6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值（第1課時(shí)）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

6.2.2

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值第六章人教B版

數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解極大值、極小值的概念.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會(huì)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù).4.通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,提高直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)極值點(diǎn)與極值1.如圖,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=d,e,f,g,h,i處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?y=f(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少?在這些點(diǎn)附近,y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律?提示:以d,e兩點(diǎn)為例,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=d處的函數(shù)值f(d)比在點(diǎn)x=d附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f'(d)=0,在x=d附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0.類似地,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=e處的函數(shù)值f(e)比在點(diǎn)x=e附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f'(e)=0,在x=e附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0.2.(1)一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,設(shè)x0∈D,如果對(duì)于x0附近的任意不同于x0的x,都有①

f(x)<f(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),此時(shí)f(x)在x0處取極大值;②

f(x)>f(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn),此時(shí)f(x)在x0處取極小值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都稱為

極值點(diǎn)

,極大值與極小值都稱為

極值

.(2)一般地,如果x0是y=f(x)的極值點(diǎn),且f(x)在x0處可導(dǎo),則必有

f'(x0)=0.(3)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且f'(x0)=0.①如果對(duì)于x0左側(cè)附近的任意x,都有

f'(x)>0,對(duì)于x0右側(cè)附近的任意x,都有f'(x)<0,那么此時(shí)x0是f(x)的極大值點(diǎn).②如果對(duì)于x0左側(cè)附近的任意x,都有

f'(x)<0,對(duì)于x0右側(cè)附近的任意x,都有f'(x)>0,那么此時(shí)x0是f(x)的極小值點(diǎn).③如果f'(x)在x0的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為

正號(hào)

(或均為

負(fù)號(hào)

),則x0一定不是y=f(x)的極值點(diǎn).3.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c,其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的極小值是(

)A.a+b+c

B.8a+4b+cC.3a+2b

D.c解析:由f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值c.答案:D【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)函數(shù)的極大值一定大于極小值.(×)(2)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的.(×)(3)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有極值.(×)(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,則方程f'(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有解.(√)(5)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值的充要條件是f'(x)=3x2+2ax+b=0有解,即Δ≥0.(×)合作探究釋疑解惑探究一求函數(shù)的極值【例1】

求下列函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.分析:求f(x)的定義域→求f'(x)→解方程f'(x)=0→列表分析→結(jié)論

解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x=3或x=-1.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值-6↗當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘極小值3↗故f(x)的極小值點(diǎn)為1,極小值為3,無極大值點(diǎn)和極大值.求函數(shù)的極值應(yīng)注意以下兩點(diǎn):(1)在討論可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值時(shí),若方程f'(x)=0的實(shí)數(shù)根較多,則應(yīng)注意使用表格,使極值點(diǎn)一目了然;(2)討論函數(shù)的性質(zhì)要遵循定義域優(yōu)先的原則.反思感悟【變式訓(xùn)練1】

設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-9x的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f'(2)=15.(1)求函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解:(1)∵f'(x)=3x2+2ax-9,∴f'(2)=12+4a-9=15,∴a=3.∴f(x)=x3+3x2-9x,f'(x)=3x2+6x-9,∴f(0)=0,f'(0)=-9.∴切線方程為y=-9x.(2)令f'(x)=0,得x=-3或x=1.當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f'(x)的變化情況如下表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗27↘-5↗故當(dāng)x=-3時(shí),f(x)取極大值27,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取極小值-5.探究二已知函數(shù)極值求參數(shù)【例2】

函數(shù)

有極值點(diǎn),則a的取值范圍為

.

解析:f'(x)=x2-2x+a.由題意,關(guān)于x的方程x2-2x+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,所以Δ=4-4a>0,解得a<1.答案:(-∞,1)延伸探究1.若例2中函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)是-1,則a的值為

.

解析:f'(x)=x2-2x+a.由題意,f'(-1)=1+2+a=0,解得a=-3.則f'(x)=x2-2x-3.經(jīng)驗(yàn)證可知,f(x)在x=-1處取得極大值.答案:-32.若例2中函數(shù)f(x)有一正一負(fù)兩個(gè)極值點(diǎn),則a的取值范圍為

.

答案:(-∞,0)反思感悟已知函數(shù)極值的情況,逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式,進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),注意以下兩點(diǎn):(1)常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解;(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.探究三極值的綜合運(yùn)用【例3】

求函數(shù)f(x)=x3-3x2-a(a∈R)的極值,并討論當(dāng)a為何值時(shí),函數(shù)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn).分析:先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,再借助函數(shù)的圖象判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解:f'(x)=3x2-6x,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,由f'(x)=0得x1=0,x2=2.當(dāng)x變化時(shí),f'(x)與f(x)的變化情況如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗

極大值↘極小值↗因此,函數(shù)f(x)在x=0處有極大值,極大值為f(0)=-a;在x=2處有極小值,極小值為f(2)=-4-a.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即方程f(x)=0的解,也就是方程x3-3x2=a的解,f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為直線y=a與曲線y=x3-3x2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),易知函數(shù)y=x3-3x2的極大值為0,極小值為-4(如圖所示).故當(dāng)a>0或a<-4時(shí),函數(shù)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn).【變式訓(xùn)練2】

若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極值

.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)不相等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(2)由(1)知f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2).令f'(x)=0,得x=2或x=-2,當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:【易錯(cuò)辨析】

將導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)誤認(rèn)為極值點(diǎn)而致誤【典例】

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,求f(2)的值.當(dāng)a=4,b=-11時(shí),f(2)=18.當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f(2)=11.故f(2)的值為11或18.以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:應(yīng)注意“f'(x0)=0”是“可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.錯(cuò)解忽略了對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn),導(dǎo)致出現(xiàn)增解.但當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,不可能在x=1處取得極值,故f(x)=x3+4x2-11x+16.故f(2)=18.“f'(x0)=0”是“x0為極值點(diǎn)”的必要不充分條件.對(duì)于給出函數(shù)極大(小)值的條件,一定既要考慮f'(x0)=0,又要檢驗(yàn)是否符合“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的條件.防范措施【變式訓(xùn)練】

已知f(x)=x3+ax2+bx+b2,當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取極值8,則a+b=

.

解析:由f(x)=x3+ax2+bx+b2,得f'(x)=3x2+2ax+b,又當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取極值8,隨堂練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a,b),導(dǎo)函數(shù)f'(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極小值點(diǎn)有(

)A.5個(gè)

B.4個(gè)

C.3個(gè)

D.2個(gè)答案:C2.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x,則(

)A.當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極大值B.當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極小值C.當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極大值D.f(x)無極值解析:f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立,故f(x)在R上是增函數(shù),f(x)無極值.故選D.答案:D3.函數(shù)y=2x3-15x2+36x-24的極小值為

.

解析:y'=6x2-30x+36=6(x2-5x+6)=6(x-2)(x-3).令y'>0,得x<2或x>3,令