經(jīng)濟(jì)學(xué)離散控制系統(tǒng)

17.1

離散控制系統(tǒng)的基本概念模擬信號(hào)：時(shí)間和幅值上都連續(xù)的信號(hào)離散的模擬信號(hào)：時(shí)間離散、幅值連續(xù)的信號(hào)數(shù)字信號(hào)：時(shí)間離散、數(shù)字上整量化信號(hào)采樣：將模擬信號(hào)按一定的時(shí)間采樣成離散的模擬信號(hào)量化：采用一組數(shù)碼來逼近離散模擬信號(hào)的幅值7.1.1

有關(guān)概念2保持器脈沖控制器T測(cè)量元件被控對(duì)象采樣控制系統(tǒng)D/A測(cè)量元件被控對(duì)象A/D計(jì)算機(jī)數(shù)字控制系統(tǒng)7.1.2

離散控制系統(tǒng)主要類型3采樣系統(tǒng)47.2

離散信號(hào)的形成與復(fù)現(xiàn)

將模擬信號(hào)按一定時(shí)間間隔循環(huán)取值，得到按時(shí)間順序排列的一串離散信號(hào)的過程，稱為采樣過程，簡(jiǎn)稱采樣，采樣是由采樣器完成的。最簡(jiǎn)單且最普遍使用的是等間隔(周期)采樣，如圖7-3所示。t為采樣持續(xù)時(shí)間，T為采樣周期，

t<<T。e(t)te*(t)tτ0T2T···采樣器e(t)e*(t)采樣7.2.1

采樣過程與離散信號(hào)57.2.2

采樣過程的數(shù)學(xué)描述周期為T的理想單位脈沖dT(t)(7-1)圖7-4理想單位脈沖序列·········-2T-T0T2T···1dT(t)采樣信號(hào)x*(t)的數(shù)學(xué)描述

采樣與采樣序列e(t)e*(t)調(diào)制器dT(t)e(t)te*(t)t0T2T···(7-2)6連續(xù)信號(hào)

離散信號(hào)

F連續(xù)信號(hào)e(t)與離散信號(hào)e*(t)的頻譜分析

F頻譜—

信號(hào)按頻率分解后的表達(dá)式7dT(t)是周期函數(shù)，可展開為傅氏級(jí)數(shù)證明：8香農(nóng)(Shannon)采樣定理

—

信號(hào)完全復(fù)現(xiàn)的必要條件理想濾波器采樣開關(guān)7.2.3

信號(hào)的復(fù)現(xiàn)9圖7-6保持器的信號(hào)恢復(fù)保持器x(t)x*(t)xh(t)xh(t)xh(t)t零階一階nT≤t≤(n+1)T時(shí)：工程上大量使用零階保持器(ZOH)10零階保持器的傳遞函數(shù)與頻率特性圖7-7零階保持器的頻率特性T0-p-2p-3pwws2ws-0.5wT117.3Z變換7.3.1Z變換定義f*(t)的Z變換定義為：(7-5)記作：F(Z)=Z[f*(t)]orF(Z)=Z[f(t)]Z=eTS

設(shè)f*(t)為連續(xù)函數(shù)f(t)的采樣序列，f(t)拉氏變換F(s)存在，則f*(t)的拉氏變換為：12

F(Z)是用Z的語言描述時(shí)間域中的離散函數(shù)f*(t),F(Z)的反變換是f*(t)；

F(Z)中Z-n是脈沖發(fā)生時(shí)刻，其系數(shù)f(nT)是f(t)的采樣值，時(shí)域中延時(shí)一個(gè)采樣周期，在Z域中相當(dāng)于Z-1；

Z=eTs，Z無量綱。且t0，相當(dāng)于s∞，Z∞；t∞，相當(dāng)于s0，Z1。137.3.2Z變換求法7.3.2.1

級(jí)數(shù)求和法例7-1：

x(t)=1(t)，求X(Z)。解： =1+Z-1+Z-2+···+Z-n+···Z-1X(Z)=Z-1+Z-2+···+Z-n+···\ (1-Z-1)X(Z)=114例7-2：

x(t)=e－at(t<0,x(t)=0)，求X(Z)。解：\ (1-e-aTZ-1)X(Z)=115例7-3：

x(k)=ak(k=0,1,2,···)，求X(Z)。解：aZ-1X(Z)=aZ-1+a2Z-2+···+anZ-n+···∴(1-aZ-1)X(Z)=1167.3.2.2

部分分式法若si互異，則X(s)可展開為部分分式之和：17例7-4:解：X(Z)=Z[X(s)]aX(s)=———，求X(Z)s(s+a)

1

1=Z[—-——]ss+aZZ=——-———Z-1Z-e-aTZ(1-e-aT)=——————(Z-1)(Z-e-aT)187.3.3Z變換性質(zhì)x(t)X(Z)線性定理ax1(t)+bx2(t)aX1(Z)+bX2(Z)實(shí)域位移定理滯后：x(t-KT)Z-KX(Z)超前：x(t+KT)K-1ZK[X(Z)-∑x(rT)Z-r]

r=0復(fù)域位移定理e-atx(t)X(ZeaT)表7-2Z變換性質(zhì)表19(續(xù)表7-2)x(t)X(Z)初值定理x(0)x(0)=limX(Z)

Z→∞終值定理x(∞)x(∞)=lim(Z-1)X(Z)

Z→1直接Z變換都比較復(fù)雜，因此在工程實(shí)際中通常應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的Z變換以及Z變換性質(zhì)，將常用函數(shù)的Z變換求出來組成表(表7-3)的形式，使用時(shí)查表即可。20表7-3常用拉氏變換與Z變換表f(t)F(s)F(Z)d(t-kT)e-kTsZ-k11—sZ——Z-1t1—s2TZ———(Z-1)2e-at1——s+aZ———Z-e-aTsinwtw——s2+wZsinwT——————Z2-2ZcoswT+121常用Z變換表(續(xù)表7-3)f(t)F(s)F(Z)coswts——s2+wZ(Z-coswT)———————Z2-2ZcoswT+1e-atsinwtw————(s+a)2+wZe-atsinwT—————————Z2-2Ze-atcoswT+e-2ate-atcoswts+a————(s+a)2+wZ(Z-e-atcoswT)—————————Z2-2Ze-atcoswT+e-2atakZ——Z-a227.3.4Z反變換7.3.4.1

長除法（冪級(jí)數(shù)展開法）長除法只能求出在各采樣時(shí)刻的函數(shù)值，要寫出其表達(dá)式很困難。=c0+c1Z-1+c2Z-2+···

b0+b1Z-1++bmZ-mX(Z)=————————(n≥m)

a0+a1Z-1++anZ-n237.3.4.2

部分分式展開法將X(Z)按部分分式展開，查Z變換表，得X(Z)的原函數(shù)。例7-7:求的原函數(shù)。查表7-3可得：

x*(k)=-2k-3(k=0,1,2,···)解:

-3Z2+ZX(Z)=————

Z2-2Z+124解法I:例7-8：，分別用兩種方法求

e*(t)。(長除法)

25解法II:(部分分式展開法)

例7-8：，分別用兩種方法求

e*(t)。267.4

線性離散系統(tǒng)模型【后向差分】 Dx(k)=x(k)-x(k-1) D2x(k)=D[Dx(k)]=Dx(k)-Dx(k-1) =x(k)-2x(k-1)+x(k-2) Dnx(k)=Dn-1x(k)-Dn-1x(k-1)【前向差分】 Dx(k)=x(k+1)-x(k) D2x(k)=D[Dx(k)]=Dx(k+1)-Dx(k) =x(k+2)-2x(k+1)+x(k) Dnx(k)=Dn-1x(k+1)-Dn-1x(k)7.4.1

差分與差分方程27差分方程：由各階差分所組成的方程。它反映了離散系統(tǒng)在各采樣時(shí)刻輸入、輸出序列之間運(yùn)算關(guān)系，它相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng)的微分方程，是離散系統(tǒng)的最基本模型。線性定常離散系統(tǒng)后向差分方程：

c(k)+a1c(k-1)+···+anc(k-n) =r(k)+b1r(k-1)+···+bmr(k-m)線性定常離散系統(tǒng)前向差分方程：

anc(k+n)+an-1c(k+n-1)+···+a0c(k) =bmr(k+m)+bm-1r(k+m-1)+···+b0r(k)怎么獲取、求解差分方程

287.4.2

差分方程的求解7.4.2.1

迭代法若已知差分方程、輸入序列以及輸出序列初值，就可以利用迭代法逐步計(jì)算輸出序列例7-10:已知差分方程x(k+2)+4x(k+1)+3x(k)=0的初始條件x(0)=0,x(1)=1,求x(k)。解：x(k+2)=-4x(k+1)-3x(k)∴ x(2)=-4x(1)-3x(0)=-4

x(3)=-4x(2)-3x(1)=13 x(4)=-4x(3)-3x(2)=-40 ······29例7-11:已知差分方程x(k+2)+4x(k+1)+3x(k)=0的初始條件x(0)=0,x(1)=1,求x(k)。解：對(duì)方程進(jìn)行Z變換，得：

Z2X(Z)-Z2X(0)-ZX(1)+4ZX(Z)-4ZX(0)+3X(Z)=0

∴Z2X(Z)-Z+4ZX(Z)+3X(Z)=0∴x(k)=0.5(-1)k-0.5(-3)k(k=0,1,2,···)7.4.2.2Z變換法307.4.3

脈沖傳遞函數(shù)7.4.3.1

定義

在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出脈沖序列的Z變換與輸入脈沖序列的Z變換之比，稱為線性定常系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。記作r(t)r*(t)G(s)c(t)c*(t)G(Z)C(Z)G(Z)=—— (7-13)R(Z)圖7-8線性離散定常系統(tǒng)31r(t)r*(t)G(s)c(t)c*(t)G(Z)

C(Z)G(Z)=—— R(Z)32例：求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)r(t)r*(t)T1/sc(t)例：求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（T=0.5)r(t)r*(t)T1/（2s+1）c(t)337.4.3.2

多環(huán)節(jié)串聯(lián)后脈沖傳遞函數(shù)1)中間無采樣開關(guān)的情況x1(t)x1*(t)G1(s)x2(t)x2*(t)G(Z)G2(s)中間無采樣開關(guān)X2(Z)G(Z)=———=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(Z)X1(Z)342)中間有采樣開關(guān)的情況G1(s)G(Z)G2(s)x1(t)x1*(t)x3(t)x3*(t)x2*(t)x2(t)中間有采樣開關(guān)G(Z)=G1(Z)G2(Z)G1(Z)=Z[G1(s)]，G2(Z)=Z[G2(s)]35解：有采樣開關(guān)隔開時(shí)：例：兩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)分別為：。求兩種串接形式的脈沖傳遞函數(shù)。T=0.5

無采樣開關(guān)隔開時(shí):367.4.3.3

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)r(t)e*(t)G(s)c(t)c*(t)H(s)b(t)b*(t)r*(t)

誤差采樣系統(tǒng)377.4.3.3

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)r(t)e*(t)G(s)c(t)c*(t)H(s)b(t)b*(t)r*(t)

誤差采樣系統(tǒng)38例：39例：4010/s(s+1)C(s)R(s)閉環(huán)離散系統(tǒng)+-E(s)E*(s)T=1例：求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。解：z變換為：417.5

離散系統(tǒng)性能分析7.5.1

穩(wěn)定性分析[Z]ImZReZ1圖7-13S平面與Z平面的映射關(guān)系jws[S]輔頻區(qū)主頻區(qū)輔頻區(qū)1.5ws0.5ws-0.5ws-1.5wsjw隨動(dòng)系統(tǒng)，wc≈wr≈wb，ws≈10wc，即系統(tǒng)的工作頻率在主頻區(qū)內(nèi)，故主頻區(qū)是重點(diǎn)。42離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征根Zi均分布于Z平面的單位園內(nèi)。43代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)圖7-14W變換wWsW-11wZsZ為了在離散系統(tǒng)中應(yīng)用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，引入W變換：使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定域【單位園內(nèi)】映射為W平面的左半平面(圖7-14)。可令：

1+W

Z-1Z=——

W=——

1-W Z+1

sZ+jwZ-1∴W=sW+jwW=————

sZ+jwZ+1

sZ2+wZ2-1 2wZ∴sW=—————,wW=————— (sZ+1)2+wZ2 (sZ+1)2+wZ2W+1 Z+1Z=——

W=——的結(jié)果一樣。

W-1 Z-144W平面上的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)：

得到閉環(huán)特征方程D(Z)=0；

作W變換，得D(W)=anWn+an-1Wn-1+…+a1W+a0=0穩(wěn)定的必要條件：ai>0(i=0,1,2,···,n)穩(wěn)定的充分條件：

【Routh判據(jù)】

Routh表第一列元素全大于零45例7-13.判斷閉環(huán)采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)特征方程為D(Z)=45Z3-117Z2+119Z-39=0。解：作W變換：有兩個(gè)根在單位園外，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。\

W3+2W2+2W+40=0W3 1 2W2 2 40W1 -18W0 4046例7-14

求圖7-15系統(tǒng)的穩(wěn)定域。解：1)先求開環(huán)傳函G(Z)G0h(s)c(t)r(t)TK————s(T1s+1)圖7-15472)閉環(huán)特征方程為1+G(Z)=0，即：3)求閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定范圍方法一：求根的辦法(一階與二階系統(tǒng)適用)由|Z1|和|Z2|同時(shí)小于1得到系統(tǒng)的穩(wěn)定域。Z2+bZ+c=048方法二：代數(shù)判據(jù)(任何系統(tǒng)都適用)，令二階系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件為a2>0,a1>0,a0>0，有：1+WZ=———

a2W2+a1W+a0=01-W497.5.2

穩(wěn)態(tài)誤差誤差采樣系統(tǒng)r(t)G(s)c(t)H(s)b(t)e*(t)e(t)

線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)以及系統(tǒng)輸入信號(hào)有關(guān)。但由于閉環(huán)系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)，誤差傳遞函數(shù)也沒有一般的計(jì)算公式，必須針對(duì)實(shí)際的系統(tǒng)要求來計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。50系統(tǒng)型別：開環(huán)脈沖傳函中Z=1的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。靜態(tài)位置誤差系數(shù)KP=GH(1)

單位位置輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差eSSP*：(7-15)51靜態(tài)速度誤差系數(shù)

單位速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差eSSV*：(7-16)52靜態(tài)速度誤差系數(shù)

單位恒加速輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差eSSa*：(7-17)53

誤差系數(shù)類型靜態(tài)位置誤差系數(shù)KP靜態(tài)速度誤差系數(shù)KV靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka0型

K00Ⅰ型∞

K0Ⅱ型∞∞

K

穩(wěn)態(tài)誤差類型r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=0.5t20型1/(1+K)∞∞Ⅰ型0

T/K∞Ⅱ型00T2/K表7-4輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)表7-5輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差547.5.3

動(dòng)態(tài)性能分析閉環(huán)單位階躍響應(yīng)為：(7-20)(7-21)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)55圖7-17-a閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式56圖7-17-b閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式57587.6離散系統(tǒng)的頻域分析設(shè)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為G(Z)，s=jw代入，則得離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：

G*(jw)=G*(s)|s=jw=G(Z)|s=ejwT=G(ejwT) (7-28)物理意義：系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出序列包絡(luò)線是同頻率的正弦信號(hào)，包絡(luò)線幅值與輸入函數(shù)幅值之比為A(w)=|G*(jw)|【幅頻】，包絡(luò)線與輸入函數(shù)相差j(w)=∠G*(jw)【相頻】。求出頻率特性后，就可以繪制其頻率特性圖(例如Bode圖與奈氏圖)，下面介紹Bode圖的繪制。7.6.1離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)59采樣系統(tǒng)Bode圖繪制是通過對(duì)開環(huán)脈沖函數(shù)G(Z)進(jìn)行W變換而進(jìn)行的，再令W=jv(v為虛擬頻率)，則開環(huán)頻率特性為G(jv)=G(W)|W=jv。v與w

的關(guān)系如下：

即v是w的周期函數(shù)【周期等于采樣周期ws】。根據(jù)G(jv)繪制采樣系統(tǒng)Bode圖的方法與根據(jù)G(jw)連續(xù)系統(tǒng)Bode圖的方法一樣，且進(jìn)一步的處理方法也相同(判穩(wěn)，穩(wěn)定裕量等)?！咀⒁猓航?jīng)W變換，W的虛軸僅相當(dāng)于s平面上w=-0.5ws～0.5ws的一段】(7-29)7.6.2離散系統(tǒng)bode圖60例7-16

繪制圖示系統(tǒng)的Bode圖，并判定穩(wěn)定性。解：ZOHc(t)r(t)2———s(s+1)T=1s根據(jù)G(W)可得系統(tǒng)的Bode圖如圖7-19所示。61100101102[-1][-1]40200-20-40-90-180-270Fig.7-19[-2][-0]62例7-18要求圖示系統(tǒng)的KV≥3,g≥40,Kg≥16dB，vc≥0.1rad/s(或wc≥3rad/s),試確定串聯(lián)校正裝置。G0