兩點(diǎn).規(guī)律方法

直線與圓問題的類型(1)求切線方程:可以利用待定系數(shù)法結(jié)合圖形或代數(shù)法求得.(2)弦長問題:常用幾何法(垂徑定理),也可用代數(shù)法結(jié)合弦長公式求解.變式訓(xùn)練3已知圓C關(guān)于直線x+y+2=0對稱,且過點(diǎn)P(-2,2)和原點(diǎn)O.(1)求圓C的方程;(2)相互垂直的兩條直線l1,l2都過點(diǎn)A(-1,0),若l1,l2被圓C所截得的弦長相等,求此時直線l1的方程.解

(1)由題意知,直線x+y+2=0過圓C的圓心,設(shè)圓心C(a,-a-2).由題意,得(a+2)2+(-a-2-2)2=a2+(-a-2)2,解得a=-2.所以圓心C(-2,0),半徑r=2,所以圓C的方程為(x+2)2+y2=4.專題四直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用在直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用中會用到數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模的主要步驟為:發(fā)現(xiàn)和提出問題,建立和求解模型,檢驗和完善模型,分析和解決問題.【例4】

街頭有一片綠地,綠地的四條邊界(單位:m)如圖所示,其中ABC為圓弧,求此綠地的面積(精確到0.1m2).解

設(shè)圓弧ABC所對的圓心為點(diǎn)E,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,7),B(3,8),C(7,6),所以過A,B,C三點(diǎn)的圓弧的方程為(x-3)2+(y-3)2=25(0≤x≤7,y>0),連接EA,EC,AC,則|EA|=|EC|=5.規(guī)律方法

1.解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟

2.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個原則(1)若曲線是軸對稱圖形,則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸.(2)常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).(3)盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上.變式訓(xùn)練4某高速公路隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構(gòu)成(如圖所示).已知隧道總寬度AD為6m,行車道總寬度BC為2m,側(cè)墻面高EA,FD為2m,弧頂高M(jìn)N為5m.(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求圓弧所在的圓的方程;(2)為保證安全,要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m.請計算車輛通過隧道的限制高度是多少.解

(1)以EF所在直線為x軸,以MN所在直線為y軸,以1

m為單位長度建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則E(-3,0),F(3,0),M(0,3),由于所求圓的圓心在y軸上,所以設(shè)圓的方程為(x-0)2+(y-b)2=r2,因為F,M在圓上,所以易錯易混·銜接高考1.[2024福建福州期末]已知直線l:x+y+m=0和圓C:x2+y2+4y=0相交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)△CMN的面積最大時,m=(

)A.0或2 B.-4或4 C.0或4 D.0或-4C1234562.(多選題)[2024遼寧沈陽期末]已知直線l:mx+y-1-2m=0與圓O:x2+y2=r2有兩個不同的公共點(diǎn)A,B,則下列說法正確的是(

)A.直線l過定點(diǎn)(2,1)ABD1234561234563.(多選題)[2024河南開封月考]已知圓M:(x-1)2+(y+2)2=2,直線l:x-3y+3=0,P是直線l上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作圓M的切線PA,切點(diǎn)為A,則切線長|PA|取最小值時,下列結(jié)論正確的是(

)C.PA的方程可以是y=-x+1D.PA的方程可以是y=7x+1ACD1234561234561234564.[2023新高考Ⅰ卷]過(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=(

)B1234561234565.[2023上海卷]已知圓x2+y2-4x-m=0的面積為π,則m=

.

-3

解析

圓x2