高考數(shù)總復(fù)習(xí) 第10篇 第2講 排列與組合限時(shí)訓(xùn)練 理

第2講排列與組合分層A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：30分鐘滿(mǎn)分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·全國(guó))將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有()．A．12種 B．18種C．24種 D．36種解析先排第一列，因?yàn)槊苛械淖帜富ゲ幌嗤?，因此共有Aeq\o\al(3,3)種不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有Aeq\o\al(1,2)種不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1種排法．因此共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(1,2)·1＝12(種)不同的排列方法．答案A2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有()．A．24種 B．60種C．90種 D．120種解析可先排C、D、E三人，共Aeq\o\al(3,5)種排法，剩余A、B兩人只有一種排法，由分步計(jì)數(shù)原理滿(mǎn)足條件的排法共Aeq\o\al(3,5)＝60(種)．答案B3．如果n是正偶數(shù)，則Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)＋Ceq\o\al(n,n)＝()．A．2n B．2n－1C．2n－2 D．(n－1)2n－1解析(特例法)當(dāng)n＝2時(shí)，代入得Ceq\o\al(0,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝2，排除答案A、C；當(dāng)n＝4時(shí)，代入得Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝8，排除答案D.故選B.答案B4．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為()．A．42 B．30C．20 D．12解析可分為兩類(lèi)：兩個(gè)節(jié)目相鄰或兩個(gè)節(jié)目不相鄰，若兩個(gè)節(jié)目相鄰，則有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,6)＝12種排法；若兩個(gè)節(jié)目不相鄰，則有Aeq\o\al(2,6)＝30種排法．由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有12＋30＝42種排法(或Aeq\o\al(2,7)＝42)．答案A二、填空題(每小題5分，共10分)5．(·汕頭調(diào)研)如圖，電路中共有7個(gè)電阻與一個(gè)電燈A，若燈A不亮，因電阻斷路的可能性共有________種情況．解析每個(gè)電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)，圖中從上到下的三條支線路，分別記為支線a、b、c，支線a，b中至少有一個(gè)電阻斷路情況都有22－1＝3種；支線c中至少有一個(gè)電阻斷路的情況有23－1＝7種，每條支線至少有一個(gè)電阻斷路，燈A就不亮，因此燈A不亮的情況共有3×3×7＝63種情況．答案636．(·鄭州模擬)從－3，－2，－1,0,1,2,3,4八個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c的取值，問(wèn)共能組成________個(gè)不同的二次函數(shù)．解析a，b，c中不含0時(shí)，有Aeq\o\al(3,7)個(gè)；a，b，c中含有0時(shí)，有2Aeq\o\al(2,7)個(gè)．故共有Aeq\o\al(3,7)＋2Aeq\o\al(2,7)＝294個(gè)不同的二次函數(shù)．答案294三、解答題(共25分)7．(12分)7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種．(1)A，B必須當(dāng)選；(2)A，B必不當(dāng)選；(3)A，B不全當(dāng)選；(4)至少有2名女生當(dāng)選；(5)選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔(dān)任，班長(zhǎng)必須由女生擔(dān)任．解(1)由于A，B必須當(dāng)選，那么從剩下的10人中選取3人即可，故有Ceq\o\al(3,10)＝120種選法．(2)從除去的A，B兩人的10人中選5人即可，故有Ceq\o\al(5,10)＝252種選法．(3)全部選法有Ceq\o\al(5,12)種，A，B全當(dāng)選有Ceq\o\al(3,10)種，故A，B不全當(dāng)選有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(3,10)＝672種選法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或沒(méi)有女生，故可用間接法進(jìn)行．所以有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(5,7)＝596種選法．(5)分三步進(jìn)行；第1步，選1男1女分別擔(dān)任兩個(gè)職務(wù)有Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(1,5)種選法．第2步，選2男1女補(bǔ)足5人有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)種選法．第3步，為這3人安排工作有Aeq\o\al(3,3)方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＝12600種選法．8．(13分)直線x＝1，y＝x，將圓x2＋y2＝4分成A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，如圖用五種不同的顏色給他們涂色，要求共邊的兩區(qū)域顏色互異，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，共有多少種不同的涂色方法？解法一第1步，涂A區(qū)域有Ceq\o\al(1,5)種方法；第2步，涂B區(qū)域有Ceq\o\al(1,4)種方法；第3步，涂C區(qū)域和D區(qū)域：若C區(qū)域涂A區(qū)域已填過(guò)顏色，則D區(qū)域有4種涂法；若C區(qū)域涂A、B剩余3種顏色之一，即有Ceq\o\al(1,3)種涂法，則D區(qū)域有Ceq\o\al(1,3)種涂法．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)·(4＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3))＝260種不同的涂色方法．法二共可分為三類(lèi)：第1類(lèi)，用五色中兩種色，共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)種涂法；第2類(lèi)，用五色中三種色，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種涂法；第3類(lèi)，用五色中四種色，共有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)種涂法．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝260種不同的涂色方法．分層B級(jí)創(chuàng)新能力提升1．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的排列方式共有()．A．576種 B．720種C．864種 D．1152種解析由題意，先排1,3,5,7，有Aeq\o\al(4,4)種排法；再排6，由于6不能和3相鄰，故6有3種排法；最后排2和4，在不與6相鄰的4個(gè)空中排上2和4，有Aeq\o\al(2,4)種排法，所以共有Aeq\o\al(4,4)×3×Aeq\o\al(2,4)＝864種排法．答案C2．(·山東)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()．A．232 B．252C．472 D．484解析若沒(méi)有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝64種，若2張同色，則有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,4)＝144種；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝192種，乘余2張同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,4)＝72種，所以共有64＋144＋192＋72＝472種不同的取法．故選C.答案C3．(·深圳模擬)某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A，有5次出牌機(jī)會(huì)，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人不同的出牌方法共有________種．解析出牌的方法可分為以下幾類(lèi)：(1)5張牌全部分開(kāi)出，有Aeq\o\al(5,5)種方法；(2)2張2一起出，3張A一起出，有Aeq\o\al(2,5)種方法；(3)2張2一起出，3張A分3次出，有Aeq\o\al(4,5)種方法；(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,5)種方法；(5)2張2分開(kāi)出，3張A一起出，有Aeq\o\al(3,5)種方法；(6)2張2分開(kāi)出，3張A分兩次出，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,5)種方法．因此，共有不同的出牌方法Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,5)＝860(種)．答案8604．小王在練習(xí)電腦編程，其中有一道程序題的要求如下：它由A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)子程序構(gòu)成，且程序B必須在程序A之后，程序C必須在程序B之后，執(zhí)行程序C后須立即執(zhí)行程序D，按此要求，小王的編程方法有__________種．解析對(duì)于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整體，A，B，C，D產(chǎn)生四個(gè)空，所以E有4種不同編程方法，然后四個(gè)程序又產(chǎn)生5個(gè)空，所以F有5種不同編程方法，所以小王有20種不同編程方法．答案205．某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中：(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？(3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？(4)隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？解(1)只需從其他18人中選3人即可，共有Ceq\o\al(3,18)＝816(種)；(2)只需從其他18人中選5人即可，共有Ceq\o\al(5,18)＝8568(種)；(3)分兩類(lèi)：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,18)＋Ceq\o\al(3,18)＝6936(種)；(4)法一(直接法)：至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類(lèi)：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(1,8)＝14656(種)．法二(間接法)：由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得Ceq\o\al(5,20)－(Ceq\o\al(5,12)＋Ceq\o\al(5,8))＝14656(種)．6．在m(m≥2)個(gè)不同數(shù)的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m時(shí)pi＞pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù))，則稱(chēng)pi與pj構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱(chēng)為該排列的逆序數(shù)．記排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序數(shù)為an.如排列21的逆序數(shù)a1＝1，排列321的逆序數(shù)a2＝3，排列4321的逆序數(shù)a3＝6.(1)求a4、a5，并寫(xiě)出an的表達(dá)式；(2)令bn＝eq\f(an,an＋1)＋eq\f(an＋1,an)，證明：2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….(1)解由已知條件a4＝Ceq\o\al(2,5)＝10，a5＝Ceq\o\al(2,6)＝15，則an＝Ceq\o\al(2,n＋1)＝eq\f(nn＋1,2).(2)證明bn＝eq\f(an,an＋1)＋eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋2)＋eq\