北京市東城區(qū)2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題

北京市東城2024高三第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測

數(shù)學(xué)試題

2024.1

本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后,

將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合4={%卜1<%<2},B={x|x<l},則AB=

(A)(-oo,2)(B)(一L+oo)

(C)(-1,1](D)[1,2)

(2)在下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是

(A)f(x)=x-cosx(B)/(x)=xcosx

(C)/(x)=ln國(D)/(%)=?

(3)在(x+工)"的綻開式中，若第3項(xiàng)的系數(shù)為10,則〃=

x

(A)4(B)5(C)6(D)7

(4)在等比數(shù)列{%}中，4=1,a2a3=8,則%=

(A)8(B)16C)32(D)64

(5)北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計(jì)范例之一.其

中鐘鼓樓、萬寧橋、景山、故宮、端門、天安門、外金水橋、天安門

廣場及建筑群、正陽門、中軸線南段道路遺存、永定門，依次是自北

向南位列軸線中心相鄰的11個(gè)重要建筑及遺存.某同學(xué)欲從這11個(gè)

重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)巡游，則選取的3個(gè)中肯定有

故宮的概率為

1131

(A)—(B)-(C)—(D)上

119113

(6)在平面直角坐標(biāo)系中，角a以。無為始邊，終邊位于第一象限，且

與單位圓。交于點(diǎn)尸，尸軸，垂足為若尸的面積為9

25

則sin2a=

(A)—(B)—(C)—(D)—

25252525

r2v2

(7)已知雙曲線=—==1(。＞0,匕＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,工，其漸近線方程為丁=±2%，「是。上一

ab

點(diǎn)，且尸耳，尸西?若△尸耳^的面積為4,則c的焦距為

(A)73(B)273(C)2^/5(D)4百

(8)在△A8C中，“對于隨意rwl,是“△ABC為直角三角形”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)尸(。,。)在直線依+by+4a+3=0上，則當(dāng)。力改變時(shí)，直線0P的斜率的

取值范圍是

(A)(f一知一百,+S)?［一,岑］?(-00,41卓+8)⑴)呼等］

(10)如圖，在正方體ABCD-A4G2中，。是棱。2上的動點(diǎn)，下列說法中正確的是

①存在點(diǎn)Q,使得GQ//A。；

②存在點(diǎn)。，使得GQJLA。；

③對于隨意點(diǎn)。，。到4c的距離為定值；

④對于隨意點(diǎn)。，44。。都不是銳角三角形.BC

(A)①③(B)②③(C)②④(D)①④

其次部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

⑴)若復(fù)數(shù)z滿意(z+i)i=—3,則忖=_____.

(12)已知函數(shù)/(%)二石sin%-cosx,貝！|/(：)=______；若將/(X)的圖象向左平行移動一個(gè)單位長度后得

6

到g(x)的圖象，則g(x)的一個(gè)對稱中心為.

(13)經(jīng)過拋物線V=2px(p>0)焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A3,經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線

交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)yD的大小關(guān)系為yB%.(用“〉”

“<”“=”填寫)

~2

x-1,x>a,/、/、

(14)設(shè)函數(shù)/(%)=?,當(dāng)〃=0時(shí)，/(%)的值域?yàn)開_________;若的最小值為1,則〃的

|x-6Z-l|,x<a.

取值范圍是.

(15)對于數(shù)列令<=q-2+々3-。4+L+(-1)"”為，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若ctn-n,則4023=1012；

②若Tn=n,則。2022=一1；

③存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列｛《｝,使得圜對隨意的〃wN*都成立；

④若對隨意的“wN*,都有圜<M,則有.

其中全部正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

B=-點(diǎn)。在邊的延長線上，且

如圖，在銳角△A8C中，9AB=3C,AC=6,5c8=10.

4

A

(I)求ZACB；

(II)求△ACD的周長.

BCD

(17)(本小題15分)

如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面A5CD是邊長為2的正方形，PA=2,PALAB,石為的中點(diǎn),

F為PD上一點(diǎn)、,EF平面Q鉆.P

(I)求證：方為？D的中點(diǎn)；

求直線/；\\

(II)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,ADA\F

與平面AEF所成角的正弦值./;

條件①：AD±PB；

條件②：PC=261/

BVEVC

注：假如選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

(18)(本小題13分)

“雙減”政策執(zhí)行以來，中學(xué)生有更多的時(shí)間參與志愿服務(wù)和體育熬煉等課后活動.某校為了解學(xué)生課后活動

的狀況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參與課后活動的時(shí)間(單位：小時(shí))，分別位于區(qū)間[7,9),

[9,11)，[11,13),[13,15),[15,17),[17,19],用頻率分布直方圖表示如下：

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參與課后活動的時(shí)間相互獨(dú)立.個(gè)頻率/組距

(I)估計(jì)全校學(xué)生一周參與課后活動的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率；0'200'

0.125------------------------------

(II)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人,記1f表示這3人一周參與課后活動的0.075—

0.050----------1-

時(shí)間在區(qū)間[15,17)的人數(shù)，求^的分布列和數(shù)學(xué)期望酹；°-025hzM.J_J_±^-------->

791113151719時(shí)間/小時(shí)

(III)設(shè)全校學(xué)生一周參與課后活動的時(shí)間的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的估

計(jì)值分別為a,b,c,請干脆寫出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.(樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代)

(19)(本小題14分)

已知橢圓C:《+4=1(。〉?！?)的離心率為立，長軸長與短軸長的和為6,4,巴分別為橢圓。的

ab2

左、右焦點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)尸為橢圓C上一點(diǎn)，”(1,0).若歸用，2歸閭，歸閶成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=xel.

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(II)求/(x)的極值；

(III)證明：當(dāng)mWl時(shí)，曲線G:y=/(x)與曲線C2:y=lnx+x+機(jī)至多存在一個(gè)交點(diǎn).

(21)(本小題15分)

已知數(shù)列A：q，a2,L,an,滿意：a；e{0,1}(?=1,2,,n,n>T),從A中選取第7；項(xiàng)、第三項(xiàng)、…、第

乙項(xiàng)(。<力2<-<心m>2),稱數(shù)列%為A的長度為m的子列.記T(A)為A全部子列的個(gè)數(shù).例如

A：0,0,l,其T(4)=3.

(I)設(shè)數(shù)列A：1,1,0,0,寫出A的長度為3的全部子列，并求7(A)；

r

(II)設(shè)數(shù)列A：4,a2,L,an,A：an,an_x,L,q,A"：1—q,1-tz2,L,1一q，推斷T(A),T(A'),T(A")

的大小，并說明理由；

(III)對于給定的正整數(shù)〃k(l<k<n-I),若數(shù)列A：ax,%,L,?！M意：+a2+L+an=k,求T(A)的最小

值.

高三數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

2024.1

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

(1)A(2)C(3)B(4)D(5)D

(6)D(7)C(8)A(9)B(10)C

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

(11)2(12)1(0,0)(答案不唯一)

(13)=(14)(-l,+oo)[V2,+<?)(15)①②④

三、解答題（共6小題,共85分）

(16)(共13分)

解：ACAB

（I）在△ABC中，由正弦定理-----

sin3sinZACB

.AB-sinB百

得ZAsinZACB=-----------二—.

AC2

JTJT

又因?yàn)樵阡J角中，ZACBe（0,-），所以NAC^=—..........6分

23

TT/jr

(II)因?yàn)镹AC3=—,所以NACD=—.

33

2

在△ACD中，由余弦定理AD?=4。2+。。2一24。??！辏?0）53再得"）=14.

所以△ACD的周長為AC+CD+AD=30........................13分

（17）（共15分）

解：（I）在中，過點(diǎn)尸作尸G〃AD交K4于點(diǎn)G,連接GB.

因?yàn)锳D〃3C,

所以EG〃3C,

所以8,E,F,G四點(diǎn)共面.

因?yàn)樗ㄆ矫鍮鉆，EFu平面BEFG,

平面、平面3EFG=5G,

所以EF〃BG.

所以四邊形BERG是平行四邊形.

所以EG=BE=LAD.

2

所以廠為的中點(diǎn).6分

(II)選條件①：AD±PB.

因?yàn)榈酌鍭5CD為正方形，

所以

又AD工PB,ABPB=B,

所以平面a

所以AD_LK4.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,因?yàn)榈酌鍭3CD是邊長為2的正方形，PA=2,

則A(0,0,0),￡>(0,2,0),￡(2,1,0),砥0,1,1),

所以AD=(0,2,0),AE=(2,1,0),AF=(0,1,1).

設(shè)平面AE77的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-AE=0,f2%+y=0,

則即

n-AF=0,[y+z=0.

令x=l,則y=—2,z=2.于是"=(L—2,2).

設(shè)直線A。與平面AEb所成角為。，

則sin0=|cos<n,AD>|="‘°〔=—.

Iw||ADI3

2

所以直線AD與平面AEP所成角為的正弦值為一...............15分

3

選條件②：PC=2出.

如圖，連接AC.

因?yàn)榈酌鍭5CD是邊長為2的正方形,

所以ADLAB,AC=2收.

因?yàn)锽4=2,PC=273,

所以P/V+AC?=「。2.

所以B4LAC.

因?yàn)?？ALAB,ABAC=A,

所以PAL平面A5CD

所以

以下同選條件①.15分

(18)(共13分)

解：(I)依據(jù)頻率分布直方圖，可得學(xué)生一周參與課后活動的時(shí)間位于區(qū)間［13,17)的頻率

為(0.125+0.200)x2=0.65,

因此估計(jì)全校學(xué)生一周參與課后活動的時(shí)間位于區(qū)間［13,17)的概率為0.65.3分

(II)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人，其一周參與課后活動的時(shí)間在區(qū)間口517)的概率為0.4.

因此1f2(3,04).

P(J=0)=(1-0.4)3=0.216;P記=1)=C*x0.41x(l-0.4)2=0.432;

P(J=2)=C；x0.42x(1-0.4)1=0.288;尸(J=3)=0.43=0.064.

則J的分布列為：

40123

P0.2160.4320.2880.064

=0x0,216+lx0.432+2x0.288+3x0.064=1.2.

10分

(III)c<b<a...............13分

(19)(共14分)

2a+2b=6,

解：(i)由題設(shè)，」￡=走，

a2

a1=b~+c2.

解得/=4,〃=1.

無2

所以橢圓C的方程為一+>2=1...............5分

4-

(II)設(shè)為)為橢圓C上一點(diǎn)，

則有歸司+戶閶=2。=4.

由歸用，川〃川，|尸閭成等差數(shù)列，得2川尸閭=4,4/0,

即阿=；

由M(l,0),則—1y+%2.

又P(%,九)在橢圓。上，有亨+為2=1,

故歸閘=J-I,+靖=J?_1)2+[一_j=七%?-2%+2,

因?yàn)椴弧闧—2,2],所以1PM歸[乎,3].

日n2rV6

即不￡[:一,3],

X3

2r-

所以Xe[―,^6]

所以實(shí)數(shù)2的取值范圍是弓,布］...............14分

(20)(共15分)

解：(I)因?yàn)?(%)=汽工

所以_f(x)=(x+l)e，.

所以y(o)=o,r(o)=i.

所以曲線y=/(X)在點(diǎn)(0,y(0))處的切線方程為y=龍........4分

(II)令/'(%)=0,得x=—1.

當(dāng)xe(To,-l)時(shí)，/'(尤)<0,/(尤)單調(diào)遞減；

當(dāng)無e(—1,+8)時(shí)，/(%)>0,“力單調(diào)遞增；

當(dāng)x=—1時(shí)，/'(力=0，/(尤)在x=—1時(shí)取得微小值.

所以函數(shù)/(力的微小值為-，，不存在極大值...............9分

(III)令g(%)=%e*-1口九一1-根，其定義域?yàn)?0,+oo).

g'(x)=(X+1)el---1=+l)(eA--),x+l>0.

XX

令=〃(%)=e"+4>0,

所以h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

因?yàn)椤á拧?,久心)<0,所以比e(3,1),

當(dāng)無e(0,尤0)時(shí)，7z(x)<0,即g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)無?無0，+°°)時(shí)，妝%)>0,即g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)％=%時(shí),〃(％)=0,即e為=，,g(尤)取得微小值g(%o).

xo

g(%)二/e與一In/-x0-m,

因?yàn)閑“二」所以％0匕/=1,x0=-lnx0,

%

所以g(x0)=l-m.

因此，當(dāng)加vl時(shí)，g(毛)>0,

所以Vx￡(0,+oo)，g(x)>0,

即Vx￡(0,+8),/(x)>lnx+x+m,曲線G與曲線g無交點(diǎn)；

當(dāng)m=1時(shí)，g(xo)=O,

所以存在且僅存在一個(gè)XoW(g,l),使得g(%)=0，

對Vxe(0,+oo)且xw/,都有g(shù)(九)>0,即/(x)>lnx+x+ni.

所以當(dāng)機(jī)=1時(shí)，曲線G與曲線G有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

故當(dāng)mW1時(shí)，曲線。與曲線G至多存在一個(gè)交點(diǎn)...............15分

(21)(共15分)

解：(I)由T(A)的定義以及A：l,l,0,0,可得：A的長度為3的子列為：1,0,0；1,1,0,

A的長度為2的子列有3個(gè)，4的長度為4的子列有1個(gè)，

所以T(A)=6...............5分

(II)T(A)=T(4)=T(A〃).

理由如下：

若叫，m?,L,7叫_〃是A：q,a2,L,a”的一個(gè)子列，

r

則外,mk_x,L,m2,5為A：an,an_x,L,q的一個(gè)子列.

若叫，加2,L,mk_v/與々，%,L,nk_v久是A：ax,a2,L,的兩個(gè)不同子列,

則叫，mk_x,L,m2,%與敢，nk_x,L,%,々也是A：an,an_x,L,q的兩個(gè)不同子列.

所以T(A)WT(A).

同理T(A)<7(A),

所以T(A)=7(4).

同理T(A)=7(A').所以有T(A)=7(A)=7(A")...........................10

分

(III)由已知可得，數(shù)列A：ax,%,L,。“中恰有k個(gè)1,〃一上個(gè)0.令

A*：94P2%4°\次2%3匕

〃一女個(gè)女個(gè)

下證：T(A)>T(A*).

1

由于A*：q4P\hhs,所以A*的子列中含有/個(gè)0，j個(gè)1

”-上個(gè)為個(gè)

(Z=0,1,..n—k,j=0,1,,k,i+j>2)的子列有且僅有1個(gè)，

設(shè)為：9*2%嗎°\b1A31-而數(shù)列A：%，的工，%的含有/個(gè)0,/個(gè)1的子列至少有

冷j個(gè)

一個(gè)，

所以T(A)2T(A*).

數(shù)列A*：94P2%4°1.2931中，不含有0的子列有％一1個(gè)’含有1個(gè)0的子列有卜個(gè)，

〃-4個(gè)4個(gè)

含有2個(gè)。的子列有k+1個(gè)，LL,含有〃-左個(gè)。的子列有k+1個(gè)，

所以T(A*)=(n-k)(k+1)+k—2=nk+n—k2—2.

所以T(A)的最小值為〃左+〃—左2—2...........................15分

高三數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

2024.1

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

(1)A(2)C(3)B(4)D(5)D

(6)D(7)C(8)A(9)B(10)C

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

(11)2(12)1(0,0)(答案不唯一)

(13)=(14)(-1,+oo)[A/2,+co)(15)①②④

三、解答題（共6小題，共85分）

（16）（共13分）

解：ACAB

（1）在443。中，由正弦定理-----

sin3sinZACB

AB-sinB班

得sinZACB=-----------=—.

AC2

jrjr

又因?yàn)樵阡J角中，ZACBG（0,-），所以NACg=—?.......................6分

23

TT/jr

(II)因?yàn)镹AC3=—,所以NACD=—.

33

2

在△ACD中，由余弦定理AD?=4。2+。。2一24。??！辏?0）53再得"）=14.

所以△ACD的周長為AC+CD+AD=30........................13分

（17）（共15分）

解：（I）在中，過點(diǎn)尸作尸G〃AD交K4于點(diǎn)G,連接GB.

因?yàn)锳D〃3C,

所以EG〃3C,

所以8,E,F,G四點(diǎn)共面.

因?yàn)樗ㄆ矫鍮鉆，EFu平面BEFG,

平面、平面3EFG=5G,

所以EF〃BG.

所以四邊形BERG是平行四邊形.

所以EG=BE=LAD.

2

所以廠為的中點(diǎn).6分

(II)選條件①：AD±PB.

因?yàn)榈酌鍭5CD為正方形，

所以

又AD上PB,ABPB=B,

所以平面a

所以AD_LK4.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,因?yàn)榈酌鍭3CD是邊長為2的正方形，PA=2,

則A(0,0,0),￡>(0,2,0),￡(2,1,0),砥0,1,1),

所以AD=(0,2,0),AE=(2,1,0),AF=(0,1,1).

設(shè)平面AEE的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-AE=0,f2%+y=0,

貝叫即

n-AF=0,[y+z=0.

令x=l,則y=—2,z=2.于是"=(L—2,2).

設(shè)直線A。與平面AEF所成角為3,

貝!]sin0=|cos<n,AD>|=".

Iw||ADI3

2

所以直線AD與平面AEE所成角為的正弦值為一.15分

3

選條件②：PC=243.

如圖，連接AC.

因?yàn)榈酌鍭5CD是邊長為2的正方形，

所以ADLAB,AC=2收.

因?yàn)镻A=2,PC=273,

所以PA2+AC2=「。2.

所以B4LAC.

因?yàn)?？A,AB,ABAC=A,

所以PAL平面A5CD

所以

以下同選條件①...............15分

（18）（共13分）

解：（I）依據(jù)頻率分布直方圖，可得學(xué)生一周參與課后活動的時(shí)間位于區(qū)間［13,17）的頻率

為(0.125+0.200)x2=0.65,

因此估計(jì)全校學(xué)生一周參與課后活動的時(shí)間位于區(qū)間［13,17）的概率為0.65...........3分

（II）從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人，其一周參與課后活動的時(shí)間在區(qū)間［15,17）的概率為0.4.

因此12（3,04）.

P(J=0)=(1-0.4)3=0.216;PG=1)=C*x0.41x(l-0.4)2=0.432;

PC=2)=C；X0.42x(l-0.4)1=0.288;尸(J=3)=0.43=0.064.

則J的分布列為:

40123

P0.2160.4320.2880.064

=0x0,216+lx0.432+2x0.288+3x0.064=1.2.10分

(III)c<b<a.13分

(19)(共14分)

2a+2b=6,

c

解：（I）由題設(shè)，＜=

廠可，

a2=b2+c2.

解得/=4,〃=1.

r2

所以橢圓C的方程為一+尸=1.5分

4

（II）設(shè)尸（%,為）為橢圓。上一點(diǎn)，

則有歸司+盧鳥|=2。=4.

由歸制，彳歸閭，歸閶成等差數(shù)列，得2川產(chǎn)叫=4,2/0,

即四|=：

由M(l,0)，則|尸閭=>/一M+%2.

又P（Xo，%）在橢圓C上，有午+%2=1,

故歸閘=J-I,+靖=J?_1)2+[一_j=七%?-2%+2,

因?yàn)椴弧闧—2,2],所以1PM歸[乎,3].

日n2rV6

即不￡[:一,3],

X3

2r-

所以Xe[―,^6]

所以實(shí)數(shù)2的取值范圍是..............14分

(22)(共15分)

解：(I)因?yàn)?(x)=xex

所以廣(x)=(x+l)e1

所以/(o)=o,r(o)=i.

所以曲線丁=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=龍...............4分

(II)令/'(%)=0,得x=—1.

當(dāng)xe(7,—1)時(shí)，/'(%)<。，/(可單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(—1,+8)時(shí)，/'(x)>0，單調(diào)遞增；

當(dāng)x=—1時(shí)，/'(x)=0，"％)在％=—1時(shí)取得微小值.

所以函數(shù)/(X)的微小值為-：，不存在極大值...............9分

(III)g(x)=xex-lnx-x-m,其定義域?yàn)?0,+oo).

g'(x)=(x+1)ex---1=(x+l)(ex--),x+l>0.

XX

令/z(x)=e，_L〃(x)=e，+3>0,

所以/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)椤á拧?,/z(1)<0,所以比e(3,1),

當(dāng)無e(O,尤0)時(shí)，7z(x)<0,即g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)無?無0，+°°)時(shí)，妝%)>0,即g'(x)>0,g