全國版2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第12章概率第3講離散型隨機(jī)變量及其分布列均值與方差試題1理含解析

PAGE第十二章概率第三講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差練好題·考點(diǎn)自測1.[改編題]下列結(jié)論正確的個數(shù)是()(1)數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無關(guān).(2)離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.(3)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事務(wù)是彼此互斥的.(4)隨機(jī)變量的均值是常數(shù),樣本的均值是隨機(jī)變量.(5)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小.(6)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的狀況,因此它們是一回事.A.2 B.3 C.4 D.52.[2024全國卷Ⅲ,3,5分][理]在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且4i=1pi=1,則下面四種情形中,對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.23.[2024菏澤聯(lián)考]一盒中有12個乒乓球,其中9個新球、3個舊球,從盒中任取3個球來用,用完后裝回(用過一次的球就是舊球),此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量,則P(X=4)的值為()A.1220 B.2755 C.274.[2024浙江,7,4分]設(shè)0<a<1.隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時,()A.D(X)增大 B.D(X)減小 C.D(X)先增大后減小 D.D(X)先減小后增大5.[2024廣東模擬]設(shè)某項試驗(yàn)的勝利率為失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的勝利次數(shù),則P(X=0)的值為()A.1 B.12 C.136.[2024浙江重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]已知0<a<1,隨機(jī)變量X的分布列如下:X-101P(1-a)22a(1-a)a2若E(X)=D(X),則實(shí)數(shù)a的值為()A.13 B.14 C.17.[遞進(jìn)型]已知離散型隨機(jī)變量ξ~B(5,p),且E(ξ)=2,則D(ξ)=;若η=12ξ+1,則D(η)=8.[2024浙江,16,6分]盒中有4個球,其中1個紅球,1個綠球,2個黃球.從盒中隨機(jī)取球,每次取1個,不放回,直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=,E(ξ)=.

拓展變式1.[2024河南省名校第一次聯(lián)考]某公司年會有幸運(yùn)抽獎環(huán)節(jié),一個箱子里有相同的十個乒乓球,球上分別標(biāo)0,1,2,…,9這十個自然數(shù),每位員工有放回依次取出三個球.規(guī)定:每次取出的球所標(biāo)數(shù)字不小于后面取出的球所標(biāo)數(shù)字即中獎.中獎項:三個數(shù)字全部相同中一等獎,嘉獎10000元現(xiàn)金;三個數(shù)字中有兩個數(shù)字相同中二等獎,嘉獎5000元現(xiàn)金;三個數(shù)字各不相同中三等獎,嘉獎2000元現(xiàn)金.其他不中獎,沒有獎金.(1)求員工A中二等獎的概率;(2)設(shè)員工A中獎獎金為X,求X的分布列;(3)員工B是優(yōu)秀員工,有兩次抽獎機(jī)會,求員工B中獎獎金的期望.2.[2024天津新華中學(xué)模擬]某中學(xué)用簡潔隨機(jī)抽樣的方法抽取了100名同學(xué),對其社會實(shí)踐次數(shù)進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果如下.社會實(shí)踐次數(shù)[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15)[15,18]男同學(xué)人數(shù)715111221女同學(xué)人數(shù)51320932將社會實(shí)踐次數(shù)不低于12次的學(xué)生稱為“社會實(shí)踐標(biāo)兵”.(1)將頻率視為概率,估計該校1600名學(xué)生中“社會實(shí)踐標(biāo)兵”有多少人.(2)從已抽取的“社會實(shí)踐標(biāo)兵”中隨機(jī)抽取4名同學(xué)參與社會實(shí)踐表彰活動.(i)設(shè)事務(wù)A為“抽取的4名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)”,求事務(wù)A發(fā)生的概率;(ii)用X表示抽取的“社會實(shí)踐標(biāo)兵”中男同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.3.[2024福建省五校其次次聯(lián)考]某蔬菜種植基地有一批蔬菜須要兩天內(nèi)采摘完畢,這兩天是否有雨相互獨(dú)立,無雨的概率都為0.8.現(xiàn)有兩種方案可以選擇,方案一:基地人員自己采摘,不額外聘請工人,須要兩天完成,兩天都無雨收益為2萬元,只有一天有雨收益為1萬元,兩天都有雨收益為0.75萬元.方案二:基地額外聘請工人,只要一天就可以完成采摘,當(dāng)天無雨收益為2萬元,有雨收益為1萬元,額外聘請工人的成本為a萬元.(1)若不額外聘請工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益.(2)該基地是否應(yīng)當(dāng)外聘工人?請說明理由.答案第三講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差1.B由數(shù)學(xué)期望的公式可知(1)錯誤;在離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個值的概率之和為1,故(2)錯誤;由離散型隨機(jī)變量的分布列的特點(diǎn)可知(3)正確;由均值和方差的含義可知(4)(5)正確;均值反映的是一組數(shù)據(jù)的整體水平,而方差反映的是一組數(shù)據(jù)的離散程度,故(6)錯誤.故選B.2.B對于A,當(dāng)p1=p4=0.1,p2=p3=0.4時,隨機(jī)變量XA的分布列為XA1234P0.10.40.40.1E(XA)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5,D(XA)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=1.52×0.1+0.52×0.4+0.52×0.4+1.52×0.1=0.65,所以D(XA)=0.65.對于B,C,D,同理可得D(3.C當(dāng)X=4時,表示從盒中取出的3個球中有2個舊球,1個新球,故P(X=4)=C32C4.D由分布列得E(X)=1+a解法一D(X)=(1+a3-0)2×13+(1+a3-a)2×13+(1+a3-1)2×13所以當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時,D(X)先減小后增大.故選D.解法二D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0+a23+13-(a+1所以當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時,D(X)先減小后增大.故選D.5.C設(shè)該項試驗(yàn)失敗的概率為p,則勝利的概率為2p,所以X的分布列為X01Pp2p由p+2p=1,得p=13,即P(X=0)=13.故選6.D解法一由隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差的計算公式知,E(X)=-(1-a)2+a2=2a-1,D(X)=(-1-2a+1)2(1-a)2+(-2a+1)2×2a(1-a)+(1-2a+1)2a2=2a(1-a).因?yàn)镋(X)=D(X),所以2a-1=2a(1-a),得a=22,故選D解法二令Y=X+1,則X=Y-1,隨機(jī)變量Y的分布列為Y012P(1-a)22a(1-a)a2由二項分布的有關(guān)學(xué)問知,Y~B(2,a),所以E(Y)=2a,D(Y)=2a(1-a),所以E(X)=E(Y-1)=E(Y)-1=2a-1,D(X)=D(Y-1)=D(Y)=2a(1-a).又E(X)=D(X),所以2a-1=2a(1-a),得a=22,故選7.65310因?yàn)棣蝵B(5,p),E(ξ)=2,所以5p=2,解得p=25,所以D(ξ)=5p(1-p)=5×25×(1-25)=65.又η=12ξ+1,所以D(η)=D(12ξ8.131ξ=0表示停止取球時沒有取到黃球,所以P(ξ=0)=14+14×13P(ξ=1)=24P(ξ=2)=24×13×12+14×231.(1)記事務(wù)“員工A中二等獎”為M,有放回,依次取三個球的取法有103種.中二等獎取法有兩類:一類是前兩次取到同一數(shù)字,從10個數(shù)字中取出2個,較大的數(shù)是前兩次取出的數(shù),較小的數(shù)是第3次取出的數(shù),取法數(shù)為C102=45;另一類是后兩次取到同一數(shù)字,取法數(shù)同樣是C102=45.共90種取法,則P(M)=90(2)X的可能取值為0,2000,5000,10000.P(X=2000)=C103103=0.12;P(XP(X=10000)=10103=0.01;P(X=0)=1-P(X=2000)-P(X=5000)-P(X=10000)=0則X的分布列為X10000500020000P0.010.090.120.78(3)由(2)可知A中獎獎金的期望E(X)=10000×0.01+5000×0.09+2000×0.12+0×0.78=790(元)(先求抽一次獎的獎