2024屆高三數(shù)學沖刺訓練卷（一）數(shù)學試題含答案

2024年廣州市普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（一）

數(shù)學

本試卷共4頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆

在答題卡的相應位置填涂考生號。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的

相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。

不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合/=卜上［<0卜集合8={如083口一1）<1},則/UB=

A.{x|0<x<3}B.{x|l<x<3}C.{x|0<x<4}D.{x|l<x<4}

2.若幕函數(shù)〃x）=,2一卜2吁3在（0,+8）上單調遞增，則實數(shù)機的值為

A.2B.1C.一1D.-2

3.下列說法正確的是

A.數(shù)據(jù)-1,1,2,4,5,6,8,9的下四分位數(shù)是7

B.已知隨機變量若￡（2X+1）=9,貝U"=4

C.若隨機變量X滿足。（幻=2,則〃（3-X）=l

D.若隨機事件滿足尸（48）=尸（/）尸伊），則玖7歷=口?2厲）

4.記為等差數(shù)列{%}的前〃項和，若S9<EO<S8,則使邑<0成立的最大正整數(shù)后的值為

A.17B.18C.19D.20

5.已知球O內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑分別為

小々且々=44=4,則圓臺的體積與球的體積之比為

6.一個盒子里裝有3個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機取出一個球,

記事件4表示“第4次取出的球是黑球“，左=1,2,3,則下列結論不正確的是

39

A-尸(44)=歷B.產(4+4)=歷

P⑷=1

c.P(^2|4)=|D.

3_r,則sinJ一

7.已知a,6為銳角，tan(a—0)=[,sinasin/3

22

3

A.3B.-C.2V5D姮

5555

8.已知定義在R上的函數(shù)/⑴的導函數(shù)為/(X),且〃x)+/(f)=O.對于任意的實數(shù)x,均有

成立，若〃-3)=-16,則不等式/(x)>2,川的解集為

In2

A.(-oo,-3)B.(一8,3)C.(-3,+oo)D.(3,+<?)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數(shù)句/2,下列結論正確的有

A.|412歸㈤+閡B.若句―2>0,則團>團

C.若匕1-Z21=k+z2|，則z「Z2=0D.若Z]=l+i,z2=1-i,則立為純虛數(shù)

z2

10.已知a<b<c(a,6,ceR),且a+26+3c=0,則下列結論成立的是

八ca

A.Q+C<0B.—I—<—2

ac

C.存在a,c使得25,2=0D.83<一：

a+c2

11.在棱長為1的正方體N3CO-421GA中，若點尸為四邊形2片2。內(包括邊界)的動點，N為平

面ABCD內的動點，則下列說法正確的是

A.若2而=西，則平面B4C截正方體所得截面的面積為1

2

JT

B.若直線與所成的角為：，則點N的軌跡為雙曲線

C.若忸聞+|尸C|=若，則點P的軌跡長度為兀

D.若正方體以直線3。為軸，旋轉"°(">0)后與其自身重合，則”的最小值是120

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若向量。在向量b上的投影向量為/,且|3。-司=口+同，貝！|cos<a,b>=.

13.如圖，畫一個正三角形444，不畫第三邊；接著畫正方形4444，對這個正方形，不畫第四邊;

接著畫正五邊形44444,對這個正五邊形，不畫第五邊；接著畫正六邊形，……，這樣無限畫

下去，形成一條無窮伸展的等邊折線.設線段44+1與線段2^

4+14+2所夾的角為。eN*0e(0,71))，則

滿足。＞174。的最小〃值為./\/\/

一

A

14.在△48C中，D是BC邊上一點,BD=3CD,若NBAD=2NDAC=2NABD,且△4C。的面積

為也，貝！|AD=.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知函數(shù)/(%)=2sinxcosx-2^/3sin2x+6.

(1)若％￡[0,5]時，冽＜/(x)恒成立，求實數(shù)冽的取值范圍；

_4_

(2)將函數(shù)/(x)的圖象的橫坐標縮小為原來的,，縱坐標不變，再將其向右平移巴個單位，得到函

26

數(shù)g(x)的圖象.若xe[0j],函數(shù)g(x)有且僅有4個零點，求實數(shù)f的取值范圍.

16.(15分)

已知四棱錐P-/BCD的底面N8C。是正方形，給出下列三個條件：①PC=PD；@AC1PD；

③8￡＞_L平面P/C.

(1)從①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立；

(2)在(1)的條件下，若尸/=1,當四棱錐尸-A8CD體積最大時，求二面角尸-CD-2的余弦值.

17.(15分)

已知2(1,0),平面上有動點尸，且直線/尸的斜率與直線AP的斜率之積為1.

(1)求動點P的軌跡。的方程.

(2)過點/的直線與O交于點M在第一象限)，過點B的直線與C交于點N(N在第三象限)，

記直線/M,8N的斜率分別為左，左2，且勺=4左2.試判斷△4W與的面積之比是否為定值，

若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.

18.(17分)

甲、乙、丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時,

若骰子點數(shù)大于3,則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3,則甲將球保留繼續(xù)投擲骰子；當球在乙手中時，

若骰子點數(shù)大于4,則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4,則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數(shù)

大于3,則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.

(1)求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；

(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為外，求數(shù)列｛4｝的通項公式；

、14

(3)設—------------,：Q]++----1-Q”------

(-2)"p,,-p“+i3

19.(17分)

若集合Sn=｛1,2,...,〃｝的非空子集X滿足:對任意給定的°,此屋若號€2,有等€萬，則稱子集

X是S"的“好子集”.記為S”的好子集的個數(shù).例如：｛1,2,3｝的7個非空子集中只有｛1,3｝不是好子

集，即/(3)=6.記|X|表示集合X的元素個數(shù).

(1)求"4)的值；

(2)若X是S0的好子集，且|X|N3.證明：X中元素可以排成一個等差數(shù)列；

(3)求/(2024)-27(2023)+/(2022)的值.

2024屆高三數(shù)學沖刺訓練卷(一)參考答案

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目

要求的.

1.C【詳解】因為/={x|x(x—3)<0}={x[0<x<3},

B={x|log3(x-l)<1}={x|0<x-1<3}={x|l<x<4},因此，A\jB={x|0<X<4}.故選：C.

2.A【詳解】因為幕函數(shù)〃x）=（加-加-I）/"-在（0,+句上是增函數(shù),

m2—m—1=1

所以《解得加=2.故選：A

2m—3>0

3、D【詳解】對于選項A,8個數(shù)據(jù)從小到大排列，所以下四分位數(shù)即第25百分位數(shù)，8x0.25=2,所

1+23

以應該是第二個與第三個的平均數(shù)——二一，故A不正確；

22

對于選項B,因為X?則E（2X+l）=2E（x）+l=2〃x；+l=9,則〃=8,故B不正確；

對于選項C,隨機變量X滿足。（幻=2,則。（3-X）=（-l）2〃（X）=2,故C不正確；

對于選項D,若尸（/8）=尸（N）尸伊），則A,8獨立，~A，豆獨立，.?./》》）=尸（工）尸（0，

故D正確.故選：D.

4.B【詳解】由S9<S1O<$8可得％0+。9<0，。9<0，”10>0，

S=（%+%8）?18=（。9+即））?18,0$=（4+%7）?17二2」?17

18-2-217-22，

與產2=網(wǎng)『>0,即則使用<0成立的最大正整數(shù)%的值為18.故選：B.

5.B【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓。是等腰梯形"BCD的內切圓，設圓。與梯形的腰相切于

點、E,與上、下底的分別切于點°L°?,

設球的半徑為廠，圓臺上下底面的半徑為八=1,4=4,注意到OD與0”均為角平分線，因此/DO/=90。,

從而△/Q°?△°°O故=2.設臺體體積為仁球體體積為匕，則於*?7

1A/.J\

匕_32年（優(yōu)+叫'MG）片+/i+i6+4_21A.A

K―4_3-~P---8_-T:J\

2/<-------—B

故選：B

6.C【詳解】依次一個一個地往外取球（不放回）的試驗，基本事件總數(shù)是它們等可能，

A2A33

對于A,44表示第1次、第2次取出的球都是黑球，尸（44）=+=高，A正確；

1U

C%,39

對于B,P（4）=P（4）=^=￡,P（4+4）=尸（4）+尸（4）—尸（44）=京，B正確；

3

W1

-

錯

對于c，尸（4）=箜W所以尸⑷4）=*=-c誤

32-

51

C1A43

對于D,尸（4）二尸（4）=尸（4）=354=—，D正確，故選：C

-A；5

7.D【詳解】因為見尸為銳角，所以a-尸a+/?e（0,兀）,'芋

/「、3sin(a一尸)4

Xtan(?-^)=-=-I-7y,所以cos(cr-/?)=—=cosacos尸+sinasin/?,

1LL3

而sinasin/3=—,所以cosacos/3=—,

3112a+/3,因此一

COS(a+/?)=cosacosjff-sinasin'=-=1-2sin

2

故選：D.

8.?！驹斀狻?(x)<?fix)-/(x)In2>0,令g(x)=^^

In22X

則g'（x）=2）2：/?n2="則且⑴在”,+s）上單調遞增，

（2）2

由/(-3)=-16,/(x)為奇函數(shù)得/⑶=16,則g(3)=受=2

O

小)>2F等>2=,ng(x)>g(3)

所以x〉3.所以，不等式的解集為（3,+8）,故選D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出選項中，有多項符合題目要求。全部

選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。

9.【答案】AD

【詳解】對于A,設z/2對應的向量分別為西，西，則由向量三角不等式得|西-恒卜取司+|區(qū)

所以匕-ZzK㈤+㈤恒成立，故A正確;

對于B,取為=—l+i/2=-2+i,但團=a,%|=石,故B錯誤；

對于C,當4=l+i/2=l-i時，|zj-z2|=2=|zj+z2|,zl-z2-2,故C錯誤;

對于D,a=1j11=/(1了)---=—=f,故D正確；

221-z(l-z)(l+z)2

故選AD.

10.【答案】ABD

【詳角軍】對于A,由。<6<。及。+26+3c=0,得3。+3。<。+26+3。=0,所以。+。<0,A正確.

對于B,由及。+26+3c=0,得6。<〃+26+3。=0,所以Q<0.同理可得。>0.

又a+c<0,所以二片一1,所以9+q=-<-2,B正確.

aaca)\c)_

對于C,由“<b<c及a+2b+3c=0,得”+2c+3c>0,所以。+5c>0,得c〉-1〉()，

2

所以。2〉幺，得力_25。2<0,C錯誤.

25

…,/nC/T\,b+2cb+c+cb+cc1c

對于D,由a+26+3c=0,得Q+C=-2(Z)+C),所以------=--------=------1--------=-------1--------

a+ca+ca+ca+c2a+c

ch+2c1

因為a+c<0,c>0,所以——<0,所以^--<一一，D正確.

a+ca+c2

故選：ABD.

11.【答案】ABD

對于A,若2麗=西，顯然平面為C截正方體所得截面為A4CQ,所以,

截面面積為日.（、匯了=弓，所以A正確；

對于B,因為48//G。，若AN與所成的角為則N點在以「「為

轉軸的圓錐（無底）的表面上，而。C"/平面ABCD,所以則N點的軌跡為雙曲線，所以B正確;

對于C,若，訓+歸。|=6,則P在以A、C為焦點的橢球上且

a=號,c=*，所以b=；，又因為點P為四邊形內，該橢球被平面截得的在四

邊形班夕1。內的部分為半圓，且半徑為g,所以點尸的軌跡長度為。-2萬?[=￡,所以C錯誤，

對于D,平面48。，且AX5C為正三角形，若正方體繞80旋轉后與其自身重合，

只需要兒44。旋轉后能和自身重合即可，所以D正確。故答案為ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.【答案】B

3

【詳解】：N在3上的投影為與，.,?粵?卷=3，則鬻=；，即網(wǎng)=屈了

3|b||b|3\b\3II

X133-6|=|3+6|,平方得8萬2=8小3，則同二]限6

a-ba-bV3H

即cos<a/〉=0京故答案為：11.

同W^3a-b^a-b33

13.【答案】120°1712

【詳解】由題意得，耳=60°,由此類推，2=90°,4=90。，4=108。，4=108。，％=108。，

%=120。，［=120。，％=12?！?do=12O。，..

觀察規(guī)律，三角形會有1個相等的角，并且角的度數(shù)恰好是其內角的度數(shù)，正方形有2個90。，正五邊形

有3個108。，正六邊形有4個120。，…，所以正左多邊形有3-2個180°("2)

k

令180。("2)

>174%解得左>60,所以上的最小值為61,即滿足條件@>174。的角至少要在正61邊形

k

中，所以〃>1+2+3+4+…+58=1711,即"的最小值為1712

14.【答案】V3

【詳解】VZDAC=ZABD,?:/C=NC,

QACD

ACAD-ACBA,所以一二—,即G42=C8。

CBCA

而2D=3CD,s.CA1=CBCD=-CB2,即CB=2C4,

4

在根〃中，設…C=/…’則t品，所以sm3O=2sm。

所以sin30=sin0cos20+cos0sin20=sin0cos28+2cos28sin8=2sin0

因為0°<。<60°，所以cos26+2cos20=2，所以cos?。、，008(9=—>所以，=30°

42

所以/A4C=N4DC=90°，AD=43DC.而A/CO的面積為心，所以1,

222

所以4D=JL故答案為：百

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【詳解】(1)解：因為

/(x)=2sinxcosx-2V5sin2x+V3=sin2x-iV3cos2x=2sii^2x?j,...........2分

當xe0,g時，可得2XH■—G,...........3分

L4J336

當2x+巴=2，即x=?時，/(x)取得最小值2sin型=1,...........5分

3646

因為xe0,1時，加</(%)恒成立，所以機<1,

即實數(shù)加的取值范圍為(f,l).............6分

(2)解：由題意，函數(shù)g(x)=2sin[4x-g],...........8分

因為xe[Oj],所以4x—一§"一§’...........9分

又因為函數(shù)g(x)有且僅有5個零點，則滿足3兀<4”m<4兀，………12分

兀兀兀

解得S乃ir〈/<1—3把，所以實數(shù)/的取值范圍[5三,1T3).....13分

612612

16.【詳解】(1)①②今③，

連接/C,5D相交于。，連接OP,由于底面是正方形，所以ZC工5D,

又ACLPD,PD(')BD=D,PD,BDu平面PBD,

故/C_L平面P3D,。「匚平面必/兀故/。，。/5,

由于OP=OP,OD=OC,PD=PC,故APODMAPOC,

因此_LOP,ocn0。=O,OC,OD<=平面ABCD,

故尸平面/3C。，(可得四棱錐/BCD是正四棱錐)

8。u平面NBC。，故尸。_LAD,

又/(7,8。,/(?門尸。=。,/(7,尸。匚平面上4。,故001平面上4。......7分

②③n①，

連接相交于。，連接。尸，由于底面/BCD是正方形，所以

又4C_LPD,尸口口8。=2尸NBDu平面尸3。，

故/C_L平面尸80,OPu平面尸AD,故/C_LOP,

又平面K4C,。尸u平面B4C,故8。，。尸，

ACcBD=O,AC,BDu平面/BCD,故OP，平面ABCD,

結合底面48CD是正方形，。是正方形的中心，

所以四棱錐48C。是正四棱錐，故PC=PD,...........7分

①③n②，

連接相交于。，連接O尸,8。1平面以C,OPu平面K4C,故BDLOP,

由于0P=0P,0。=08,故APOD=^POB，又OP=OP,OD=0C,P。=PC,故xPOD=^POC,

故APOD=ZPOC=ZPOB=

2

因此尸民尸O,OC,。。門。8=。,。。,。8匚平面/8。，故OPL平面4BC。,

故四棱錐48CD是正四棱錐，

由于NC/AD,又/C_LOP,OPcBD=D,OP,BDu平面PBD,

故/C_L平面尸3D,PDu平面PAD,故/C_LPO,7分

（2）無論選擇哪兩個條件，都可以推出四棱錐/BCD是正四棱錐,

設四棱錐的底邊邊長為。，則四/O=1Q,

2

所以尸0=yJPA2-AO2=

￡

故VpARCD=~S4RCD-PO=-a

r-ABHJ3A,DC-U3

3

3

11.

-a2H—a2+1--a2

由于工/.L244I24

a<—,當且僅當-a2,即/=§時取等號,

44327412

故當四棱錐的底邊邊長為〃==述時,四棱棱錐尸-/BCD體積的最大值為述.

327

（法一）因為尸。，底面/BCD,由點。向C。作垂線，垂足為￡,連接尸￡,

又因為CQu底面%5C。，.?.尸OLCD,所以/尸EO為二面角尸—CQ—4的平面角,

PQB

OE=—,PO=—,.AanZPEO=--=1,：.cosZPEO=—

33OE2

J?

即二面角P—CD—A的余弦值為注.15分

2

（法二）以。點為坐標原點建立如圖空間直角坐標系,、

V3V6V6

則尸(0,0,與),C(r,0,0),D(0,r,0)，所以尸C=—,0,--TD=

一。。

34-5353177

設面尸CD的法向量為m=（x）,z）,

逅

V3

3x------z=0

即3廠,不妨取x=l,則y=l,z=C,所以加=(1,1,后卜

逅

3y----z-0

3

易得平面ABCD的法向量3=（0,0,1）,

--V/

設二面角P-CD-A的平面角為際。=加二￥

即二面角P-CD-Z的余弦值為也............15分

2

y一了

工.解:設尸(xj),-==1,..................3分

x+1x-\x2-l

故求動點。的軌跡方程.為》2-丁=1.(x#±l)..................4分

（2）kAM*kBM=X,..................5分

^AM=%n,即=“........6分

設直線MN的方程為x=+f,〃（再，%）,N（%2，%）,8（1,0）,/（-1,0）,

[x=my+1

聯(lián)立l12—?2=1,得（加2一]）y2+2加w+/_]二0,次201,A>0,..................8分

2mt

%+%=_

m2-1

且4..................9分

t2-l

y^2=m2-1

%必=________JYT2________二1,.................10分

x2-lxx-\（加必+/_1）（加％+'—1）4

3

代入可得?」=一片12分

33

...直線WN方程為工=加了-三，即直線〃N過定點T（-〒0）..................13分

..IS/MN=3?"加—6?S?BMN=3""川加一'I

此時2,2

.S^AMN_INTI_115分

??亞一西一".........

18.【詳解】(1)；

第一種情況：甲―甲一＞甲一＞甲，概率為LxLx^=L；..................1分

2228

第二種情況：甲一＞乙一＞甲一＞甲，概率為工x』xL=J_；..................2分

23212

1211

第二種情況：甲―乙—丙—甲，概率為一x—x—=—；.........3分

2326

第四種情況：甲一甲f乙一甲，概率為L...............4分

22312

所以三次投擲骰子后球在甲手中的概率為工+工+4+,=口..........5分

81261224

(2)由于投擲〃次骰子后球不在乙手中的概率為1-"，此時無論球在甲手中還是球在丙手中，均有

311

/=彳的概率傳給乙，故有4+|=7(1-................7分

022

變形為Pn+l=_[P“T；

又Pi=:所以數(shù)列是首項為公比為一:的等比數(shù)歹U.

............9分

2I3J36

............10分

所以數(shù)列｛｝的通項公式：

2p“=?、?.........11分

(3)由(2)可得

19

"=(—2)"“/用….12分

則

11

Q]+?+…+Q

171421

n+1

當〃是奇數(shù)時，"M=l-(-)e[-,l),—1—6[--------------------]e(-4,-2]

2433i_"+i

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