上海市2024年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題

2024學(xué)年度第一學(xué)期高一數(shù)學(xué)學(xué)科期末考試卷

(考試時間：90分鐘滿分：100分)

一、填空題(本大題共12小題，滿分36分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)干脆填寫結(jié)

果，每個空格填對得3分，否則一律得零分.

1.已知募函數(shù)y=/(x)的圖像過點(diǎn)一,、-,則log2/(2)=________o

、22J

2.設(shè)4、3是非空集合，定義=A一民且A6},4==J2%—11,

B=<yy=x*>,貝!jA*B=。

2。一x

3.關(guān)于x的不等式，>0(。/1)的解集為o

X—CL—1

4.函數(shù)y=3、j(-l<x<0)的反函數(shù)是。

5.已知集合A={x|尤>2,xeR},B={x|x>-l,xe7?},那么命題p"若實(shí)數(shù)x>2,則

x>-l"可以用集合語言表述為“AcB”。則命題p的逆否命題可以用關(guān)于的集合

語言表述為O

6.已知關(guān)于x的方程(4]='有一個正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________

⑵1-a

7.定義在(—1,1)上的奇函數(shù)了(尤)也是減函數(shù)，且/(I—/)+/?+1)<0,則實(shí)數(shù)/的取值范

圍為O

8.若偶函數(shù)/(x)在(-oo,0]單調(diào)遞減，則滿意/(2x-l)</(1)的x取值范圍是=

9.作為對數(shù)運(yùn)算法則：lg(a+Z?)=Iga+lgZ?(a>0力>0)是不正確的。但對一些特

別值是成立的，例如：lg(2+2)=1g2+1g2o那么，對于全部使lg(a+Z?)=lga+lgb

(a>0,b>0)成立的a、b應(yīng)滿意函數(shù)a=/S)的表達(dá)式為。

10.已知函數(shù)y的圖像與函數(shù)y=a*(a>l)及其反函數(shù)的圖像分別交于A、B兩點(diǎn)，若

X

|A3|=述，則實(shí)數(shù)。為____________o

112

11.若函數(shù)/(x)=2kT—iog〃x+i無零點(diǎn)，則a的取值范圍為。

12.求“方程(|>+(]廠=1的解”有如下解題思路：設(shè)函數(shù)/(X)=(|r+(|r，則函數(shù)/(%)

在R上單調(diào)遞減，且/(2)=1,所以原方程有唯一解％=2。類比上述解題思路，方程

M+/=(2%+3)3+2x+3的解集為o

二、選擇題(本大題共有4小題，滿分12分)每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙

的相應(yīng)編號上將代表答案的小方格涂黑，選對得3分，否則一律得零分.

13.設(shè)尸和。是兩個集合，定義集合尸—0={小€尸且xeQ},假如P={Mlog；<1},

Q={#-2|<1},那么P-Q=

()

(A)(0,1)(B)(0,1](0[1,2)(D)[2,3)

14.已知關(guān)于尤的不等無式+士]或<2的解集為尸，若1三P,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

x+a

(A)(—8,-l]U[0,+8)(B)(-1,0](C)[-1,0](D)(—8,—l)U(0,+8)

15.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇a,“，{(%,y)|y=/(x),a<{(x,y)|x=。}只有

一個子集，則

()

(A)ab>0(B)ab>0(C)ab<0(D)ab<0

16.已知/(x)是單調(diào)減函數(shù)，若將方程/(幻=工與/(x)=f~\x)的解分別稱為函數(shù)/(無)的不

動點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)。則”X是f(x)的不動點(diǎn)"是"X是/(X)的穩(wěn)定點(diǎn)”的

()

(A)充要條件(B)充分不必要條件

(0必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件

三、解答題(本大題共5題，滿分52分)解答下列各題必需在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)

寫出必要的步驟.

17.(本題滿分8分)已知函數(shù)/(九)=*—2a+1,龍?2,5]有反函數(shù)，且函數(shù)八%)的最

大值為8,求實(shí)數(shù)f的值。

解:

18.(本題滿分8分，每小題滿分各4分)已知集合人=卜,2+(〃—1)]—

5={x|(x+a)(x+Z?)>()},其中awb,全集U=R。

(1)若a>b>—l,求Ap|B；

(2)若。2+：€必4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍。

解：

19.(本題滿分10分，第(1)小題滿分4分，第(2)(3)小題各滿分3分)

,/、x2+2|x|/----/、/、

已知/(%)=/_l[g(x)=，v+2,//(x)=/(x)-g(x)o

s/x+2

(1)寫出H(x)的解析式與定義域；

(2)畫出函數(shù),="(尤—1)+2的圖像；

(3)試探討方程H(x—1)+2="的根的個數(shù)。

解：

20.(本題滿分12分，每小題滿分各6分)

某醫(yī)藥探討所開發(fā)一種新藥，在試驗(yàn)藥效時發(fā)覺：假如成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后

ax

(0<%<1)

x2+l

每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間了(小時)之間滿意y=<

a-2^

gl)

4T+1

其對應(yīng)曲線(如圖所示)過點(diǎn)(2,日)。

(1)試求藥量峰值(y的最大值)與達(dá)峰時間(y取最大值時對應(yīng)的x值);

(2)假如每毫升血液中含藥量不少于1微克時治療疾病有效，那么成人按規(guī)定劑量服用該藥

,2達(dá)峰時間

一一藥量峰值

一次后能維持多長的有效時間？（精確到0.01小時）

解:

21.(本題滿分14分，第(1)小題滿分4分，第(2)(3)小題各滿分5分)

2X-ci

已知/(x)=K(aeR)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱。

4

(1)求。的值，并求出函數(shù)歹(x)=/(%)+2,—--——1的零點(diǎn)；

2+1

b

(2)若函數(shù)/z(x)=/(x)+2'——/在［0,1］內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)匕的取值范圍；

2*+1

⑶設(shè)gQAlog,S,若不等式廣(x)<g(x)在xe4,2］上恒成立，求滿意條件的最

1-x23

小整數(shù)左的值。

解：

2024學(xué)年度第一學(xué)期高一數(shù)學(xué)學(xué)科期末考試卷參考答案

一、填空題(本大題共12小題，滿分36分)

萬、1

L已知幕函數(shù)y=/(x)的圖像過點(diǎn),則log2〃2)=—。

、)2L

2.設(shè)A、5是非空集合，定義=氏且xeA母，A=^cy=y/2x-x2j,

，j_、

B<yy=x,則A*5={0}_(2,+oo)。

3.關(guān)于九的不等式2"；'>o(QW1)的解集為(2〃,4+1)。

4.函數(shù)y=3'T(-1<%<0)的反函數(shù)是y=-Jlogsx+1xeQ,1。

5.已知集合A={x[x>2,xe7?},B=,那么命題p"若實(shí)數(shù)x>2,則

%>-lw可以用集合語言表述為“AcB”。則命題p的逆否命題可以用關(guān)于A,8的集合

語言表述為翻口RAo

6.已知關(guān)于x的方程[g]=:有一個正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,0)。

7.定義在(—1,1)上的奇函數(shù)/(x)也是減函數(shù)，且/(I—/)+/?+i)<o,則實(shí)數(shù)/的取值范

圍為(—1,0)。

8.若偶函數(shù)/(%)在(e,0]單調(diào)遞減，則滿意/(2x-l)</(1)的x取值范圍是g<x<|?

9.作為對數(shù)運(yùn)算法則：lg(a+￡?)=lga+lg￡>(a>0,b>0)是不正確的。但對一些特

別值是成立的，例如：Ig(2+2)=lg2+lg2o那么，對于全部使lg(a+》)=lga+lgb

h

(6Z>0,Z?>0)成立的Q、Z?應(yīng)滿意函數(shù)Q=/S)的表達(dá)式為。=——3〉1)。

b-1

10.已知函數(shù)的圖像與函數(shù)y=a*(a>l)及其反函數(shù)的圖像分別交于A、B兩點(diǎn)，若

\AB\=^,則實(shí)數(shù)°為生

11.若函數(shù)/(X)=2吐31—log,X+1無零點(diǎn)，則。的取值范圍為(省,M)。

12.求“方程(|)*撲1的解”有如下解題思路:設(shè)函數(shù)小)=(|)，+6,則函數(shù)/⑴

在R上單調(diào)遞減，且/(2)=1,所以原方程有唯一解了=2。類比上述解題思路，方程

f+爐=(2x+3)3+2x+3的解集為{-1,3}o

二、選擇題(本大題共有4小題，滿分12分)

13.設(shè)尸和。是兩個集合，定義集合尸—0={小€尸且丑解，假如尸=同抽；<1},

。={小_2|<1},那么P-Q=

(B)

(A)(0,1)(B)(0,1](0[1,2)(D)[2,3)

V+1

14.已知關(guān)于x的不等式——<2的解集為P,若1乏尸，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(C)

x+a

(A)(—8,—l]U[0,+8)(B)(-1,0](C)[-1,0](D)(—8,—l)U(0,+8)

15.已知函數(shù)丁=/(x)的定義域?yàn)閇。㈤，{(x,y)|y=/(x),a<x<Z?}n{(^v,y)|x=0}只有

一個子集，則

(A)

(A)ab>0(B)ab>0(C)ab<0(D)ab<0

16.已知/(x)是單調(diào)減函數(shù)，若將方程/。)=%與/(x)=p\x)的解分別稱為函數(shù)/(龍)的不

動點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)。則"X是/(X)的不動點(diǎn)"是"X是/(龍)的穩(wěn)定點(diǎn)”的

(B)

(A)充要條件(B)充分不必要條件

(0必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件

三、解答題(本大題共5題，滿分52分)

17.(本題滿分8分)已知函數(shù)/(%)=%2-2a+1,xe[2,5]有反函數(shù)，且函數(shù)的最

大值為8,求實(shí)數(shù)f的值。

解:函數(shù)/(x)=%2—2比+1的對稱軸為1=/,所以Y2或的5。

若/W2,在[2,5]上單調(diào)遞增，/(x)1rax="5)=25—10/+1=8,得公|，符合；

若在[2,5]上單調(diào)遞減，f(x)imx=/(2)=4-4z+l=8,得/=一：，舍。

綜上，?=-O

5

18.(本題滿分8分，每小題滿分各4分)已知集合人=,爐+(〃—1)%—〃>。},

B=[Y|(X+4Z)(X+Z?)>0),其中全集U=R。

(i)若〃>/?>—1,求Ap|jB；

(2)若〃+工￡丹4,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍。

解：(1)因?yàn)樗砸籥<—Z?vl,故A={x|xV—Q或￥>1},

B-艮工<-a^c>-b\,因此AP|B={,%<-a^)c>1}。

iQ1

(2)={x(x—l)(x+a)WO},由才得(才——)(a2+—+a)0?

解得a=—,或—---Va<——-，所以Q的取值范圍是<a-VaV——>。

22222

19.(本題滿分10分，第(1)小題滿分4分，第(2)(3)小題各滿分3分)

,/、x2+2|x|/----/、/、

已知/(%)=/_L[g(x)=Jx+2,H(x)=f(x)-g{x}=

A/X+2

(1)寫出H(x)的解析式與定義域;

(2)畫出函數(shù)y=8(x—1)+2的圖像;

(3)試探討方程H(x—1)+2="的根的個數(shù)。

,,,\x2+2xgo)

解：⑴H(x)的定義域?yàn)閧?。尽?},H(x)=x+2x=<

11X2-2X(-2<x<0)

x2+l(x>1)

(2)y=H(x-l)+2=(x-l)2+2|x-l|+2=^圖像略。

x~—4x+5(—1<x<1)

⑶機(jī)e{2}U[10，+oo)時，方程有一解;

me(2,10)時，方程有兩解；機(jī)e(—oo,2)時，方程無解。

20.(本題滿分12分，每小題滿分各6分)

某醫(yī)藥探討所開發(fā)一種新藥，在試驗(yàn)藥效時發(fā)覺：假如成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后

ax

(0<%<1)

Y2+1

每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間x(小時)之間滿意丁=

(x>l)

4T+1

其對應(yīng)曲線(如圖所示)過點(diǎn)(2,g)。

(1)試求藥量峰值(y的最大值)與達(dá)峰時間(y取最大值時對應(yīng)的x值);

(2)假如每毫升血液中含藥量不少于1微克時治療疾病有效，那么成人按規(guī)定劑量服用該藥

,?*x4—>2,0<f(x)<4。

X

2A24-2x_4-2t_4

二當(dāng)4YUu「口1,十_|_wonAJRdj*9J\A,)-

V-1-X-2X

-4+14「2I一121

—+1——+1-x2+——

4442X

?：2A>2,：.^x2x+^>l,：.0</(x)<4,

...當(dāng)x=l時，有最大值為％ax=/⑴=4。

(2)???/(x)在(0,1)上單調(diào)增，在［1,+8)上單調(diào)減，最大值為4,

/(x)=1在(0,1)和［1,+8)各有一解。

當(dāng)xe(0,l)時，/(x)=-^=l-解得x=4—巫；

x~+l

r\X+2

當(dāng)xe［l,+oo)時，/(%)=——=1,解得x=log2(8+2j1?)。

4+1

...當(dāng)xe［4-JE,log2(8+2V15)］時，為有效時間區(qū)間。

有效的持續(xù)時間為Iog2(8+2ji5)—(4—厲)。3.85小時。

21.(本題滿分14分，第(1)小題滿分4分，第(2)(3)小題各滿分5分)

已知/(x)=^~-(aeR)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱。

2"+1

4

(1)求a的值，并求出函數(shù)歹(x)=_y(x)+2,——-——1的零點(diǎn)；

2+1

b

(2)若函數(shù)/z(x)=/(x)+2￡-Qt在［0,1］內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)匕的取值范圍；

(3)設(shè)g(x)=log4;^，若不等式/T(x)<g(x)在xe'g］上恒成立，求滿意條件的最

小整數(shù)左的值。

解：(1)由題意知/(x)是R上的奇函數(shù)，所以/'(0)=