人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何章節(jié)綜合訓練(含解析)

PAGE單元質(zhì)量評估（120分鐘150分）一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知向量a=(1,12,2),b=(2,-1,k),且a與bA.-1 B.34 C.1 D.-2.若a,b,c是空間任意三個向量,λ∈R,下列關(guān)系中,不成立的是()A.a+b=b+a B.λ(a+b)=λa+λbC.(a+b)+c=a+(b+c) D.b=λa3如圖,空間四邊形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,則AB→+12A.AD→ B.FA→ C.AF4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),則△ABC的形狀是()A.不等邊銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形5.已知平面α的一個法向量為n1=(-1,-2,-1),平面β的一個法向量n2=(2,4,2),則不重合的平面α與平面β()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不確定6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,則α,β,γ分別為()A.52,-1,-12 B.5C.-52,1,-12 D.57.(2013·吉安高二檢測)已知直線l1的方向向量a=(2,4,x),直線l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,則x+y的值是()A.1或-3 B.-1或3C.-3 D.18.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),則△ABC的面積是()A.70 B.35 C.1702 D.9.下列命題正確的是()A.若OP→=12B.若{a,b,c}是空間的一個基底,則{a+b,b+c,a+c}構(gòu)成空間的另一個基底C.(a·b)·c=|a|·|b|·|c|D.△ABC為直角三角形的充要條件是AB→·10.如圖所示,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=1,EF∥BC且AE=2EB,G為BC的中點,K為△ADF的外心.沿EF將矩形折成一個120°的二面角A-EF-B,則此時KG的長是()A.1 B.3 C.32 D.11.如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點,G為棱A1B1上的一點,且A1G=λ(0≤λ≤1),則點G到平面D1EF的距離為()A.3 B.22 C.23 12.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A.63 B.255 C.155 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,則λ與μ的值分別是、.14.若A(0,2,198),B(1,-1,58),C(-2,1,58)是平面α內(nèi)的三點,設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,z),則x∶y∶15.平面α,β,γ兩兩相互垂直,且它們相交于一點O,P點到三個面的距離分別是1cm,2cm,3cm,則PO的長為cm.16.如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分別是線段PA,CD的中點,則異面直線EF與BD所成角的余弦值為.三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),(1)求以向量AB→,(2)若向量a分別與向量AB→,AC→垂直,且|a|=18.(12分)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中點,試問在線段A1B上是否存在一點E(不與端點重合)使得點A1到平面AED的距離為2619.(12分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點.(1)求證:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.20.(12分)如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F分別是D'D,DB的中點,G在棱CD上,CG=14CD,H為C'G的中點.(1)求證:EF⊥B'C.(2)求EF,C'G所成角的余弦值.(3)求FH的長.21.(12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=12PA.點O,D分別是AC,PC的中點,OP⊥底面ABC.(1)求證:OD∥平面PAB.(2)求直線OD與平面PBC所成角的正弦值.22.(12分)(能力挑戰(zhàn)題)已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面為直角梯形,∠CDA=∠BAD=90°,AB=2,CD=1,AD=2,M,N分別是PD,PB的中點.(1)求證:MQ∥平面PCB.(2)求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小.(3)求點A到平面MCN的距離.答案解析1.【解析】選D.a·b=2-12+2k=0,∴k=-32.【解析】選D.由向量的運算律知,A,B,C均正確,對于D,當a=0,b≠0時,不成立.3.【解析】選C.AB→+12BC→+12BD→=4.【解析】選A.AB→=(3,4,2),BC→=(2,-3,1).由AB由CA→·由BA→·BC→>0,得B為銳角,且|AB→|≠|(zhì)所以△ABC為不等邊銳角三角形.5.【解析】選A.∵n2=-2n1,∴n2∥n1,故α∥β.6.【解析】選A.由d=αa+βb+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3.∴α+β+γ=1,α+β-γ=2,α-β+γ=3,解得α=52,β=-1,7.【解析】選A.根據(jù)|a|=6,可得x=±4,當x=4時,y=-3,當x=-4時,y=1,所以x+y=1或-3.8.【解析】選C.易知AB→=(1,4,-3),AC→=(-2,1,-2),∴|ABcos<AB→,AC→>=826×3=42639,∴sin<∴S△ABC=12|AB→|·|AC→|sin<A9.【解析】選B.P,A,B三點共面不一定共線,故A錯誤;由數(shù)量積公式知C錯誤;△ABC為直角三角形時可能AB→·AC→=0,也可能AB→·10.【解析】選D.由題意知K為AF的中點,取EF的中點H,連接KH,GH易證明∠KHG即為二面角A-EF-B的平面角,在△KHG中,由KH=HG=1,∠KHG=120°,可解得KG=3.11.【解題指南】可以根據(jù)幾何的有關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為點A1到直線D1E的距離,利用三角形的面積可求;或建立空間直角坐標系,利用平面的法向量來求.【解析】選D.方法一:∵A1B1∥EF,G在A1B1上,∴G到平面D1EF的距離即為A1到平面D1EF的距離,也就是A1到D1E的距離.∵D1E=52∴由三角形面積可得h=1×12方法二:以的方向作為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則E(0,0,12),F(1,0,12),D1(0,1,1),G(λ∴EF→=(1,0,0),ED1→=(0,1,1設(shè)平面EFD1的一個法向量是n=(x,y,z),則QUOTEn·EF→=x=0,n·ED1→=y+∴點G到平面EFD1的距離是:h=QUOTE|GD1→·n||n|=10+1+412.【解析】選D.如圖建立空間直角坐標系,則B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),∴DD1→=(0,0,1),D設(shè)平面BB1D1D的一個法向量n=(x,y,z),由QUOTEn⊥DB→,n⊥DD∴可取n=(1,-1,0).cos<n,BC1→>=QUOTEn·BC1→|n|·|BC∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為10513.【解析】∵a∥b,∴存在實數(shù)k,使得a=kb,即(λ+1,0,2λ)=k(6,2μ-1,2),∴λ+1=6k,0=k(2μ-1),2λ=2k,解得k=λ=15,答案:1514.【解析】AB→=(1,-3,-74),A∵QUOTEn·AB→=0,n·AC→=0,∴x∶y∶z=23y∶y∶(-43y)=2∶3答案:2∶3∶(-4)15.【解析】如圖所示,建立空間直角坐標系,不妨設(shè)O(0,0,0),P(1,2,3),∴|OP|=12+2答案:1416.【解析】∵BD→=AD→-AB→,EF→=-AE→+AD→+DF→=-12AP→+AD→+|EF→|2=(-12AP→+AD→+12AB→)2=6,∴|EF→|=6,|BD→|=2即異面直線EF與BD所成角的余弦值為36答案:3【一題多解】如圖所示,建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,∴E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),∴EF→=(1,2,-1),∴cos<EF→,BD→>=∴異面直線EF與BD所成角的余弦值為3617.【解析】(1)∵AB→=(-2,-1,3),∴cos∠BAC=AB→·∴∠BAC=60°,∴S=|AB→||AC→|sin60(2)設(shè)a=(x,y,z),則a⊥AB→a⊥AC→?x-3y+2z=0,|a|=3?x2+y2+z解得x=y=z=1或x=y=z=-1,∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直線為x軸,y軸和z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),設(shè)BE→=λBA則E(2λ,2(1-λ),2λ).又ADAE→=(2(λ-1),2(1-λ),2設(shè)n=(x,y,z)為平面AED的法向量,則QUOTEn·AD→=0,n·AE→取x=1,則y=1-3λ1-λ,z=2,即n=(1,由于d=QUOTE|AA1→·n||n|=∴263=45+(1-3λ1-λ)2∴當點E為A1B的中點時,A1到平面AED的距離為26【拓展提升】探索性問題的解法在立體幾何中,經(jīng)常會遇到點、線、面處在什么位置時結(jié)論成立,或某一結(jié)論成立時需要具備什么條件,或某一結(jié)論在某一條件下,某個元素在某個位置時是否成立等類似的問題.這些問題都屬探索性問題,解決這些問題僅憑幾何手段有時會十分困難,我們借助向量將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”,把點、線、面的位置數(shù)量化,通過對代數(shù)式的運算就可得出相應(yīng)的結(jié)論.這樣可以使許多幾何問題進行類化,公式化,使問題的解決變得有“法”可依,有路可尋.19.【解析】以A為原點,AB→,AD→設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(a2,1,0),B1(1)AD1→=(0,1,1),B∵AD1→·B1E→=-a∴B1E⊥AD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此時DP→=(0,-1,z0),又設(shè)平面B1AE的法向量為∵n⊥平面B1AE,AB1→=(a,0,1),A∴n⊥AB1→,n⊥取x=1,得平面B1AE的一個法向量n=(1,-a2,-a),要使DP∥平面B1只需n⊥DP→,有a2-az0=0,解得:z0∴AP=12,∴在棱AA1上存在點P,使得DP∥平面B1AE,且P為AA120.【解題指南】要證明EF⊥B'C,只需要證明EF→·B'C→=0;要求EF,C'G所成角的余弦值,只要求出EF【解析】(1)設(shè)AB→=a,AD→=b,則c·b=b·a=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.∵EF→=ED→+DF→=-12c=12(a-b-cB'C→=BC→-BB'∴EF→·B'C→=12(a-b-c)·(b-c)=12(=12×(1-1)=0.∴EF⊥(2)∵EF→=12(a-b-c),C'G→=C'C→+∴EF→·C'G→=12(a-b-c)·(-=12(-14a2+c2)=|EF→|2=14(a-b-c)2=14(a2+b2+c|C'G→|2=(-c-14a)2=c2+116a∴|EF→|=32,|Ccos<EF→,C'G→>=∴EF,C'G所成角的余弦值為5117(3)∵FH→=FB→+BC→+CC'→+C'H→=12(a-b)+b+c+12C'G→=12(a-b)+b+c+1∴|FH→|2=(38a+12b+=964a2+14b2+14c2∴FH的長為41821.【解析】方法一:(1)∵O,D分別為AC,PC的中點,∴OD∥PA.又PA?平面PAB,OD?平面PAB,∴OD∥平面PAB.(2)設(shè)PA=2a,∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC=22又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC=2a.取BC中點E,連接PE,則BC⊥平面POE.作OF⊥PE于F,連接DF,則OF⊥平面PBC.∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.∵PA=2a,OA=22a,∴OP=14又∵OE=a2,∴OF=210在Rt△ODF中,sin∠ODF=OFOD=∴OD與平面PBC所成角的正弦值為21030方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O(shè)為原點,建立空間直角坐標系Oxyz(如圖),設(shè)AB=a,則A(22B(0,22a,0),C(-2設(shè)OP=h,則P(0,0,h).(1)∵D為PC的中點,∴OD→=(-24又PA→=(22a,0,-h),∴O∴OD→∥PA→,又PA?平面∴OD∥平面PAB.(2)∵PA=2a,∴h=142∴OD→=(-24可求得平面PBC的一個法向量n=(-1,1,77∴cos<OD→,n>=QUOTEOD→·n|OD→設(shè)OD與平面PBC所成的角為θ,則sinθ=|cos<OD→,n>|=∴OD與平面PBC所成角的正弦值為2103022.【解析】方法一:以A為原點,以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,由AB=2,CD=1,AD=2,PA=4PQ=4,M,N分別是PD,PB的中點,可得A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,1,0),D(2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(22(1)BC→=(2,-1,0),PB→=(0,2,-4),MQ→則有:n0⊥BC→?(x,y,z)·(2,-1,0)=0?2x-y=0,n0⊥PB→0?2y-4z=0,令z=1,則x=2,y=2?n0=(2,2,1).∴MQ→·n0=(-22,0,1)·又MQ?平面PCB,∴MQ∥平面PCB.(2)設(shè)平面的MCN的法向量為n=(x',y',z'),又CM→=(-22,-