人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2同步章節(jié)訓(xùn)練題及答案全冊匯編

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測第二章推理與證明綜合檢測第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入綜合檢測一、選擇題1．在平均變化率的定義中，自變量x在x0處的增量Δx()[答案]D[解析]Δx可正，可負(fù)，但不為0，故應(yīng)選D.2．設(shè)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x由x0變化到x0+Δx時，函數(shù)的改變量Δy為()A．f(x0+Δx)B．f(x0)+ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0+Δx)－f(x0)[答案]D[解析]由定義，函數(shù)值的改變量Δy＝f(x0+Δx)－f(x0)，故應(yīng)選D.3．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋x，則f(x)從－1到－0.9的平均變化率為()[答案]D[解析]f(－1)(－1)2＋(－1)2.[答案]B5．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x，函數(shù)f(x)從2到2+Δx的平均變化率為()A．2-ΔxB2-ΔxC．2+ΔxD．(Δx)2－2·Δx[答案]B＝－∴f(2+Δx)(2+Δx)2＋2(2+Δx)6．已知函數(shù)y＝x2＋1的圖象上一點(1,2)及鄰近一點(1+Δx,2+Δy)，則Δx等于()C．2+ΔxD．2＋(Δx)2[答案]C[解析]=2+Δx.故應(yīng)選C.[答案]A1變化率最大的是()A.④B.③C.②D.①[答案]B隔[t0，t0+Δt]內(nèi)的平均速度是()[答案]C[解析]由平均變化率的概念知C正確，故應(yīng)選C.[答案]C1[解析]點Q的橫坐標(biāo)應(yīng)為1+Δx，所以其縱坐標(biāo)為f(1+Δx)＝4(Δx＋1)2，故應(yīng)選C.二、填空題[解析]=(Δx)2＋6Δx＋12.2[答案]－9[解析]1[答案][解析]－1上兩點A(2,3)，B(2+Δx,3+Δy)，當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率三、解答題15．已知函數(shù)f(x)＝2x＋1，g(x)2x，分及g(x)的平均變化率.[解析]函數(shù)f(x)在[－31]上的平均變化率為函數(shù)f(x)在[0,5]上的平均變化率為函數(shù)g(x)在[－31]上的平均變化率為16．過曲線的圖象上兩點A(1,2)，B(1+Δx,2+Δy)作曲線的割線AB，求出當(dāng)Δx1=4時割線的斜率.[解析]割線AB的斜率[解析]在x＝2附近的平均變化率為∴在x＝3附近的平均變化率最大.地面上從路燈在地面上的射影點C處沿直線離開路燈.(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式；(2)求人離開路燈的第一個10s內(nèi)身影的平均變[解析](1)如圖所示，設(shè)人從C點運動到B處的路程為xm，AB為身影長度，AB的長f(x2)71一、選擇題A．在該點的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比C．一個常數(shù)，不是變數(shù)D．函數(shù)在這一點到它附近一點之間的平均變化率[答案]C[解析]由定義，f′(x0)是當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近的常數(shù)，故應(yīng)選C.2．如果質(zhì)點A按照規(guī)律s＝3t2運動，[答案]B+Δt)－s(t0)＝3(3+Δt)2－3·32C．2+ΔxD．1[答案]B∴Δy＝f(1+Δx)2－f(1)＝(1+Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2[答案]D=liΔ=liΔ=40.故應(yīng)選D.5．已知函數(shù)y＝f(x)，那么下列說法錯誤的是()0+Δx)－f(x0)叫做函數(shù)值的增量叫做函數(shù)在x0到x0+Δx之間的平均變化率C．f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記為y′D．f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記為f′(x0)[答案]C[解析]由導(dǎo)數(shù)的定義可知C錯誤．故應(yīng)選C.6．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為y′|x＝x0，即()A．f′(x0)＝f(x0+Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝lim[f(x0+Δx)－f(x0)][答案]D[解析]由導(dǎo)數(shù)的定義知D正確．故應(yīng)選D.[答案]D[解析]8．如果一個函數(shù)的瞬時變化率處處為0，則這個函數(shù)的圖象是()[答案]D[解析]當(dāng)f(x)＝b時，f′(x)＝0，所以f(x)的圖象為一條直線，故應(yīng)選D.[答案]B10．設(shè)f則等于AB.2[答案]C二、填空題[答案][解析]f(x)－f(x0)=-112=-2f′(x0)＝－2.1[答案]0x＝1＝liΔ[答案]2[解析][答案]8由于f(3)＝2，上式可化為三、解答題[解析]由導(dǎo)數(shù)定義有f′(x0)槍口射出時所用時間為1.6×10－3s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度.1+Δt)2－2atEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)＝at0Δt＋2a(Δt)2＋3的圖象上取一點P(1,4)及附近一點(1+Δx,4+Δy)，求(1)[解析]18．函數(shù)f(x)＝|x|(1＋x)在點x0＝0處是否有導(dǎo)數(shù)？若有，求出來，若沒有，說明理由.[解析]f(x)＝{Δy＝f(0+Δx)－f(0)＝f(Δx)={l-Δx－(Δx)2一、選擇題A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0[答案]B＝－＝－π4[答案]B[2(x+Δx)2－2]－(2x2－2)[解析]∵y′＝liΔ0Δxππ[答案]Dπ1EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)＋1在點(11)處的切線方程為()＝－＝－[答案]B＝－5．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足1，則過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()[答案]B＝－則y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為－1，故選B.6．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線([答案]B[解析]由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知B正確，故應(yīng)選B.7．已知曲線y＝f(x)在x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)及f′(5)分別為()C1,3D11[答案]B＝－＝－8．曲線f(x)＝x3＋x－2在P點處的切線平行于直線y＝[答案]AEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)故P(1,0)或(－14)，故應(yīng)選A.23x＋3上的任意一點，P點處的切線傾斜角為α,則α的取值范圍為()[答案]A(x+Δx)3－3(x+Δx)＋3－x3＋3x－3EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)故應(yīng)選A.線傾斜角的取值范圍為[0，]，則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為()1，－1[答案]A[解析]考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.1二、填空題11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋3，則f(x)在(2，f(2))處的切線方程為．∴f(2)＝7，Δy＝f(2+Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2=4+Δx.∴l(xiāng)iΔ=4.即f′又切線過(2,7)點，所以f(x)在(2，f(2))處的切線方程為y－7＝4(x－2)11[解析]由f(x)＝x－x＝0得x=±1，即與x軸交點坐標(biāo)為(1,0)或(－1,0).1∴切線的斜率k＝1＋1＝2.∴切線的方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1).0)處有切線l，則直線l與曲線C的公共點有個.[答案]至少一[解析]由切線的定義，直線l與曲線在P(x0，y0)處相切，但也可能與曲線其他部分有公共點，故雖然相切，但直線與曲線公共點至少一個.＋6x－10的切線中，斜率最小的切線方程為.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)三、解答題＝－＝－＝－則過點P且以P(12)為切點的直線的斜率k∴所求直線方程為y＝－2.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)又直線l過點P(12)，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)1＝1(舍去)或x0＝－2.9EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)＝－＝－＝－1[解析]y′＝liΔ=lim=lim1221(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積.(b+Δx)2＋(b+Δx)－2－(b2＋b(b+Δx)2＋(b+Δx)－2－(b2＋b－2)＝－＝－＝－l2的交點坐標(biāo)為.所以所求三角形面積一、選擇題[答案]D2．若函數(shù)f(x)＝x，則f′(1)等于()112[答案]D11[答案]A1∴切線方程為y－1＝x－2.即x－y－1＝0.4．已知f(x)＝x3，則f′(2)＝()2[答案]D[解析]5．已知f(x)＝xα,若f′(－1)＝－2，則α的值等于()[答案]A[解析]若α=2，則f(x)＝x2，－1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)等于()[答案]D=4＋4Δx＋(Δx)2，[答案]CEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)8．已知f(x)＝f′(1)x2，則f′(0)等于()[答案]A9．曲線y=x9．曲線y=＝－[答案]B(3x+Δx)2＋3x(x+Δx)＋(3x)2==(x+Δx)2+x(x(x+Δx)2+443[答案]A4==(4(4=Δt=故應(yīng)選A.3二、填空題11．若y＝x表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y′＝1可以解釋為．[答案]某物體做瞬時速度為1的勻速運動[解析]由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知：y′＝1可以表示某物體做瞬時速度為1的勻速運動.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)，的切線的斜率為．4[答案]5EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),k)[答案]21EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),k)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),k)三、解答題[解析]因為點P不在曲線y＝x上，11221211(3)求滿足斜率為－3的曲線的切線方程.＝－1＝－所以曲線在P(1,1)處的切線方程為1(2)顯然Q(1,0)不在曲線y＝x上.則可設(shè)過該點的切線的切點為A(a那么該切線斜率為k＝f′＝－1＝－＝－＝－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),3)＝－＝－118．求曲線y＝x與y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積.＝－2＝∴兩切線方程為x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所圍成的圖形如上圖所示.－＝一、選擇題－2在點(－1處切線的傾斜角為([答案]B2．設(shè)f，則f′等于[答案]B[答案]AA.B.[答案]B1[答案]D＝－＝－[答案]A[解析]本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，在解題時應(yīng)首先驗證點是否在曲線上，然后通過求導(dǎo)得出切線的斜率，題目定位于簡單題.切線方程為y＝x－1，故選A.7．若函數(shù)f(x)＝exsinx，則此函數(shù)圖象在點(4，f(4))處的切線的傾斜角為()πA.B0[答案]C48．曲線y＝xsinx在點(處的切線與x軸π221(2+π)2[答案]A[解析]曲線y＝xsinx在點(處的切線方程為yx，所圍成的三角形的面積為π2等于()[答案]D[解析]f0(x)＝sinx，f1(x)f2(x)＝－f3(x)＝－f4(x)＝－10．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)、g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，則f(x)A．f(x)＝g(x)[答案]B二、填空題.－9x＋1，則不等式f′(x)＜0的解集為．＝－＝－3＝－f(x)的解析式是.＝－＝－＝－∴a＋be－13，又f(－1)＝2，＝－＝－＝－三、解答題EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),1)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),x)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),1)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),x)2EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(x),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(x),4)2＝1＝－x處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由.＝－∴兩條曲線不存在公共點，使在這一點處的兩條切線互相垂直.＝－EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)即y2(x2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)18．求滿足下列條件的函數(shù)f(x)：＝－由f′(1)＝－3，f′(2)＝0＝－可建立方程組{，＝－所以f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由f′(x)是一次函數(shù)可知f(x)是二次函數(shù)，把f(x)和f′(x)代入方程，得x2若想對任意x方程都成立，則需{b－2c＝0 lc＝1[a＝2解得{b＝2，lc＝1所以f(x)＝2x2＋2x＋1.一、選擇題(x－1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)等于()[答案]D2．若對任意x?R，f′(x)＝4x3，f(1)1，則f(x)＝()[答案]B＋c，又f(1)＝－1＝－＝－[答案]A故選A.4．二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點，且它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，則函數(shù)y＝f(x)的圖象的頂點在()A．第一象限B．第二象限[答案]C[解析]由題意可設(shè)f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的圖象是過第一、二、EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(b2),4a)3[答案]A6．(2010·江西文，4)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋A1B2[答案]B[解析]本題考查函數(shù)知識，求導(dǎo)運算及整體代換的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)=-4a－2b(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)f′(1)2要善于觀察，故選B.7．設(shè)函數(shù)f(x)＝(1－2x3)10，則f′(1)＝()[答案]D(π)(π)[答案]AEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(π),4)9．(2010·高二濰坊檢測)已知曲線yEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(x2),4)3lnx的一條切線的斜率為EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)，則切點的橫坐標(biāo)12[答案]A[解析]由f′(x)＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),2)－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),x)＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)得x＝3.10．設(shè)函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為()11[答案]B[解析]由題設(shè)可知f(x＋5)＝f(x)即f′(－x)f′(x)，∴f′(0)＝0故f′(5)＝f′(0)＝0.故應(yīng)選B.二、填空題(π)[答案]2sin(x＋4,，1＋sin2x(π)12．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(3x+φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，則φ=.[答案][解析]f′(x)＝－3sin(3x+φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x+φ)－3sin(3x+φ)若f(x)＋f′(x)為奇函數(shù)，則f(0)＋f′(0)＝0，[答案[答案]2222==2三、解答題=sin2x12)′++22=2－x)]′17．設(shè)f如果18．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(其中f(x)是可導(dǎo)函數(shù))＝f′解法2：y′＝f′＝f′·′=-f′.一、選擇題＋cx＋d(a>0)，則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是()[答案]D[答案]D[解析]考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用.令f′(x)>0，解得x>2，故選D.3．已知函數(shù)y＝f(x)(x?R)上任一點(x0，f(x0))處的切線斜率數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．[－1∞)B．(－∞，2][答案]B[解析]令k≤0得x0≤2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,2].4．已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖(1)所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是()[答案]C[答案]AA．若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則對任何x?(a，b)，都有f′(x)>0B．若在(a，b)內(nèi)對任何x都有f′(x)>0，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù)C．若f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，則f(x)必為單調(diào)函數(shù)[答案]B[解析]若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則f′(x)≥0，故A錯；f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)與f′(x)是否存在無必然聯(lián)系，故C錯；f(x)＝2在(a，b)上的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝0存在，但f(x)無單調(diào)性，故D錯.[答案]B[解析]f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性8．f(x)是定義在(0，+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對任意正數(shù)a、[答案]C∴f′(x)≤-,即f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，9．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)[答案]C[解析]由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,1]上單調(diào)遞減或f(x)故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故應(yīng)選C.[答案]A[解析]由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增→減→增→減，其中恰露出一個角時變化不連續(xù)，故選A.二、填空題1＜－12．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)恒成立，實數(shù)a的取值范圍[答案]a≥1[解析]由已知在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)恒成立.在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)恒成立，－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為.[答案](-∞,-1)[解析]函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的定義域為(2，+∞)∪(-∞,-1)，1－x－2)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1).＋4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是.[答案][3，+∞)三、解答題(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．由于f(x)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(111)，所以f(1)11，f′(1)=-＝－即{，＝－＝－＝－=3(x＋1)(x－3).令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.所以當(dāng)x?(-∞,-1)時，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x?(3，+∞)時，f(x)也是增函數(shù)；當(dāng)x?(－1,3)時，f(x)是減函數(shù).11[證明]設(shè)f(x)＝x－2sinx，x?(-∞,+∞)，1∴f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).1∴方程x－2sinx＝0有唯一的根x＝0.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(b),x)[解析]∵函數(shù)y＝ax與y＝－在(0，+∞)上都是減函數(shù)，∴a＜0，b＜0.:x＜－3a，或x＞0.:在(-∞,-EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(2b),3a)，(0，+∞)上時，函數(shù)為減函數(shù).1(2)若當(dāng)x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.故f(x)在(-∞,-1]，[0，+∞)上單調(diào)遞增，在[－1,0]上單調(diào)遞減.一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，下列命題中，正確的是()A．導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點B．如果在點x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極小值C．如果在點x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值D．如果在點x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極大值[答案]C[解析]導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，不是f(x)的極值點，故A錯；由極值的定義可知C正確，故應(yīng)選C.[答案]D＝－2＝1＝－＝－3．設(shè)x0為f(x)的極值點，則下列說法正確的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不為0[答案]C[解析]如：y＝|x|，在x＝0時取得極小值，但f′(0)不存在.4．對于可導(dǎo)函數(shù)，有一點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號是這一點為極值的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]只有這一點導(dǎo)數(shù)值為0，且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號才是充要條件.③f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,0)，(2，+∞)，遞減區(qū)間為(0,2)；＝－其中正確的命題有()[答案]B16．函數(shù)f(x)＝x＋x的極值情況是([答案]D1[解析]f′(x)＝1－x2，令f′(x)＝0，得x=±1，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，＝－7．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點()C．3個[答案]A[解析]由f′(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，先增，再減，再增，最后再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極小值點.A．有極小值C．既有極大值又有極小值[答案]D∴函數(shù)無極值，故應(yīng)選D.9．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則函數(shù)f(x)的極值是()444C．極大值為0，極小值為-4[答案]A＝－=(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝3或x＝1，極大值f(3,＝27，極小值1xx[答案]B二、填空題[解析]＝－＝－13．已知函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋27在x1處有極大值，在x＝3處有 [答案]－3－9[解析]令f′(x)＝3x2－3＝0得x=±1，可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1＝－y＝f(x)的大致圖象如圖觀察圖象得－2<a<2時恰有三個不同的公共點.三、解答題(1)寫出函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間；(2)討論函數(shù)f(x)的極大值或極小值，如有試寫出極值.＝－x變化時，f′(x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示：xf′(x)f(x)+增(+增-10極大值f(－1)-減-減30極小值f(3)+增(3+增(1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(－1,3)；(2)由表可得，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值為f(－1)＝16；當(dāng)x＝3時，函數(shù)有極小值為＝－的值，并求出相應(yīng)的極值.＝－＝－此時函數(shù)的表達(dá)式為f(x)＝2x3－2x.令f′(x)＝0，得x=±1.xf′(x)f(x)(－∞1)＋0－10(1∞)＋＝－(1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；f′(1)＝f′(－1)＝0，即＝－若x?(-∞,-1)∪(1，+∞)，則f′(x)＞0，故f(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，+∞)上是增函數(shù).若x?(－1,1)，則f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是減函數(shù).∴f(－1)＝2是極大值；f(1)2是極小值.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)注意到點A(0,16)在切線上，有EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)化簡得xEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)8，解得x02.∴切點為M(－22)，，＋[解析]本題考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(a),3)＝－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(a),3)+∞)內(nèi)無極值點”等價于“f′(x)=ax2＋2bx＋c≥0在(-∞,+∞)內(nèi)恒成立”又∵Δ=(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)得得a?[1,9]，一、選擇題1．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，則f′(x)()[答案]A2在[－1,1]上的最小值為()[答案]A∴f(x)在[－1,1]上最小值為0.故應(yīng)選A.－x＋1在區(qū)間[－2,1]上的最小值為()C1D4[答案]C1＝－＝－＝－＝－所以函數(shù)的最小值為－1，故應(yīng)選C.4．函數(shù)f(x)＝x2－x＋1在區(qū)間[－3,0]上的最值為()344[答案]A[答案]A1A．有最大值，無最小值B．有最大值，也有最小值C．無最大值，有最小值D．既無最大值，也無最小值[答案]D令f′(x)＝0，得x＝1.又x?(－1,1)故函數(shù)f(x)在(－1,1)上既無極值也無最值．故選D.－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分別是()[答案]A＝－＝－＝－＝－A.3-21-212[答案]C＝－＝－＝－A．k≤-3或－1≤k≤1或k≥3D．不存在這樣的實數(shù)[答案]B′>0得函數(shù)的增區(qū)間是(-∞,-2)和(2，+∞)，由10．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間[1，+∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[3，+∞)B．[－3，+∞)C．(－3，+∞)D．(-∞,-3)[答案]B上恒成立即a≥-3x2在[1，+∞)上恒成立又∵在[1，+∞)上(－3x2)max＝－3∴a≥-3，故應(yīng)選B.二、填空題[答案]22212．函數(shù)f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在區(qū)間[－2，+∞)上的最大值，最小值為[答案]不存在284＝－令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝2；當(dāng)x>2時，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)－2≤x≤2函數(shù)，所以無最大值，又因為f(－2)＝57，f＝－28，所以最小值為－28.[解析]令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(a),a)＝f，解得a=[答案]32[解析]f′(x)＝3x2－12∴f(x)在[－32]上單調(diào)遞增，在[－2,2]上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增.＝－＝－＝－三、解答題1∴函數(shù)f(x)在上的兩個極值分別為又f(x)在區(qū)間端點的取值為ff(.比較以上函數(shù)值可得f(x)maxf(x)min.(2)∵函數(shù)f(x)有意義，∴函數(shù)f(x)的定義域為[－1,1].2令f′(x)＝0，得x＝2.(2)2(2)f(2,＝2＋1－(2,2＝2.又f(x)在區(qū)間端點的函數(shù)值為f(1)＝1，f(－1)1，比較以上函數(shù)值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－1.16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．[解析]f(x)的定義域為11所以f(x)在上的最小值為又f(f＝lnlnln1－ln<0，所以f(x)在區(qū)間上的最大值為(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；[分析]本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力．解題思路是：(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值．(2)將不等式轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明．[解析](1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x?R知f′(x)＝ex－2，x?R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：xx(ln2，+∞)f′(x)-0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，+∞)，于是當(dāng)a>ln2－1時，對任意x?(0，+∞)，都有g(shù)(x)>g(0).而g(0)＝0，從而對任意x?(0，+∞)，g(x)>0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；－2a，x?[0,1]．若對于任意x1?[0,1]，總存在x0?[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范圍．[解析](1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得令f′(x)＝0解得x＝2或x＝2.xx011211f′(x)－0＋f(x)1所以，當(dāng)x?(0，2)時，f(x)是減函數(shù)；當(dāng)x?[0,1]時，f(x)的值域為[－43].－a2).因此當(dāng)x?(0,1)時，g(x)為減函數(shù)，從而當(dāng)x?[0,1]時有g(shù)(x)?[g(1)，g(0)].又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)2a，即x?[0,1]時有g(shù)(x)?[1－2a－3a22a].任給x1?[0,1]，f(x1)?[－43]，存在x0?[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，則[1－2a－3a22a][－43].即{l－2a≥-3.②解①式得a≥1或a≤-3；解②式得a≤2.3一、選擇題1．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為([答案]C42．若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為()[答案]C表表表因此當(dāng)?shù)走呴L為4V時，其表面積最小.生產(chǎn)的產(chǎn)品是()[答案]D所以總利潤為P＝R－C則該長方體的最大體積為()33[答案]B[解析]設(shè)長方體的寬為x(m)，則長為，高為h4.5－3x故長方體的體積為故在x＝1處V(x)取得極大值，并且這5．若球的半徑為R，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積的最大值為()2122[答案]A[解析]設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為x，2－EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(h2),4)＝2－EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(h4),4)6．(2010·山東文，8)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的1函數(shù)關(guān)系式為y＝－3x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大的年利潤的年產(chǎn)量為()[答案]C[解析]本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及求導(dǎo)運算.x?(9，+∞)時，y′<0，y先增后減.∴x＝9時函數(shù)取最大值，選C，屬導(dǎo)數(shù)法求最值問題.7．內(nèi)接于半徑為R的半圓的矩形中，周長最大的矩形的邊長為()[答案]B[解析]設(shè)矩形一邊的長為x，＝－8．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為()[答案]D11＝－9．在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形，使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時，其梯形的上底為()r3A.B.r33[答案]D[解析]如下圖所示，為圓及其內(nèi)接梯形，設(shè)∠COB=θ,則CD＝2rcosθ,h＝rsinθ,θ]112數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價為50元，總利潤最大時，產(chǎn)量應(yīng)定為()[答案]A[解析]設(shè)產(chǎn)品單價為a元，又產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2x＝k，由題x2＝－x?(25，+∞)時，y′<0，所以x＝25時，y取最大值.二、填空題其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)墻壁所用的材料最省時堆料場的長和寬分別為．[答案]4813．內(nèi)接于半徑為R的球，且體積最大的圓柱的高為．21ππ22214．如圖(1)，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器(圖(2))．當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為時，其容積最大.2[答案]3三、解答題燃料費是每小時6元，而其它與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問輪船的速度是多少時，[解析]設(shè)速度為每小時v千米的燃料費是每小時p元，那么由題設(shè)的比例關(guān)系得p=1即當(dāng)速度為20千米/小時時，航行1千米所需費用總和最小.程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋x)x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其它因素．記余下工程的費用為y萬元.[分析]考查函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的運算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力和解決實際應(yīng)用問題的能力.＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(m),x)－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(m),x)33所以f(x)在x＝64處取得最小值，此時n1＝9，故需新建9個橋墩才能使y最小.墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式.(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值.[解析](1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為＝20C＝20×＝－f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費用達(dá)到最小值70萬元.圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與對城B的影響度之和．記C點到城A的距離為xkm，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y.統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在弧的中點時，對城A和城(2)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最??？若存在，求出該點對城A的距離；若不存在，說明理由.且建在C處的垃圾處理廠對城A的影響度為，對城B的影響度為因此，總影響度y為y=又因為垃圾處理廠建在弧AB的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065，＝－0極小值＋－xy1y最小值一、選擇題i＝1＋1)?(y5＋1)[答案]C[解析]Σ5i＝1間[a，b]上等間隔地插入n－1個分點，分別過這些分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，下列說法中正確的個數(shù)是()①n個小曲邊梯形的面積和等于S；②n個小曲邊梯形的面積和小于S；③n個小曲邊梯形的面積和大于S；④n個小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定[答案]A[解析]n個小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的，因此其面積和為S.∴①正確，②③④錯誤，故應(yīng)選A.3．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值等于()A．只能是左端點的函數(shù)值f(xi)B．只能是右端點的函數(shù)值f(xi＋1)C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值f(ξi)(ξi?[xi，xi＋1])D．以上答案均不正確[答案]C[解析]由求曲邊梯形面積的“近似代替”知，C正確，故應(yīng)選C.梯形的面積時，將區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，則第i－1個區(qū)間為()[答案]D[解析]在[0，t]上等間隔插入(n－1)個分點，把區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，每個小梯形面積的近似值(取每個區(qū)間的右端點)是()A.B.[答案]D[解析]6．在等分區(qū)間的情況下及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是()[答案]B2[解析]將區(qū)間[0,2]進(jìn)行n等分每個區(qū)間長度為n，故應(yīng)選B.二、填空題＋1圍成的曲邊梯形，將區(qū)間[0,2]5等分，按照區(qū)間左端點和右端點估計梯形面積分別為、.8．已知某物體運動的速度為v＝t，t?[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運動的路程近似值為．[答案]55三、解答題[分析]按分割，近似代替，求和，取極限四個步驟進(jìn)行．[解析]將區(qū)間[0,2]分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為第i個小區(qū)間的面積ΔSi＝fi＝12＋12＋22+?+(n－1)2]8[點評]注意求平方和時，用到數(shù)列中的一個求和公式.12＋22＋?＋n2＝10．汽車以速度v做勻速直線運動時，經(jīng)過時間t所行駛的路程s＝vt.如果汽車做變速[解析]將區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，第i個小區(qū)間為11．求物體自由落體的下落距離：已知自由落體的運動速度v＝gt，求在時間區(qū)間[0，t]內(nèi)物體下落的距離．[解析](1)分割：將時間區(qū)間[0，t]分成n等份.把時間[0，t]分成n個小區(qū)間每個小區(qū)間所表示的時間段在各小區(qū)間物體下落的距離記作Δsi(i=(2)近似代替：在每個小區(qū)間上以勻速運動的路程近似代替變速運動的路程.在上任取一時刻，可取使v近似代替第i個t小區(qū)間上的速度，因此在每個小區(qū)間上自由落體Δt＝n內(nèi)所經(jīng)過的距離可近似表示為t=Σg(nt,ni＝1=Σg(nt,ni＝1=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(gt2),n2)[0＋1＋2+?+(n－1)]1[解析](1)分割在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區(qū)間：分別過上述n－1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如下圖)，它(2)近似代替記當(dāng)n很大，即Δx很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為f(x)＝的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它等于從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間上，用11EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up1(l),n)一、選擇題31A6B．6[答案]A1＝－1aA．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關(guān)C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無關(guān)D．與f(x)、區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān)[答案]A[解析]由定積分定義及求曲邊梯形面積的四個步驟知A正確.aaaa[答案]A[解析]由J(bf(x)dx的定義及求法知僅③正確，其余不正確．故應(yīng)選A.a1[答案]D