江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期1月學(xué)情調(diào)研《數(shù)學(xué)》試題（解析版）

第第頁(yè)2024學(xué)年第一學(xué)期高三1月份學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運(yùn)算結(jié)果一定為U的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算，借助Venn圖即可求解.【詳解】由得當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A不正確；，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B不正確；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：D.2.已知向量，，若與反向共線，則的值為（）A.0 B.48 C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量反向共線求得，再應(yīng)用向量線性運(yùn)算及模長(zhǎng)的表示求.【詳解】由題意，得，又與反向共線，故，此時(shí)，故.故選：C.3.攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為米，側(cè)棱長(zhǎng)為5米，則其體積為（）立方米.A. B.24 C. D.72【答案】B【解析】【分析】作圖，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)求解高即可得體積.【詳解】如圖所示，在正四棱錐中，連接于，則為正方形的中心，連接，則底面邊長(zhǎng)，對(duì)角線，.又，故高.故該正四棱錐體積為.故選：B4.若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）A. B.3 C.或3 D.1或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和單調(diào)性可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且，由，得或，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，足，不符合題意.綜上.故選：A.5.若n為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，8，9，10的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)第六十百分位數(shù)，結(jié)合二項(xiàng)式通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閚為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，8，9，10的第六十百分位數(shù)，，所以，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：A6.某地區(qū)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名黨員志愿者同志到三個(gè)基層社區(qū)開展防詐騙宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，至多安排三人，且A，B兩人安排在同一個(gè)社區(qū)，C，D兩人不安排在同一個(gè)社區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（）A.72 B.84 C.90 D.96【答案】B【解析】【分析】分為每個(gè)社區(qū)各兩人和一個(gè)社區(qū)1人，一個(gè)社區(qū)2人，一個(gè)社區(qū)3人兩種分配方式，第二種分配方式再分AB兩人一組去一個(gè)社區(qū)，AB加上另一人三人去一個(gè)社區(qū)，進(jìn)行求解，最后相加即為結(jié)果.【詳解】第一種分配方式為每個(gè)社區(qū)各兩人，則CE一組，DF一組，或CF一組，DE一組，由2種分組方式，再三組人，三個(gè)社區(qū)進(jìn)行排列，則分配方式共有種；第二種分配方式為一個(gè)社區(qū)1人，一個(gè)社區(qū)2人，一個(gè)社區(qū)3人，當(dāng)AB兩人一組去一個(gè)社區(qū)，則剩下的4人，1人為一組，3人為一組，則必有C或D為一組，有種分配方法，再三個(gè)社區(qū)，三組人，進(jìn)行排列，有種分配方法；當(dāng)AB加上另一人三人去一個(gè)社區(qū)，若選擇的是C或D，則有種選擇，再將剩余3人分為兩組，有種分配方法，將將三個(gè)社區(qū)，三組人，進(jìn)行排列，有種分配方法；若選擇的不是C或D，即從E或F中選擇1人和AB一起，有種分配方法，再將CD和剩余的1人共3人分為兩組，有2種分配方法，將三個(gè)社區(qū)，三組人，進(jìn)行排列，有種分配方法，綜上共有12+12+36+24=84種不同的分配方式故選：B7.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M，N為雙曲線一條漸近線上的兩點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，若四邊形為矩形，且，則雙曲線的離心率為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由四邊形為矩形，可設(shè)以MN為直徑的圓的方程為，設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立求出，進(jìn)而求出，再在中利用余弦定理即可求解.【詳解】如圖，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕ň匦蔚膶?duì)角線相等），所以以MN為直徑的圓的方程為.直線MN為雙曲線的一條漸近線，不妨設(shè)其方程為，由解得，或所以，或，.不妨設(shè)，，又，所以，.在△AMN中，，由余弦定理得，即，則，所以，則，所以.故選C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)都是銳角，若的始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與圓交于點(diǎn)，且，則當(dāng)最大時(shí)，的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意的始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，得出，最后計(jì)算即可.【詳解】，，.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓B.方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓C.方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支D.方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是拋物線【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，及橢圓、雙曲線的定義逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為定值2，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓，故A正確；由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和為，又，不滿足橢圓的定義，故B不正確；由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差為1，又，滿足雙曲線的定義，故C正確；對(duì)于D，可化為，表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，軌跡是直線，故D不正確，故選：AC.10.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，其中滿足關(guān)系式：，則（）A.B.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為C.若數(shù)據(jù)，則D.若，數(shù)據(jù)不全相等，則樣本點(diǎn)的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為【答案】AD【解析】【分析】利用平均數(shù)的定義相關(guān)公式以及方差的定義相關(guān)公式即可判斷選項(xiàng)ABC，結(jié)合樣本相關(guān)系數(shù)的概念即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，其平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)?，故，而?dāng)時(shí)，，滿足條件，但此時(shí)可以不都相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由樣本相關(guān)系數(shù)的概念可知，D正確.故選：AD11.袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用超幾何分布的性質(zhì)，及超幾何分布的期望求解公式逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】由題意知X，Y均服從于超幾何分布，且，，故；從而，故選項(xiàng)A正確；，，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.12.已知菱形邊長(zhǎng)為2，．將沿著對(duì)角線折起至，連結(jié)．設(shè)二面角的大小為，則下列說法正確的是（）A.若四面體為正四面體，則B.四面體體積最大值為1C.四面體的表面積最大值為D.當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的半徑為【答案】BCD【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，證得為二面角的平面角，即．然后根據(jù)的大小判斷ABC，D中需要找到外接球球心，求出半徑判斷．【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，則，，為二面角的平面角，即．若是正四面體，則，不是正三角形，，A錯(cuò)；四面體的體積最大時(shí)，平面，此時(shí)到平面的距離最大為，而，所以，B正確；，易得，，未折疊時(shí)，折疊到重合時(shí)，，中間存在一個(gè)位置，使得，則，，此時(shí)取得最大值2，所以四面體的表面積最大值為，C正確；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)分別是和的外心，在平面內(nèi)作，作，，則是三棱錐外接球的球心，由上面證明過程知平面與平面、平面垂直，即四點(diǎn)共面，，則，，，為球半徑，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查已知二面角，四面體的體積，表面積，外接球等等．解題關(guān)鍵是確定二面角的平面角，利用二面角判斷．對(duì)外接球關(guān)鍵是找到球心，而三棱錐的球心一定在過各面外心且與此面垂直的直線上．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知復(fù)數(shù)滿足方程：，則______．【答案】3【解析】【分析】由題知和是的一對(duì)共軛虛根，由韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】依題意可知和是一元二次方程一對(duì)共軛虛根，由韋達(dá)定理和復(fù)數(shù)的性質(zhì)得，所以.故答案為：3.14.向量在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則＝____.【答案】【解析】【分析】設(shè)出互相垂直的兩個(gè)單位向量，表示出，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】設(shè)網(wǎng)格中方向向右，向上的單位向量分別為，且，，則，則，則.故答案為：15.已知定義在上的奇函數(shù)滿足．當(dāng)時(shí)，，則直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)為周期函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】,的圖象關(guān)于對(duì)稱，又奇函數(shù)滿足，，，，即函數(shù)為的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與的圖象，如圖，由圖可知，直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7個(gè)，故答案為：716.設(shè)點(diǎn)是橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與圓相切，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合將轉(zhuǎn)化為，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)到圓心E的距離，采用函數(shù)方法即可求解.【詳解】由題可知，＝1，設(shè)，，，則，∴當(dāng)時(shí)，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．17.如圖，在平面四邊形中，，，.（1）若的面積為，求的長(zhǎng)；（2）若，.求的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的面積公式可求，然后在中，利用余弦定理求解；（2）設(shè)，易知，再由，，然后在中，利用正弦定理求解.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，，的面積為，所以，解得，在中，由余弦定理的，所以.（2）設(shè)，則，在中，因?yàn)?，所以，在中，，由正弦定理，可得，即，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，解得，即的值為.18.已知數(shù)列滿足：，，.（1）記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2）353【解析】【分析】（1）令n取代入已知條件可以得到，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）先分奇偶求出數(shù)列的表達(dá)式，分別求奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，相加得到【小問1詳解】因?yàn)?，令n取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以【小問2詳解】令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以19.已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，.（1）若點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，證明：平面；（2）若點(diǎn)為棱上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），試探究上是否存在一點(diǎn)N，使得平面ADN平面BDN？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，.【解析】【分析】（1）利用空間向量證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面平面解出即可.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，,因?yàn)辄c(diǎn)是棱上靠近的三等分點(diǎn)，即，則，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，滿足令，則，則．，∴，又平面，所以平面．【小問2詳解】存在．設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，滿足令，則，故?。?，設(shè)平面的法向量為，滿足令，則，故取，若平面平面，則，即解得，此時(shí)為的中點(diǎn)，則．20.為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且上場(chǎng)順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）（1）求甲隊(duì)明星隊(duì)員在前四局比賽中不出場(chǎng)的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；（2）求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；（3）若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場(chǎng)的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；（2）討論上場(chǎng)或不上場(chǎng)兩種情況，應(yīng)用全概率公式求甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；（3）利用貝葉斯公式求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場(chǎng)的概率.【小問1詳解】事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，其中相互獨(dú)立.又甲隊(duì)明星隊(duì)員前四局不出場(chǎng)，故，，所以.【小問2詳解】設(shè)為甲3局獲得最終勝利，為前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員上場(chǎng)比賽，由全概率公式知，，因?yàn)槊棵?duì)員上場(chǎng)順序隨機(jī)，故，，所以.【小問3詳解】由（2），.21.在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)連線斜率分別為,且滿足,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）已知點(diǎn)為曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),且,若交軸于點(diǎn)交軸于點(diǎn),試問:四邊形的面積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）是定值,定值為【解析】【分析】(1)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意將關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的方程列出,化簡(jiǎn)即可,注意坐標(biāo)需要滿足的條件;(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),有得出,的直線方程,得到,點(diǎn)的坐標(biāo),由于四邊形對(duì)角線垂直,其面積為對(duì)角線乘積的一半,計(jì)算出結(jié)果,判斷是否為定值