勾股定理與數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法（解析版） 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題訓(xùn)練

專題03勾股定理與數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法（解析版）類型一方程思想（一）單勾股列方程技巧1利用等腰三角形轉(zhuǎn)移線段1．（2023春?荔城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．求AE的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】由勾股定理先求出BC＝6，連接BE，根據(jù)中垂線的性質(zhì)設(shè)AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出關(guān)于x的方程，解之可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=A連接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，設(shè)AE＝BE＝x，則CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x=25∴AE=25【總結(jié)提升】本題主要考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及線段中垂線的性質(zhì)．2．（2022秋?芙蓉區(qū)校級(jí)月考）如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，BC'交AD于點(diǎn)E．（1）求證：△BED是等腰三角形；（2）若AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．【思路引領(lǐng)】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠1＝∠2，再由矩形的對(duì)邊平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，所以∠1＝∠3，然后根據(jù)角之間的等量代換可知DE＝BE；（2）設(shè)DE＝x，則AE＝8﹣x，BE＝x，在△ABE中，運(yùn)用勾股定理得到BE2＝AB2+AE2，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求得△BED的面積．【解答】（1）證明：∵△BDC′是由△BDC沿直線BD折疊得到的，∴∠1＝∠2，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴BE＝DE；（2）解：設(shè)DE＝x，則AE＝AD﹣DE＝8﹣x，在直角△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝DE＝x，∴BE2＝AB2+AE2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴△BED的面積=12DE×AB【總結(jié)提升】此題通過折疊變換考查了三角形的有關(guān)知識(shí)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等．技巧2利用全等三角形轉(zhuǎn)移線段3．（2021春?重慶期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，若AB＝6，BC＝46，求FD的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】根據(jù)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”證明△EDF和△EGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可證得DF＝GF；設(shè)FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝6，AD＝BC＝46，∠A＝∠C＝∠D＝90°，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝26，由折疊的性質(zhì)可得，EG＝AE，BG＝AB＝6，∠ECF＝∠A＝90°，∴ED＝EG，在Rt△EGF和Rt△EDF中，EG=EDEF=EF∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴FD＝FG，設(shè)FD＝a，則GF＝a，F(xiàn)C＝CD﹣FD＝6﹣a，∴BF＝BG+FG＝6+a，在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，即（46）2+（6﹣a）2＝（6+a）2，解得a＝4，即FD＝4，故答案為：4．【總結(jié)提升】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)，找出三角形全等的條件ED＝EG是解題的關(guān)鍵．雙勾股列方程技巧1利用公共邊列方程4．（2018春?淮上區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD為BC邊上的高，點(diǎn)D為垂足，求△ABC的面積．【思路引領(lǐng)】設(shè)BD為x，利用勾股定理得出方程解答即可．【解答】解：設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，由勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，則152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得：x＝9，則AD=1所以△ABC的面積=1【總結(jié)提升】本題主要考查勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理得出方程解答．5．如圖，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC＝4，求BC邊上的高AD的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】設(shè)CD＝x，由勾股定理得AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，則152﹣（4+x）2＝132﹣x2，解方程求出CD＝5，則可得出答案．【解答】解：設(shè)CD＝x，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴152﹣（4+x）2＝132﹣x2，解得x＝5，∴CD＝5，由勾股定理得，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣52＝144，∴AD＝12．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理，熟練掌握方程的思想方法是解題的關(guān)鍵．技巧2利用相等邊列方程6．（2023春?鄰水縣校級(jí)期末）如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等．則E應(yīng)建在距A15km？【思路引領(lǐng)】利用DE＝CE，再結(jié)合勾股定理求出即可．【解答】解：設(shè)AE＝xkm，則BE＝（25﹣x）km，根據(jù)題意可得：∵DE＝CE，∴AD2+AE2＝BE2+BC2，故102+x2＝（25﹣x）2+152，解得；x＝15．故答案為：15．【總結(jié)提升】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，利用DE＝CE得出是解題關(guān)鍵．7．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)B'處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，且B'C＝3，求AM的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】設(shè)AM＝x，連接BM，MB′，求出DB′＝6，然后在Rt△ABM和Rt△MDB′中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)AM＝x，連接MB，MB'，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝9，∵B'C＝3，∴DB'＝6，在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，在Rt△MDB'中，MD2+DB'2＝B'M2，由折疊的性質(zhì)得：MB＝MB'，∴AB2+AM2＝BM2＝B'M2＝MD2+DB'2，即92+x2＝（9﹣x）2+62，解得：x＝2，即AM＝2．【總結(jié)提升】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．類型二分類討論思想（一）根據(jù)三角形高位置的不確定性分類討論9．（2023春?大觀區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC邊上的高AD＝6，則BC的長(zhǎng)為10或6．【思路引領(lǐng)】分兩種情況考慮，如圖所示，分別在Rt△ABC與Rt△ACD中，利用勾股定理求出BD與CD的長(zhǎng)，即可求出BC的長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，如圖1所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=AB2?A此時(shí)BC＝BD+CD＝8+2＝10；如圖2所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=AB2?A此時(shí)BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，則BC的長(zhǎng)為6或10．故答案為：10或6．【總結(jié)提升】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?海陽市期末）已知CD是△ABC的邊AB上的高，若CD=3，AD＝1，AB＝2AC，則BD的長(zhǎng)為3或5【思路引領(lǐng)】分△ABC是銳角三角形和△ABC是鈍角三角形兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)△ABC是銳角三角形，如圖1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，由勾股定理得，AC=C∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3；當(dāng)△ABC是鈍角三角形，如圖2，AC=A∴AB＝4，∴BD＝AB+AD＝4+1＝5，綜上：BD的長(zhǎng)為3或5，故答案為：3或5．【總結(jié)提升】本題考查的是勾股定理，熟知如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2是解題的關(guān)鍵．（二）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)位置的不確定性分類討論8．（2022秋?冠縣期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個(gè)銳角為60°，BC＝6，若點(diǎn)P在直線AC上（不與點(diǎn)A、C重合），且∠ABP＝30°，則CP的長(zhǎng)為（）A．6或23 B．6或43 C．23或43 【思路引領(lǐng)】根據(jù)點(diǎn)P在直線AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行求解．【解答】解：如圖1：當(dāng)∠C＝60°時(shí)，∠ABC＝30°，與∠ABP＝30°矛盾；如圖2：當(dāng)∠C＝60°時(shí)，∠ABC＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴△PBC是等邊三角形，∴CP＝BC＝6；如圖3：當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC=PB=如圖4：當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°+30°＝90°，∴PC=BC故選：D．【總結(jié)提升】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值求線段的長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P在直線AC上的不同位置．11．（2022秋?南京期末）如圖，已知點(diǎn)P是射線OM上一動(dòng)點(diǎn)（P不與O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，當(dāng)OP＝2或2或22時(shí)，△OAP是等腰三角形．【思路引領(lǐng)】分三種情況，當(dāng)OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】解：當(dāng)△AOP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①如圖，OP＝AP，∴∠O＝∠OAP，∵∠AOM＝45°，∴∠APO＝90°，∴OP=2②如圖，OA＝OP＝2；③如圖，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°，∴OP=AO2綜上所述，OP的長(zhǎng)為2或2或22．故答案為：2或2或22．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（三）根據(jù)等腰三角形要和底的不確定性分類討論12．（2021秋?如皋市期末）如圖，在△ABC中，AC＝5，E為BC邊上一點(diǎn)，且CE＝1，AE=26，BE＝4，點(diǎn)F為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF（1）求AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求AF的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】（1）證出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）分三種情況，由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE=26∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，∴AB=AC2（2）①當(dāng)BF＝BE＝4時(shí)，AF＝AB﹣BF＝52?②如圖，當(dāng)BF＝EF時(shí)，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，設(shè)BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝22（負(fù)值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝52?22=3③如圖，當(dāng)BE＝EF時(shí)，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF=BE2∴AF＝AB﹣BF＝52?4綜上所述，AF的長(zhǎng)為52?4或32或2【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．類型三構(gòu)造等腰直角三角形或含30°角的直角三角形技巧：①等腰直角三角形三邊之比1∶1∶2；②含30°的直角三角形三邊之比1∶1∶313．（2020春?涪城區(qū)校級(jí)月考）已知∠BCD＝α，∠BAD＝β，CB＝CD．（1）如圖1，若α＝β＝90°，求證：AB+AD=2AC（2）如圖2，若α＝β＝90°，求證：AB﹣AD=2AC（3）如圖3，若α＝120°，β＝60°．求證：AB+AD=3AC（4）如圖4，若α＝β＝120°，探究AB，AD，AC之間的關(guān)系．【思路引領(lǐng)】（1）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE＝AD，連接CE，證明△ADC≌△EBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝EC，∠ACD＝∠ECB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，證明結(jié)論；（2）在線段AB上截取BF＝AD，連接CF，證明△CAD≌△CFB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CA＝CF，∠ACD＝∠FCB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，證明結(jié)論；（3）延長(zhǎng)AB至M，使BM＝AD，連接CM，作CH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答；（4）在線段AB上截取BN＝AD，連接CN，仿照（2）（3）的方法，得到答案．【解答】證明：（1）如圖1，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE＝AD，連接CE，∵α＝β＝90°，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，在△ADC和△EBC中，AD=EB∠ADC=∠EBC∴△ADC≌△EBC（SAS）∴AC＝EC，∠ACD＝∠ECB，∵∠ACD+∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACB＝90°，即∠ACE＝90°，∴△ACE為等腰直角三角形，∴AE=2AC∴AB+AD＝AB+BE＝AE=2AC（2）如圖2，在線段AB上截取BF＝AD，連接CF，∵∠BCD＝∠BAD，∠BHC＝∠DHA，∴∠B＝∠D，在△CAD和△CFB中，AD=FB∠D=∠B∴△CAD≌△CFB（SAS）∴CA＝CF，∠ACD＝∠FCB，∵∠ACD+∠DCF＝90°，∴∠FCB+∠DCF＝90°，即∠ACF＝90°，∴△ACF為等腰直角三角形，∴AF=2AC∴AB﹣AD＝AB﹣BF＝AF=2AC（3）如圖3，延長(zhǎng)AB至M，使BM＝AD，連接CM，作CH⊥AB于H，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠MBC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠MBC，由（1）可知，△ADC≌△MBC，∴CA＝CM，∠ACD＝∠MCB，∴∠ACM＝120°，∴∠CAH＝30°，∴CH=12∴AH=AC∴AM＝2AH=3AC∴AB+AD＝AB+BM＝AM=3AC（4）AB﹣AD=3AC理由如下：在線段AB上截取BN＝AD，連接CN，由（2）（3）可知，AB﹣AD＝AB﹣BN＝AN=3AC【總結(jié)提升