《穩(wěn)健自適應波束形成算法》課件第1章

第1章緒論

1.1自適應波束形成技術(shù)1.2穩(wěn)健自適應波束形成方法1.3穩(wěn)健方向圖綜合方法

1.1自適應波束形成技術(shù)

自適應波束形成（adaptivebeamforming）技術(shù)廣泛應用于雷達、聲吶、麥克風陣列語音處理、醫(yī)學成像、無線通信和天文學、地震學等領(lǐng)域。自適應陣列天線可根據(jù)信號環(huán)境實時地調(diào)整其加權(quán)因子(weightfactors)，以使期望信號方向(desiredsignaldirection)上達到一定的增益并抑制其它方向上的干擾，通常稱這一過程為自適應波束形成。關(guān)于自適應波束形成技術(shù)的介紹可以參考文獻［1-9］。傳統(tǒng)的自適應波束形成算法大都假設訓練數(shù)據(jù)(trainingdata)中不存在有用信號(desiredsignal)，故波束形成器的穩(wěn)健性(robustness)主要依賴于可利用的無信號訓練數(shù)據(jù)

(signal-freetrainingdata)。對于這種情況，自適應波束形成算法具有足夠的穩(wěn)健性用于克服有用信號的陣列響應誤差(arrayresponseerror)和有限訓練樣本數(shù)據(jù)(finitetrainingsampledata)所引起的影響，而且具有許多的快速收斂技術(shù)用于算法的實現(xiàn)。1.2穩(wěn)健自適應波束形成方法

1.2.1針對信號方向失配的穩(wěn)健方法

LCMP波束形成器的加權(quán)矢量是通過使波束形成器在形如CHw=f的一系列線性約束條件下輸出的功率最小來求解的，其中C為N×m維的約束矩陣（constraintmatrix），f為m×1維的約束值矢量(constraintvaluevector),N為陣元數(shù)量。LCMP最優(yōu)化問題可以描述如下：(1.2-1)其中Rx=E{x(k)xH(k)}為數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣（datacovariancematrix)。該最優(yōu)化問題可以利用lagrange乘數(shù)方法進行求解，其最優(yōu)加權(quán)矢量(optimalweightvector)的表達式如下所示：(1.2-2)

Chen等人考慮了一種簡單的導向矢量不確定集(steeringvectoruncertaintyset)，該不確定集只包含了有用信號到達角（Direction-Of-Arrival，DOA）的不確定范圍內(nèi)的導向矢量［25］。盡管給出了封閉形式（closed-form）的解，而且也

給出了用于對角加載電平（diagonalloadinglevel）計算的迭代方法(iterationmethod)，但是對于該方法如何確定有用信號的DOA不確定范圍，則還是一個懸而未決的問題。該穩(wěn)健自適應波束形成算法的數(shù)學描述為(1.2-3)其中s(θ)為方向角θ處的導向矢量，而θ1和θ2分別為有用信號到達角的不確定范圍的下限和上限。為了求解該問

題，文獻［25］分別討論了兩點不等式約束和帶有對角加載的兩點約束穩(wěn)健算法，其中的兩點不等式約束是指上、下限到達角處導向矢量的約束。然而對于只具有上、下限到達角處導向矢量的不等式約束，可以將其轉(zhuǎn)化為具有相似形式的LCMP波束形成器，也可以看做是帶有對角加載的兩點約束穩(wěn)健算法的一個特例。而后者的表達式為(1.2-4)1.2.2針對一般類型失配的穩(wěn)健方法

當前的許多穩(wěn)健算法都能夠用于改善一般失配(generalmismatch)的穩(wěn)健性，如樣本協(xié)方差矩陣對角加載(samplecovariancematrixdiagonalloading)［14，16］（即對樣本協(xié)方差矩陣增加一個標量對角矩陣）、基于特征子空間(digen-subspace)的波束形成器［11，30,31］，以及協(xié)方差矩陣銳化（CovarianceMatrixTaper，CMT）方法等［33］。對于對角加載(diagonalloading)方法，一個嚴重的缺陷是沒有一種可靠的方法來選擇對角加載電平（diagonalloadinglevel）。Vincent和Besson提出了在導向矢量存在誤差的條件下，通過使得輸出的信噪比（SignalNoiseRatio，SNR）達到最大的準則來選擇最優(yōu)的加載電平，而且證明了加載量為負值?；趯羌虞d技術(shù)的穩(wěn)健波束形成算法在許多文獻中都被建模為如下的最優(yōu)化問題：(1.2-5)即該算法通過對加載量電平γ的控制來增加人工白噪聲（WhiteNoise）的方差，以達到進一步抑制白噪聲的目的，進而降低了對干擾的抑制?；谔卣髯涌臻g的穩(wěn)健波束形成器只能應用于點信號源(pointsignalsource)，它的主要思想是利用了假定導向矢量在樣本信號加干擾子空間上的投影(projection)，而非該假定

導向矢量。如果令樣本協(xié)方差矩陣Rx的特征分(eigenvalue

decomposition)為(1.2-6)其中N×(L+1)維的矩陣E包含Rx的L+1個信號加干擾子空間(signalplusInterferencesubspace)特征矢量(eigenvector)，L為干擾數(shù)量。對角矩陣Λ包含其相應的特征值(eigenvalue)。類似地，N×(N－L－1)維的矩陣G包含N－L－1個噪聲子空間(noisesubspace)，Γ為相應的特征值。其中干擾源的數(shù)量L假設是已知的。因此基于特征子空間的穩(wěn)健波束形成器的加權(quán)矢量為(1.2-7)其中v=PEs，s為假定信號導向矢量(presumedsignalsteeringvector)，而PE=E(EHE)－1EH=EEH為估計的信號加干擾子空間的正交投影矩陣(orthogonalprojectionmatrix)。1.2.3針對一般類型失配的不確定集約束方法

Li等人提出了基于導向矢量不確定集約束的穩(wěn)健Capon波束形成算法［20］，并在此基礎上通過強加導向矢量模約束(normconstraint)提出了雙約束(doubleconstraint)穩(wěn)健Capon波束形成算法［22］。對于這兩種波束形成算法，盡管給出了準確的加權(quán)矢量表達式，以及最優(yōu)加載電平的計算方法，但是它們的性能改善并不是非常明顯。實際上，不確定集約束是這兩種穩(wěn)健波束形成器的核心，因此這兩種穩(wěn)健波束形成算法具有相同的穩(wěn)健性。Vincent和Besson也對基于不確定集約束的波束形成算法進行了近似的性能分析，但是沒能給出準確的加載電平［36］?；诓淮_定約束的穩(wěn)健Capon波束形成器的表達式為其中s為有用信號的導向矢量，而s為其假定值，ε為導向矢量球形不確定集(sphericaluncertaintyset)的約束參數(shù)。文獻［20］對其進行了求解，且最優(yōu)解為(1.2-8)(1.2-9)其中λ為Lagrange乘數(shù)。同樣可以得到穩(wěn)健Capon波束形成算法的最優(yōu)加權(quán)矢量，即(1.2-10)因此該波束形成算法也屬于對角加載類算法，而加載量為1/λ。

Vorobyov等人提出了針對任意未知信號導向矢量失配的穩(wěn)健波束形成器［19］，盡管文獻中證明了所提出的方法等價于加載樣本矩陣求逆(LoadingSampleMatrixInversion，LSMI)算法，但是并沒有給出直接求解最優(yōu)加權(quán)矢量的方法，而是基于二階錐規(guī)劃(Second-OrderConeProgram-ming，SOCP)方式對原始問題進行了近似求解。

Elnashar等人利用對角加載技術(shù)實現(xiàn)了該穩(wěn)健波束形成器［24］，但是未能給出最優(yōu)加載電平的準確計算方法，只好通過利用最優(yōu)變加載(variableloading)技術(shù)將對角加載集成到自適應更新方案中。Lorenz和Boyd也利用Lagrange乘數(shù)技術(shù)對與之相類似的波束形成器進行了求解［23］，但他們是通過將加權(quán)矢量和陣列導向矢量表示為相應的實部和虛部分量的直接和的形式進行建模和求解的。

Mutapcic等人也指出具有多重加權(quán)矢量不確定集(multiplicativeweightuncertaintyset)約束的最差性能穩(wěn)健波束形成算法也可以作為凸優(yōu)化(convexoptimization)問題進行求解［37］，但是也沒能給出求解的方法，實際上文獻［37］中提出的具有不確定加權(quán)矢量約束的穩(wěn)健波束形成算法也可以等價轉(zhuǎn)化成如同Vorobyov等人提出的穩(wěn)健算法。文獻［19］提出的穩(wěn)健算法為(1.2-11)其中參數(shù)定義同前，A(ε)為導向矢量的不確定集，而e表示信號導向矢量誤差。該式等價于加載樣本矩陣求逆（LoadingSampleMatrixInversion，LSMI）波束形成算法，即(1.2-12)其最優(yōu)加權(quán)矢量的表達式為(1.2-1３)顯然，該穩(wěn)健波束形成算法也屬于對角加載類處理方法。 Shahram等人研究通用秩信號模型(general-ranksignalmodels)并提出了針對分布散射信號源(distributed/scatteredsignalsource)的穩(wěn)健波束形成算法［21］，給出了非常完美的封閉形式解(closed-formsolution)，但是該算法的性能嚴重依賴于約束參數(shù)，而且并未達到最優(yōu)。該波束形成算法的表達式為(1.2-14)其中Rs為假定的信號協(xié)方差矩陣，Δ為一未知的Hermitian誤差矩陣，用于描述有用信號陣列響應失配的影響。其最優(yōu)權(quán)矢量可以表示為(1.2-15)其中P{·}表示求矩陣的主特征矢量(principaleigenvector)算子，對應于最大特征值(maximaleigenvalue)的特征矢量(eigenvector)。1.2.4針對一般類型失配的權(quán)矢量模約束方法

Li等人提出了具有模不等式約束(norminequalityconstraint)的穩(wěn)健Capon波束形成方法來改善陣列導向矢量誤差和噪聲的影響［22］，盡管給出了精確解，而且給出了最優(yōu)加載電平的計算方法，但是通過分析和仿真發(fā)現(xiàn)，所提出方法并沒有達到預期的效果。其實對于該算法，模約束決定著算法的穩(wěn)健性，但是如何選擇約束參數(shù)，Li等人所作論文中并沒有進行討論。該穩(wěn)

健波束形成算法的數(shù)學表達式為其中s

為假設的有用信號（SignalOfInterest，SOI）導向矢量，而參數(shù)ζ為模不等式約束參數(shù)。利用Lagrange乘數(shù)方法對其求解，可得最優(yōu)加權(quán)矢量為(1.2-17)其中參數(shù)μ的計算公式為(1.2-18)而λ也為Lagrange乘數(shù)，或稱為加載電平，因而該波束形成器也是對角加載技術(shù)。針對LCMP波束形成器的加權(quán)矢量進行二次不等式約束(quadraticinequalityconstraint)也可以提高波束形成器針對指向誤差(pointingerror)和傳感器參數(shù)的隨機擾動(random

perturbations)的穩(wěn)健性［27］。通過在線性約束和權(quán)矢量模的不等式約束下，使得輸出功率最小化獲得的最優(yōu)權(quán)和最優(yōu)LCMP波束形成器具有相同的形式，不同之處是數(shù)據(jù)協(xié)方差

矩陣的對角加載形式。盡管提出了一些數(shù)值算法(numericallyalgorithms)來實

現(xiàn)二次不等式約束的LCMP波束形成算法，如最小二乘

（LeastMeanSquares，LMS）算法或遞歸最小二乘（RecursiveLeastSquares，RLS）算法，但是它們的應用效果并沒有期望的理想。該波束形成器可以描述如下：(1.2-19)(1.2-20)(1.2-21)同樣可得最優(yōu)權(quán)矢量為其中：顯然，該解與LCMP波束形成器的解具有相同的形式，不同之處是對Rx增加了一個對角加載項λI。該波束形成器也屬于對角加載類技術(shù)。1.3穩(wěn)健方向圖綜合方法

1.3.1最小均方差方向圖綜合方法

陣列方向圖綜合問題可視為最小均方差問題。Perini提出了陣列方向圖綜合的最陡下降法［43］。該算法迭代地更新陣列權(quán)值，直至找到使綜合方向圖與期望方向圖方差之和最小的點，相當于最小L2范數(shù)，當求得最小誤差或認為誤差的改變足夠小時，算法就停止。其實在Zhou提出的基于自適應陣列方法的方向圖綜合算法中，對問題的描述也是基于加權(quán)最小均方誤差構(gòu)造目標函數(shù)的［50］。1.3.2二次規(guī)劃方向圖綜合方法

Ng、Er和Kot提出了一種非迭代的算法來使綜合方向

圖和期望方向圖之間的均方差最小化，即采用二次規(guī)劃方法［44］，最優(yōu)化的權(quán)值向量可在一步中求得，而不用迭代過程。該算法和前述最小均方差算法都應用L2范數(shù)，無法保證某一區(qū)域的特定方向圖形狀或旁瓣區(qū)的特定響應電平。

Lebret和Boyd提出了基于凸優(yōu)化的陣列方向圖綜合算法［55］，而且可以通過內(nèi)點法進行有效的求解。Wang等人提出了基于半正定規(guī)劃的穩(wěn)健方向圖綜合算法［56］，其中不僅考慮了具有目標幅度響應約束的任意陣列方向圖綜合，而且考慮了方向圖綜合過程中不確定性存在時的穩(wěn)

健陣列方向圖綜合，并分別利用半正定規(guī)劃進行了有效的求解。1.3.3約束迭代方向圖綜合方法

Tseng和Griffths提出了一種算法，用最小輸出功率的方法來迭代旁瓣峰值上的約束［45］。換而言之，該算法在一系列旁瓣峰值約束的條件下計算陣列權(quán)值，以使陣列對于均勻分布點源的響應功率最小。這一算法非常易于應用，不過可能會產(chǎn)生某些約束的線性相關(guān)。一旦產(chǎn)生了這種情況，約束矩陣可能會病態(tài)化，就必須刪去一些約束。但是，刪去這些約束會導致對旁瓣峰值控制的缺損，這是不希望看到的。Guo等人提出了基于線性約束最小方差準則的任意陣列天線方向圖綜合方法（LCMV-PS）［57］。相比于傳統(tǒng)的矢量加權(quán)方法，該方法具有較小的迭代次數(shù)以及較好的收斂性。1.3.4自適應陣列方向圖綜合方法

方向圖綜合的另一個途徑是采用自適應陣列理論。在一個自適應陣列中，當某一方向的干擾增強時，該方向上的旁瓣響應就會減弱，干擾功率電平的變化將導致旁瓣相應電平的變化。利用這一特性，可以通過設置假想干擾或干擾機在方向圖綜合中達到想要的旁瓣控制。

Sureau和Keeping采用自適應天線技術(shù)來綜合圓柱陣列的方向圖［46］，假想干擾機功率隨期望的旁瓣電平而變化。Ma和Griffiths在同一時期研究了相似的方法［47］。盡管他們實現(xiàn)了一定的旁瓣控制，但是并沒有針對調(diào)整干擾機功率來使旁瓣功率達到要求這一特性而提出系統(tǒng)化的方法。

Dufort提出令噪聲功率譜為期望方向圖功率的倒數(shù)，通過將輸出噪聲功率最小化、輸出信噪比最大化來求得陣列權(quán)值［48］。然而，他的方法并沒有直接給出綜合方向圖中旁瓣控制的方法。為了改進旁瓣控制，Olen和Compton在1990年提出了一個著名的天線方向圖綜合算法［49］。與Dufort的方法相比，Olen和Campton利用遞歸過程以

獲得用來產(chǎn)生期望旁瓣性能的干擾頻譜。在這一算法中，提出了旁瓣控制的系統(tǒng)化方法，其中的迭代由期望方向圖和綜合方向圖之間在旁瓣區(qū)的差異來驅(qū)動。然而，在Olen和Compton的算法中主瓣仍不能確定，因此，主瓣仍未

定型。而且，這種方法的計算很復雜，因為每次迭代要計算大量的外部值。Zhou提出了三種天線方向圖綜合算法，稱為迭代加權(quán)最小平方算法［50］。該算法克服了約束迭代、二次方程規(guī)劃、Olen和Compton所提算法的缺點，但也存在著收斂速度慢、迭代中需要確定主瓣位置和迭代系數(shù)以及算法中的人工選擇依賴于使用者的經(jīng)驗等缺點。1.3.5極小極大方向圖綜合方法

在實際中低旁瓣的陣列方向圖通常令人感興趣，一種重要的方向圖類型就是極小極大方向圖，在其中旁瓣電平的最大值被最小化