重慶市七校聯(lián)盟2024屆高三年級(jí)下冊(cè)三診考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

重慶市七校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期三診考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合/={xeN|%2-4尤-5V。},3={0,1洛，則/門2=（）

A.{xll<x<2}B.{x|0<x<2}C.{0,1,2}D.{1,2}

2.已知z=3（aeR）是純虛數(shù)，則2萬的值為（）

A.-1B.1C.2D.-

4

3.已知向量2=（2,3）,B=（加一1,2加+1）,若1//B，則加=（）

A.3B.-C.—D.—5

88

4.設(shè)尸,7是三個(gè)不同的平面，a,b是兩條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（）

A.若a工/3,aua,bu0,貝心B.若a//B,aua,bu/3,則a//6

C.若a//a,bu〃，則。與人異面D.若?！竱/?=。,。_17,尸_17,則。

5.已矢口-=3cos]o+胃，則tana=()

A.2B.yC.3D.-

23

6.已知拋物線C:y=4x2的焦點(diǎn)為F,該拋物線上一點(diǎn)。到片-1的距離為4,貝I」|尸尸|=()

497

A.3B.4C.-D.-

162

7.已知＞=/(%+1)+1為奇函數(shù)，則/(—1)+/(0)+/⑴+八2)+/(3)=()

A.—12B.—10C.—6D.—5

8.如圖，函數(shù)/00=為皿5+0），>0,0>0,,歸|^的圖像與》軸的其中兩個(gè)交點(diǎn)分別為

A,B,與了軸交于點(diǎn)C,。為線段BC的中點(diǎn)，|。兇=6|。。|,\OA\=2,\AD\=^~,則下

列說法正確的是（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A./(x)的最小正周期為12兀B./（x）的圖象關(guān)于直線x=8對(duì)稱

C./(2)=/(-4)D.x+2）為偶函數(shù)

二、多選題

9.已知直線/:x+叼-加+3=0,圓C:（尤-iy+（y-2）2=5,則下列說法正確的是（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（-3,1）B.直線/與圓。相交

C.當(dāng)直線/平分圓。時(shí)，加=-4D.當(dāng)點(diǎn)C到直線/距離最大時(shí)，m=-

4

10.已知在直三棱柱/8C-44。中，ABLBC,AB=BC=2,直線4c與底面所成角

的正弦值為魚，則（）

3

A.直三棱柱-4耳。的體積為4|

B.點(diǎn)耳到平面48c的距離為血

c.當(dāng)點(diǎn)。為線段4c的中點(diǎn)時(shí)，平面。平面DCG

D.E,F分別為棱CG上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)/E+M+E4］取得最小值時(shí)，A{F=EF

11.已知函數(shù)/（x）=e2=a%2（。為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)。=1時(shí)，%）在（0,7（0））處的切線方程為2》7+1=0

B.若"X）有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為任,+8）

C.當(dāng)a=/時(shí)，x=l是/（%）的極大值點(diǎn)

D.當(dāng)〃=5時(shí)，/（X）有唯一*零點(diǎn)％0，且—1<%（）<—5

三、填空題

12.已知〃=log25,8=5',則.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

13.設(shè)/,2是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸(/)=；,尸(3)=；,尸(4u3)=；,則

P(B\4)_.

14.有序?qū)崝?shù)組(國(guó),％,…稱為〃維向量，|網(wǎng)|+上|+…+同為該向量的范數(shù)，范

數(shù)在度量向量的長(zhǎng)度和大小方面有著重要的作用.已知〃維向量3=(%,/,…,x”)，其中

蒼€｛0,1,2｝,7=1,2,…記范數(shù)為奇數(shù)的3的個(gè)數(shù)為4,則4=；4?+1=?(用

含〃的式子表示)

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=/一10x+3“l(fā)nx在點(diǎn)(1,7(1))處的切線與直線尤+4y-l=0垂直.

⑴求。的值；

⑵求函數(shù)/(x)的極值.

16.已知在數(shù)列｛%｝中，01=1，冊(cè)+1=4].

(1)求證：數(shù)列[十]是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛。/向｝的前"項(xiàng)和s”；

(2)在AABC中，角4,8,C的對(duì)邊分別為a",0,且。=,bcosC+ccosB=-2acosA,

“〃+lan

求小BC面積的最大值.

17.如圖，在四棱錐尸—/BCD中，PBC1ABCD,ZPBC=9(f,AD//BC,

/ABC=90°,245=2AD=BC=2.

⑴求證：CZ)_L平面心。；

(2)若二面角3-PC-。的余弦值為理，求直線PD與底面4BCD所成角的余弦值.

18.已知RC分別是橢圓「:W+】=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線/交橢圓「

ab

71

于43兩點(diǎn)，滿足|/F|+|AF|=4,/FCO=].

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(1)求橢圓r的方程;

(2)設(shè)橢圓「的下頂點(diǎn)為。，過點(diǎn)。作兩條互相垂直的直線4，，這兩條直線與橢圓「的另一

個(gè)交點(diǎn)分別為N,設(shè)直線乙的斜率為依左wo),ADW的面積為s,當(dāng)會(huì)＞當(dāng)時(shí)，求后的

陽9

取值范圍.

19.在概率統(tǒng)計(jì)中，常常用頻率估計(jì)概率.已知袋中有若干個(gè)紅球和白球，有放回地隨機(jī)摸

球〃次，紅球出現(xiàn)加次.假設(shè)每次摸出紅球的概率為〃，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，則每次

摸出紅球的概率P的估計(jì)值為°=".

n

(1)若袋中這兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為1:3,不知道哪種顏色的球多.有放回地隨機(jī)摸取3個(gè)

球，設(shè)摸出的球?yàn)榧t球的次數(shù)為y,則丫?B(3,0).

注：［(丫=人)表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為p時(shí)，摸出紅球次數(shù)為左的概率)

(i)完成下表;

k0123

巴(1)271

46464

4(』)927

46464

5)在統(tǒng)計(jì)理論中，把使得與任=人)的取值達(dá)到最大時(shí)的作為。的估計(jì)值，記為方，

請(qǐng)寫出方的值.

⑵把(1)中“使得［”=人)的取值達(dá)到最大時(shí)的。作為p的估計(jì)值p”的思想稱為最大似然

原理.基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計(jì)方法稱為最大似然估計(jì).

具體步驟：先對(duì)參數(shù)。構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)/(。)，再對(duì)其關(guān)于參數(shù)。求導(dǎo)，得到似然方程

/'(o)=o,最后求解參數(shù)。的估計(jì)值.已知y?3(%P)的參數(shù)〃的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

/(〃)=支X,lnp+5(1一Xjn(l"),其中?d.求參數(shù)〃的估計(jì)值，并

Z=11=1.［1,第，次摸出紅球一.......

且說明頻率估計(jì)概率的合理性.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.C

【分析】由給定數(shù)集的范圍和交集的定義求解.

【詳解】={xeN|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4,5},又8={0,l,2},

則/口8={0,1,2}.

故選：C.

2.B

【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)純虛數(shù)的定義，由實(shí)部等于0,虛

部不等于0,列式求解即可得。，再結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軟復(fù)數(shù)的概念即可得答案.

【詳解】

二?復(fù)數(shù)z=需是純虛數(shù),。+21—2。.

且z=l+2i=(l+2i)(l-2i)-------1--------1,

55

—=0

I5,解得。=一2,

匕三0

5

所以z=i,z=-i>

所以z,z=—/=1，

故選：B.

3.D

【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知2（2加+1）=3（m-1）=＞加=-5.

故選：D

4.D

【分析】ABC選項(xiàng)根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系直接判斷即可，D選項(xiàng)需要通過畫圖

解釋，另外需要結(jié)合線面垂直、面面垂直、線面平行的性質(zhì)進(jìn)行分析.

【詳解】對(duì)A,若aL0,aua,bu0,則a與6相交、平行或異面都有可能，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,若a//0,aua,bu0,則a//6或a與6異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,若a//a,bu力，則。與6相交、平行或異面都有可能，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,若=設(shè)口與/的交線為根,萬與7的交線為小

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

在平面a內(nèi)取4，山，在平面夕內(nèi)取4，"，4,與°不重合，

由面面垂直的性質(zhì)可得4，7,，7，所以〃〃2,

又4所以/"/￡,由線面平行的性質(zhì)定理得

所以有a_Ly,故D正確.

故選：D.

5.B

【分析】利用誘導(dǎo)公式得到sin[a+：]=3cos[a+：],即可求出tan(a+：j,再由兩角和的

正切公式展開計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閏os[；-a]=3cos(e+：j,

「兀(兀丫Ic/兀\

所以cos--Ia+~^\=3cosIa+~\y

即sin[a+；]=3cos[+；)，

71

/\/\tana+tan—1

所以tana+；=3,則tana+:=-----------=3,解得tana二一.

I4JI4;兀2

[)1J1-tan6Ztan—

4

故選：B

6.C

【分析】根據(jù)題意求出拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，再由拋物線定義得解.

【詳解】由拋物線C:y=4/可得其準(zhǔn)線方程為＞=一々，

416

因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)尸到y(tǒng)=-1的距離為4,

1r1149

所以點(diǎn)P到了=-77的距離為4----(-1)=7，

16L16」16

由拋物線的定義知，|尸尸|=4仁9.

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

故選：c

7.D

【分析】由函數(shù)圖象平移的規(guī)則，且y=/(x+i)+i為奇函數(shù)，得出函數(shù)y=圖象的對(duì)

稱性，進(jìn)而得出/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)的值.

【詳解】由函數(shù)圖象平移的規(guī)則可知：

函數(shù)了=/(x)的圖象可由函數(shù)y=/(x+D+l的圖象向右平移1個(gè)單位、向下平移1個(gè)單位得

到的，

因?yàn)楹瘮?shù)v=/(x+l)+l為奇函數(shù)，所以函數(shù)y=/(x+l)+l的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱，得：

/(-1)+/(0)+/⑴+/⑵+/(3)=[/(-1)+/(3)]+[/(0)+/(2)]+/⑴，

即/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=2x(-l)+2x(-l)+(-l)=-5,

故選：D.

8.C

【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)先含參表示42,C,。的坐標(biāo)，由線段關(guān)系求解參數(shù)得

/(x)=fsin但x-9,再判定選項(xiàng)即可.

3163)

【詳解】由題可/(2,O),8(2+3o],C(O,/sin0,則。1+占,且羋],

\coJ\2a)2)

有百|(zhì)/sind=2+巴,sin(2G+e)=0,

CD

I,nl242]28

T

代入上式,解得巴=6(負(fù)值舍去),

CD

兀.(兀,兀兀

+°JI=0r\,由闞IIW5,斛b-n得zrt夕二--V3/sin1-三)=8,

,.16、16.1兀

解AnZ得F/=H，.?/(x)=-sinl—x-yI,

T---12

顯然其周期為一至一，故A錯(cuò)誤；

6

71jr

當(dāng)x=8時(shí)，=尤一:=兀，/(%)=0,故B錯(cuò)誤;

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

f(2)=—sin0=0,/(-4)=—sin(-7t)=°，故C正確；

〃T+2)=gsin](f+2〉升胃1卜/,顯然是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)含參表示各點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)線段關(guān)系解參數(shù)

求出函數(shù)解析式，針對(duì)選項(xiàng)利用三角函數(shù)性質(zhì)一一判定即可.

9.ACD

【分析】對(duì)于A,將直線方程變形即可進(jìn)一步判斷；對(duì)于B,舉反例即可判斷；對(duì)于C,將

圓心坐標(biāo)代入直線方程即可驗(yàn)算參數(shù)加；對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)C到直線/距離最大值時(shí)，有尸C，/,

結(jié)合它們的斜率關(guān)系即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,/:x+叩一機(jī)+3=0即x+3+〃z(y-l)=0,令y-l=0,有y=l,x=—3,

所以直線/恒過定點(diǎn)P(-3,1),故A正確；

對(duì)于B,圓C:(x-+(>-2>=5的圓心、半徑為C(l,2),r=囪,

Im+4|

點(diǎn)C(l,2)到直線/:x+叩-扭+3=0的距離為d=-

yjl+m

從而d—=("Ml5=-4、+8加+11,

1+m2l+m2

取"7=2,則止匕時(shí)有屋一產(chǎn)=m>0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)直線/平分圓C時(shí)，有點(diǎn)c(l,2)在直線/:x+叼一"+3=0上，

也就是說有1+2加-冽+3=0成立，解得加=-4,故C正確；

對(duì)于D,點(diǎn)C到直線/距離滿足44尸。，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)尸C，/,

,2-11

而PC的斜率為K=]_(_3)=a，

所以當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)有;解得加=1,故D正確.

故選：ACD.

10.BC

【分析】利用線面夾角及棱柱的體積公式可判定A,利用等體積法可判定B,利用線線垂直

的判定與性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判定C,利用多面體的展開圖計(jì)算最值可判定D.

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】

對(duì)于A,由直三棱柱的特征可知，直線4c與底面ABC所成角為N&C4,

所以粵=E，

因?yàn)锳8_L8C,N3=8C=2,所以ZC=2拒,/4=2,4C=2百，

則直三棱柱/8C-44。的體積為:?8C?幺4=4,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由上可知3cl平面么用，

因?yàn)?出u平面/月，所以8C，43,則S.A、BC=2>/2,S：=2，

設(shè)點(diǎn)Bx到平面AtBC的距離為h,

易知匕=g〃x2亞=@4B[B=；x2x2=〃=血，故B正確；

對(duì)于C,取4C，/C的中點(diǎn)G,”,易知M在線G8上，BH1AC,

由直三棱柱的特征知GH工AC,

因?yàn)镚HcBH=H,GH,BHu平面BBXDH,

所以/C,平面83QH,而平面平面DAB1

因?yàn)镹Cu平面DC。，所以平面。平面。24,故C正確；

對(duì)于D,將三棱柱側(cè)面展開，如下圖所示，

4B、G4

A2B2c2般/

EF2

顯然+M+取得最小值時(shí)，—=^,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

11.ABD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可判定A正確；根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為g(x)=彳與>=。的圖

x

象有3個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g(x)的單調(diào)性與極值，可判定B正確；當(dāng)a=e?時(shí)，得

到/卜)=2?，-62防，討論函數(shù)/(》)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義，可判定C錯(cuò)誤.當(dāng)。=g

時(shí)，得到廣(力>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，結(jié)合可判定D正確；

【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)°=1時(shí)，可得〃x)=e2"-,則〃0)=lj'(x)=2e2，_2xj'(0)=2,

所以切線為2x-y+1=0,A正確：

對(duì)于B中，若函數(shù)〃x)=e2=混有3個(gè)零點(diǎn)，即e2，=加有三個(gè)解，

其中x=0時(shí)，顯然不是方程的根，

當(dāng)xwO時(shí)，轉(zhuǎn)化為g(x)=［與>的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，

令g'(x)>0,解得x<0或x>l；令g'(x)<0,解得0<x<l,

所以函數(shù)g(x)在(-*0),(1,+◎上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減；

所以當(dāng)尤=1時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值，極小值為g(l)=e2,

又由x.0時(shí)，g(x)f+8,當(dāng)xf-oo時(shí)，g(x)->0且g(x)>0,

0\1尤

所以a>e2,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為卜2,+“)，所以B正確：

對(duì)于C中,當(dāng)a=e?時(shí),/(x)=e2l-e2x2,可得/'(x)=2e2,-2e2x=2(e2*-e?x),

令g(x)=e2x-e2x,g，(無)=2e2x看在R上單調(diào)遞增，

且g'(0)=2-/(0,g")=e?)0,所以存在尤°e(0,1)使得g，(尤。)=0,

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

所以在(-8,Xo)上g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

在(X。,”)上g[x)>0,g(尤)單調(diào)遞增，又g⑴=0,

所以在(無。,1)上g(x)<0,即r(x)<0,/(X)單調(diào)遞減,

在(1,+8)上g(x)>0,即/'(x)>0,y(x)單調(diào)遞增,

所以x=l是/(X)的極小值點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤.

對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，r(x)=2e2，-x=2卜

設(shè)〃(x)=e"-；x,可得〃'(x)=2e2*-；,

當(dāng)x<ln；時(shí)，/z'(x)<0,/z(x)在［-鞏In；］單調(diào)遞減；當(dāng)x>lng時(shí)，l(x)>0,/z(x)在(ln；,+s

單調(diào)遞增,

21nli111/、

所以當(dāng)尤=ln,時(shí)，h(x\.=h\In—=e2-—ln-=-+-ln2>0,所以A(x)>0,

2\/minI222427

所以/'(x)>0,所以函數(shù)〃x)在R上單調(diào)遞增,

又因?yàn)椤═)=e-2-0,即/㈠)./5￡[<0,

所以/(x)有唯一零點(diǎn)看且-l<x0<-；,所以D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；

2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分

離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就

要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

12.3

【分析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系求出6,再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.

【詳解】由8=5J得6=1叫8,^^^=log25.log58=31og25-log52=3.

故答案為：3

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】根據(jù)和事件的概率公式求出再由條件概率公式求解即可.

【詳解】由尸。8)=尸(/)+P⑻-P(4B)=；+g-P(4B)=1,

解得尸(18)=二，

1

一1

所以勿=鏘=-

1123-

4-

故答案為：:

o2n+l

14.40-~

2

【分析】根據(jù)乘法原理和加法原理即可求解4；根據(jù)(2+1)2向和(2-1)2向的展開式相減得

到4用的通項(xiàng)公式.

［詳解】根據(jù)乘法原理和加法原理得到4=C；?23+C：?2=40.

奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則士=1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即1的個(gè)數(shù)為1,3,5,…，2“+1,

根據(jù)乘法原理和加法原理得到根"+i=C1/"+C；,N”-2+C；用222+C崇;2。,

+L

2n+12n+12n+l

3=(2+l)=C°?+12+CH'+dT+L+C然；2。

2+12+122n2

1=(2-l)"=C??+12"-CL+12"+CL+12--L-C^；2°

兩式相減得到4角=彳1.

o2n+l_i

故答案為：2；)—.

2

15.(l)a=4

(2)極大值-16+12In2,極小值-21+121n3

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系可求得。值；

(2)結(jié)合第(1)問可得了'(X),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可確定極值點(diǎn)，則極值可求.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=--10x+3alnx,求導(dǎo)得/'(x)=2X一10+應(yīng)，

X

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

貝ij/'(I)=2-10+3。=3。-8,即為切線的斜率，.

因?yàn)榍芯€與直線x+4y-l=0垂直，則有=

解得a=4.

(2)由(1)知,函數(shù)/(x)=/T0x+l21nx,定義域?yàn)?。,+?0,

,p-1...、122(%—2)(x—3)

求v導(dǎo)Z得r/r(x)=2x—10+—=八————-

XX

當(dāng)0<x<2或％〉3時(shí)，f\x)>0,當(dāng)2<x<3時(shí)，fr(x)<0,

因此函數(shù)/(x)在(0,2),(3,+網(wǎng)上單調(diào)遞增,在(2,3)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=2時(shí)，/(x)取得極大值/(2)=-16+121n2,

當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取得極小值/(3)=-21+121n3,

所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(0,2),(3,+8),遞減區(qū)間為(2,3),

極大值-16+121n2,極小值-21+12M3.

16.(1)證明見解析，-―-

2〃+1

【分析】（1）根據(jù)已知條件，由等差數(shù)列的定義寫出｛工｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得向｝的

通項(xiàng)公式，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前"項(xiàng)和5“即可；

（2）根據(jù)題設(shè)三角恒等式，結(jié)合正弦定理得sin/=-2sin/cos/,由三角形內(nèi)角性質(zhì)求角A,

由余弦定理及基本不等式求6c的范圍，應(yīng)用三角形面積公式，求“3C面積的最大值.

11+2。1、11c

【詳解】(1)由題意，一=——-=—+2,即-------=2

aaa

??+lnn%+1n

為等差數(shù)列:首項(xiàng)公差d=2,

1

2〃一1

n

2n+l

(2)VbcosC+ccosB=-2acosA,

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

，由正弦定理,有sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA,.

即sin(S+C)=sin力=-2sinAcosA,又4￡(0,%),sinZ>0,

/.cos^4=--,A=—

23

11c

由。=-------=2,

aa

n+ln

由余弦定理得：a1=b2+c2-2Z)c?cosA=b2+c2+bc,.

.-.a2=4>3&c，即當(dāng)且僅當(dāng)6=c=及時(shí)取等號(hào)，

33

SABC=-be-sin/=^-bc<，即△48C面積最大值為—.

“BC244333

17.(1)證明見解析

【分析】(1)要證CD_L平面PBO,可證CD_LBO且CDLBP,8_L8。通過勾股定理可證,

CD1BP通過線面垂直性質(zhì)可證；

(2)以B為原點(diǎn)，3c為x軸，8P為V軸，8/為z軸建立8-xyz空間直角坐標(biāo)系，分別求

出平面BPC和平面尸CD的法向量，結(jié)合向量夾角余弦公式即可求解AP的長(zhǎng)度，由(1)知

8P_L平面N3CD,直線尸。與底面4BCD所成的角為NPD3,則線面角的余弦值可求.

【詳解】(1)由NP3C=90°,得PBLBC

因?yàn)槠矫鍼BC1平面ABCD,平面PBCc平面ABCD=BC,2尸u平面PBC

所以AP_L平面/BCD,又CDu平面/BCD,則尸8_LCD,.

又NABC=90°,AD//BC,所以因?yàn)?/2=2/。=8C=2,

所以BD=ylAB2+AD2=VI，

過點(diǎn)。作DEL8C交8c于點(diǎn)E,

則DE=\,CE=BE=\,

所以CD=4DE2+CE2=6,因?yàn)?c2=co?+BD?=(V2)2+(V2)2=4,

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

故/2￡^=90",即CD_L8D,

又BDcBP=B,BP,BDu平面PBD,所以CD_L平面PBD-,

(2)因?yàn)镹4BC=90°,平面尸8cl平面/BCD,平面尸BCc平面=8C,

所以431平面PBC,ZPBC=90°

故以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則5(0,0,0),尸(0,a,0),C(2,0,0),D(l,0,l).

所以定=(2,-。,0),而==(0,a,0)

由題意可知筋=(0,0,1)為平面PBC的一個(gè)法向量,

設(shè)平面PCD的法向量為萬=(x,y,z),

n-PD=0x-ay+z=0

則一，即

n-PC=Q2x-ay=0

2_

令x=l,則y=一,z=l,故力二

aa)

因?yàn)槎娼?-PC-。的余弦值為史,

3

所以3,

解得〃=2,即B尸=2,則PD=NBD?+PB?=網(wǎng)，

由(1)可知，AP_L平面/BCD,則直線尸。與平面/BCD所成的角為/尸D5,

所以cos/PDB=吧=平=昱,

PDJ63

3

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

18.⑴1+/=1

⑵（-后,0）50,收）

7T

【分析】（1）利用橢圓的定義，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)知，ZFCO=~,則。=26,解出a,b

即可得橢圓方程；

⑵設(shè)4的方程為y=kx-1代入橢圓方程,求出M的坐標(biāo)，可得\DM\，用代替人，可得QN|,

K

SS16

求出ADW的面積S,可得M，解不等式網(wǎng)■>方■可得左的取值范圍.

【詳解】（1）設(shè)橢圓「的左焦點(diǎn)為耳，連接用，幽，

由對(duì)稱性知四邊形總是平行四邊形，所以以刊=忸用，.

由橢圓定義知2a=\BF\+忸周=|5F|+\AF\=4,則a=2,.

TV

設(shè)橢圓的半焦距為。，由橢圓的幾何性質(zhì)知，ZFCO=—,則。=26,

所以6=1,

丫2

所以橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+/=l.

（2）橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+/=i.則。（0,-1）,

4

所以直線4：y=6—1（左W0）,，2：歹=..-x—\,

如圖所示,

設(shè)河（石,弘）川（工2,%）,

聯(lián)立了+>=1,消去y并整理得（1+4公卜2_8區(qū)=0,...

y=kx-\

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

mi、?8k匚8k2

所以玉二寸'所以

所以=離K

8g

所以s=;0M，mi二1標(biāo)?鼻k=（l?靠]）,

2*1+4左2

s16za32（1+/）16

由面>5'%+"2）（4+左2jV，

7

整理