河南省安陽市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷含答案解析

2024屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足，則的虛部為（）A.5 B. C. D.3.若圓與軸相切，則（）A.1 B. C.2 D.44.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知所在平面內(nèi)一點滿足，則面積是的面積的（）A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍6.小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數(shù)為（）A.48 B.32 C.24 D.167.已知函數(shù)有兩個極值點p，q，若，則（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的右焦點為，過且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.為的一個周期 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.為偶函數(shù) D.在上單調(diào)遞增10.已知正三棱臺中，的面積為，的面積為，，棱的中點為，則（）A.該三棱臺的側(cè)面積為 B.該三棱臺的高為C.平面 D.二面角的余弦值為11.甲是某公司的技術(shù)研發(fā)人員，他所在的小組負責某個項目，該項目由三個工序組成，甲只負責其中一個工序，且甲負責工序的概率分別為，當他負責工序時，該項目達標的概率分別為,則下列結(jié)論正確的是（）A.該項目達標概率為0.68B.若甲不負責工序C，則該項目達標概率為0.54C.若該項目達標，則甲負責工序A的概率為D.若該項目未達標，則甲負責工序A的概率為12.已知拋物線的準線，直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則以為直徑的圓與相交B.若，則為坐標原點C.過點分別作拋物線的切線，，若，交于點A，則D.若，則點到直線的距離大于等于三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側(cè)面展開圖對應的扇形的圓心角為_________．14.已知數(shù)列中，，且，則的前12項和為_________．15.已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值為_________．16.若函數(shù)在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍為_________．四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，求的值．18.如圖所示，在三棱錐中，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．19.已知數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．20.為了驗證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實驗室中進行了次試驗，假設小王每次試驗成功的概率為，且每次試驗相互獨立．（1）若小王某天進行了4次試驗，且，求小王這一天試驗成功次數(shù)的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止試驗，，以表示停止試驗時試驗的總次數(shù)，求．（結(jié)果用含有的式子表示）21.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，證明：當時，．22.已知橢圓的離心率為，直線過的上頂點與右頂點且與圓相切．（1）求的方程．（2）過上一點作圓的兩條切線，（均不與坐標軸垂直），，與的另一個交點分別為，．證明：①直線，斜率之積為定值；②．2024屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合，再判斷包含關(guān)系.【詳解】依題意，，，所以，.故選：A2.已知復數(shù)滿足，則的虛部為（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求，進而可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，所以的虛部為．故選：B.3.若圓與軸相切，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】求出圓心和半徑，數(shù)形結(jié)合得到且，得到答案.【詳解】的圓心為，半徑為，因為圓與軸相切，所以且，解得故選：D4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換得到或，從而得到答案.【詳解】，顯然，則，解得或．所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.已知所在平面內(nèi)一點滿足，則的面積是的面積的（）A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的線性運算計算即可．【詳解】設的中點為，因為，所以，所以，所以點是線段的五等分點，所以,所以的面積是的面積的5倍．故選：A.6.小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數(shù)為（）A.48 B.32 C.24 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】1與4相鄰，共有種排法，兩個2之間插入1個數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C7.已知函數(shù)有兩個極值點p，q，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導，得到方程組，求出，進而得到，得到答案.【詳解】依題意，，則，因為，所以，顯然，，兩式相除得，則，代入中，解得，則．故選：D8.已知雙曲線的右焦點為，過且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設直線，，由得到，再根據(jù)條件得出，代入方程，即可求出結(jié)果.【詳解】易知的漸近線方程為，不妨設直線，，聯(lián)立方程得，解得，，所以，又，而，，得到，解得，故，代入中，得，得到，又，得到，解得，故所求的漸近線方程為，故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.為的一個周期 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.為偶函數(shù) D.在上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】因為的最小正周期，所以為的一個周期，故A正確；因為，故B正確；因為，不具有奇偶性，故C錯誤；因為，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故D錯誤．故選：AB.10.已知正三棱臺中，的面積為，的面積為，，棱的中點為，則（）A.該三棱臺的側(cè)面積為 B.該三棱臺的高為C.平面 D.二面角的余弦值為【答案】BCD【解析】【分析】計算出正三棱臺側(cè)面上的高，結(jié)合梯形的面積公式可判斷A選項；利用梯形的幾何性質(zhì)求出該三棱臺的高，可判斷B選項；分別延長棱、、交于點，推導出三棱錐為正四面體，且為等邊的中心，結(jié)合正四面體的幾何性質(zhì)可判斷C選項；利用二面角的定義可判斷D選項.【詳解】對于A，根據(jù)條件可得，，分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點、，因為，，，所以，，則，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，所以，，則，即等腰梯形的高為，其面積為，所以該三棱臺的側(cè)面積為，故A錯誤；對于B，設的中心為，的中心為，可知是直角梯形，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為，，，則四邊形為矩形，因為，解得，同理可得，所以，，，所以，，則，所以，，故B正確；對于C，分別延長棱、、交于點，因為，，則，可得，則，同理可得，所以，四面體為正四面體，延長交于點，則，所以，，且，即，則為的中點，又因為，則為正的中心，故平面，故C正確；對于D，二面角即正四面體相鄰側(cè)面的夾角，因為為的中點，為等邊三角形，則，且，因為是邊長為的等邊三角形，則，且，故二面角的平面角為，因為平面，平面，則，則，故二面角的余弦值為，故D正確．故選：BCD.【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；（2）空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.11.甲是某公司的技術(shù)研發(fā)人員，他所在的小組負責某個項目，該項目由三個工序組成，甲只負責其中一個工序，且甲負責工序的概率分別為，當他負責工序時，該項目達標的概率分別為,則下列結(jié)論正確的是（）A.該項目達標的概率為0.68B.若甲不負責工序C，則該項目達標的概率為0.54C.若該項目達標，則甲負責工序A的概率為D.若該項目未達標，則甲負責工序A的概率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題設條件，逐一對各個選項分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】記甲負責工序為事件，甲負責工序為事件，甲負責工序為事件，該項目達標為事件．對于選項A，該項目達標的概率為，故選項A正確；對于選項B，，故選項B錯誤；對于選項C，，所選項C正確；對于選項D，，所以選項D正確，故選：ACD.12.已知拋物線的準線，直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則以為直徑的圓與相交B.若，則為坐標原點C.過點分別作拋物線的切線，，若，交于點A，則D.若，則點到直線的距離大于等于【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件得到，再結(jié)合各個選項的條件，逐一分析判斷即可得出結(jié)果.詳解】由題可得拋物線，設，，對于選項A，當時，直線過的焦點，此時，又的中點到準線的距離為，則以為直徑的圓與相切，故選項A錯誤；對于選項B，當時，直線，將代入，得，則，又易知，所以，故選項B正確；對于選項C，由題可設拋物線在點處的切線方程為，由，消得到，由，得到，又，所以，得到，所以在點處的切線方程為，整理得到，同理可得拋物線在點處的切線方程為，聯(lián)立，解得，故，故選項C正確；對于選項D，由拋物線的對稱性，可知當軸時，點到直線的距離最小，由，不妨取，代入，得到，所以，點到直線的距離為，故選項正確．故選：BCD.【點睛】方法點睛：與弦端點相關(guān)問題的解法解決與弦端點有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點的坐標關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側(cè)面展開圖對應的扇形的圓心角為_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)體積先計算出圓錐的高，再根據(jù)高計算出圓錐的母線，即展開圖扇形的半徑，最后在根據(jù)弧長公式求出圓心角.【詳解】設圓錐（如圖所示）的高為．因，所以，母線．將圓錐沿展開所得扇形的弧長為底面周長，根據(jù)弧長公式，所以圓心角.故答案為：.14.已知數(shù)列中，，且，則的前12項和為_________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，借助數(shù)列的周期性、分組求和即可得出結(jié)果.【詳解】依題意，故，,所以，，，…，故的前12項和為．故答案為：15.已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值為_________．【答案】2【解析】【分析】依題意得，再利用基本不等式求解.【詳解】依題意得，則，即，則，解得，則的最大值為2．當且僅當時取得最大值.故答案為：2.16.若函數(shù)在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】由可得出，令，，分析可知，直線與曲線沒有交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，令，顯然，則，令，，則，令，得，，列表如下：增極大值減減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為、，且極大值為，極小值為．當時，，當時（從左邊趨于），；當時（從右邊趨于），，當時（從右邊趨于），.由圖象可知，當時，直線與曲線沒有交點，即在上沒有零點．因此，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）（2）由正余弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理化簡計算求解.【小問1詳解】證明：由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡得．【小問2詳解】由得，化簡得，又，故，所以，故．18.如圖所示，在三棱錐中，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)要證明面面垂直，只需證明平面，即只需證明，.(2)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，然后再求線面角.【小問1詳解】證明：因為，所以，同理可得，故，因為，平面，所以平面因為平面，故平面平面．【小問2詳解】以C為坐標原點，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為則，，，，，所以，，．設為平面的法向量，則即令，得．設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可得，再利用裂項相消法即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由，可得，又，故數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，得到．【小問2詳解】由（1）可知，故．20.為了驗證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實驗室中進行了次試驗，假設小王每次試驗成功的概率為，且每次試驗相互獨立．（1）若小王某天進行了4次試驗，且，求小王這一天試驗成功次數(shù)的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止試驗，，以表示停止試驗時試驗的總次數(shù)，求．（結(jié)果用含有的式子表示）【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）【解析】分析】（1）利用二項分布求解；（2）法一：先求次試驗中，成功了0次或1次的概率，再利用對立事件求解；法二：先求，再利用錯位相減求和.【小問1詳解】依題意，，則，，，，故的分布列為：X01234P故．【小問2詳解】方法一：設“停止試驗時試驗總次數(shù)不大于”，則，“次試驗中，成功了0次或1次”，“次試驗中，成功了0次”的概率；“次試驗中，成功了1次”的概率．所以．方法二：事件“”表示前次試驗只成功了1次，且第次試驗成功，故，所以，令，則，兩式相減得：，則．即21.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，證明：當時，．【答案】（1）極小值為0，無極大值；（2）證明見解析【解