第一次數(shù)學危機

13第一次數(shù)學危機2歷史上，數(shù)學的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折叫做危機。危機意味著挑戰(zhàn)，危機的解決就意味著進步。所以，危機往往是數(shù)學發(fā)展的先導。數(shù)學發(fā)展史上有三次數(shù)學危機。每一次數(shù)學危機，都是數(shù)學的基本部分受到質疑。實際上，也恰恰是這三次危機，引發(fā)了數(shù)學上的三次思想解放，大大推動了數(shù)學科學的發(fā)展。一、什么是數(shù)學危機

危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的。人類最早認識的是自然數(shù)。從引進零及負數(shù)就經歷過斗爭：要么引進這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通；引進分數(shù)使乘法有了逆運算——除法。接著又出現(xiàn)了這樣的問題，是否所有的量都能用有理數(shù)來表示?于是發(fā)現(xiàn)無理數(shù)就導致了第一次數(shù)學危機，而危機的解決也就促使邏輯的發(fā)展和幾何學的體系化。

方程的解導致了虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開始就被認為是“不實的”。可是這種不實的數(shù)卻能解決實數(shù)所不能解決的問題，從而為自己爭得存在的權利。

幾何學的發(fā)展從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到各種非歐幾何學。5二、畢達哥拉斯學派和他們的

“萬物皆數(shù)”

1.畢達哥拉斯Pythagoras(約前570年—前500年）

畢達哥拉斯是公元前500多年古希臘的哲學家、數(shù)學家、天文學家。6畢達哥拉斯(公元前570年～公元前500年)7

畢達哥拉斯學派是一個宗教式的組織，也致力于哲學與數(shù)學的研究，促進了數(shù)學和理性哲學的發(fā)展，并對柏拉圖和亞里士多德的思想產生很大影響。8

相傳“哲學”（希臘原詞意為“智力愛好”）和“數(shù)學”（希臘原詞意為“可學到的知識”）這兩個詞是畢達哥拉斯本人所創(chuàng)。92.畢達哥拉斯學派在數(shù)學上的貢獻

1）數(shù)學證明的起始

泰勒斯

畢達哥拉斯

歐幾里得證明是要有假設的:公設、公理及定義。許多人推測，歐幾里得幾何《原本》前兩卷的大部分材料，來源于畢達哥拉斯學派。10

2）數(shù)學抽象的提出

從實物的數(shù)與形，抽象到數(shù)學上的數(shù)與形，本身就把數(shù)學推向了科學。

3）畢達哥拉斯定理

即“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。在中國叫商高定理或勾股定理。11《周髀算經》中的“勾股定理”

（約公元前700年）

《周髀算經》卷上記載西周開國時期周公與大夫商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三股修四經隅五”，這是勾股定理的特例。卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！?2

中國數(shù)學史上最先完成勾股定理證明：公元3世紀三國時期的趙爽。趙爽注《周髀算經》，作“勾股圓方圖”，其中的弦圖，相當于運用面積的“出入相補”方法（劉徽），證明了勾股定理。如圖1314

西方文獻中稱此定理為畢達哥拉斯定理。曾經有人編書，收集了勾股定理的370種證法。153.畢達哥拉斯學派的“萬物皆數(shù)”學說

1）“萬物皆數(shù)”學說

①數(shù)，是世界的法則

畢達哥拉斯說的“數(shù)”，是指自然數(shù)，即正整數(shù)，同時還包含它們的比，即正分數(shù)。

②任意兩條線段a、d都是可公度的

“可公度的”，意即有公共的度量單位

t。162）實例

①形數(shù)

三邊形數(shù)、四邊形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)；17

三邊形數(shù)四邊形數(shù)五邊形數(shù)六邊形數(shù)18

“形數(shù)”體現(xiàn)了數(shù)與形的結合；讓我們從又一個側面了解“萬物皆數(shù)”。

畢達哥拉斯學派的“萬物皆數(shù)”學說，加強了數(shù)學中的理論化傾向。19

②多個場合下的小整數(shù)比

ⅰ產生諧音的各個弦的長度成小整數(shù)比

繃得一樣緊的兩根弦，若其長度成小整數(shù)比，就會發(fā)出諧音。例如，1︰2時短弦的音高

8度，2︰3時短弦音高5度，3︰4時短弦音高4

度；當三根弦的長度之比為3︰4︰6時，就得到諧音。20

ⅱ同名正多邊形復蓋平面的情形（即鋪正多邊形地磚的情形）

只有三種情況：環(huán)繞平面上一個點可以緊密地放6個正三角形，或者4個正方形，或者3個正六邊形，如圖：2122

畢達哥拉斯學派確信：“宇宙的和諧在于數(shù)”，神是以數(shù)的規(guī)律創(chuàng)造世界的。

“萬物皆數(shù)”學說產生了很大的影響。23三、與第一次數(shù)學危機對“萬物皆數(shù)”理論產生沖擊的，卻正是畢達哥拉斯學派自己的一個發(fā)現(xiàn)，用現(xiàn)在的符號，這就是。241.的發(fā)現(xiàn)和危機的產生C11根據(jù)畢達哥拉斯定理，邊長為1的正方形，其對角線長度若記為，則，推出1）一個不能表成整數(shù)比的數(shù)25下邊證明，當時，不能表成整數(shù)比。由此知是偶數(shù)。由于偶數(shù)的平方是偶數(shù)，奇數(shù)的平方是奇數(shù)，∴是偶數(shù)。如果不然，有兩個正整數(shù)和使（不妨設是既約分數(shù)即）。兩端平方得，即。26因“既約”，不能再是偶數(shù)，于是是奇數(shù)。這樣的左端，因是奇數(shù)而不能被4整除，右端卻因是偶數(shù)而可以被4整除。這個矛盾說明開始的假設是錯誤的。從而不能表成兩個整數(shù)的比。證畢。

[注]：這是“反證法”的開始。272）不可公度的線段

設正方形的邊長為，對角線長為，如圖：daa28根據(jù)畢達哥拉斯定理，。如果存在第三個線段長為，使得和都是的整數(shù)倍，如

，

，這里，是整數(shù).29由得，從而，又可以類似于上一個證明導出矛盾。于是，與就是不可公度線段。所以，不可能存在長度為的線段，使得且。（嚴重：“可公度”涉及“成比例”，進一步還涉及“相似形”）30

3）危機產生，封鎖消息

希帕索斯泄露秘密，被拋進大海。一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的

希帕索斯(Hippasus)314）無理數(shù)

像這樣的數(shù)，和其它一些不能表成整數(shù)比的數(shù)，稱為無理數(shù)。

稱兩個整數(shù)之比為有理數(shù)，而把那樣的一類數(shù)叫做無理數(shù)，即沒有道理的數(shù)，原來是翻譯出了問題。32rationalnumber是有理數(shù)的英文名稱，而rational是一個多義詞，含有“比的”，“有理的”意思。而詞根ratio來自希臘文，完全是“比”的意思。對“rationalnumber”正確的翻譯應該是“比數(shù)”。“比數(shù)”的名稱才正確反應了這類數(shù)是兩個整數(shù)之比的內涵。人類在認識有理數(shù)之前，唯一知道的是自然數(shù)。那時所謂的“數(shù)”，都是自然數(shù)。把由自然數(shù)產生的數(shù)叫做比數(shù)，其實才符合古人的原意。33

在東方，最早把rationalnumber翻譯過來的是日本人?？赡苁悄莻€日本人英文不好，數(shù)學又不太懂，把它翻譯成“有理數(shù)”。而日本文字又和漢字形似，于是中國人把這三個字照搬過來，沿用至今，形成習慣。如果正確地把兩個整數(shù)之比叫做“比數(shù)”，那么像一類的數(shù)稱為“非比數(shù)”，還是頗有道理的。34

2.“兩個量的比相等”的新定義

——部分地消除了危機

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兩個量的比相等，即。約公元前370年，希臘數(shù)學家歐多克索斯和阿契塔的定義：“稱四個量的第一個和第二個之比與第三個和第四個之比相等，如果取第一個和第三個量的任何相同的倍數(shù)，第二個和第四個量的任何其他的相同倍數(shù)后，從第三個量的倍數(shù)大于、等于或小于第四個量的倍數(shù)，便有第一個量的倍數(shù)對第二個量的倍數(shù)的相應關系”。

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“兩個量的比相等”的這一定義，是正確的、嚴格的，部分地解決了危機，使幾何的基礎牢靠了，幾何從全部數(shù)學中脫穎而出。歐幾里得的幾何《原本》中也采用了這一定義，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴密數(shù)學的基礎。但是徹底解決這一危機是在19世紀，依賴于數(shù)系的擴充和實數(shù)理論的建立。37

3.無理數(shù)與數(shù)系的擴張——危機的解決

1）有理數(shù)的稠密性

定義：“一個數(shù)集在數(shù)軸上是稠密的”是指，在數(shù)軸上，每一個不管處于什么位置，也不論是多么小的區(qū)間（,）中都存在著這個數(shù)集中的點。

定理：有理數(shù)集在數(shù)軸上是稠密的。

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2）數(shù)軸

①古代觀點：數(shù)軸?有理數(shù)②現(xiàn)代觀點：數(shù)軸?實數(shù)

393）數(shù)系的擴張——危機的解決

①自然數(shù)系②有理數(shù)系③實數(shù)系40實數(shù)系具有連續(xù)性。有理數(shù)系具有稠密性,卻不具有連續(xù)性。數(shù)系的連續(xù)性和稠密性是兩個不同的概念。數(shù)系的稠密性，通俗說成“到處都有”、“密密麻麻”；數(shù)系的連續(xù)性，通俗說成“一個挨一個”、“針插不進，水潑不進”。連續(xù)性是一個很好的性質。但是對“數(shù)系的連續(xù)性”的概念，給出嚴格的數(shù)學定義，就那么容易了。數(shù)系擴張為實數(shù)系以后，第一次數(shù)學危機就徹底解決了。因為數(shù)的范圍擴充以后，“萬物皆數(shù)”的命題就是正確的了；不能表成整數(shù)比的數(shù)，即無理數(shù)，也是實數(shù)系中的數(shù)了。4142[思]：能說“任何兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù)”嗎？為什么？43四、反證法與無理數(shù)

1.反證法

1）反證法的威力

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例：有數(shù)學書、物理書、外語書共十本。證明：在這三種書籍中，有一種書籍至少有四本。窮舉法：數(shù)學書10998887777…0…0物理書0010120123…0…10外語書0102103210…10…0反證法：452）反證法的依據(jù)和步驟依據(jù)：邏輯里的“排中律”

（命題A與命題非A中，必有一個是正確的）。

步驟：否定原命題

→

推導出矛盾

→

原命題成立。3）哈代對反證法的評論

“反證法是遠比任何棄子術更為高超的一種策略。棋手可以犧牲的只是幾個棋子，而數(shù)學家可以犧牲整個一盤棋?！?6472.定理：設是大于1的自然數(shù)，寫成不同素數(shù)方冪的乘積為，則是有理數(shù)全是偶數(shù)。

[思]：證明該定理。11醉翁亭記

1．反復朗讀并背誦課文，培養(yǎng)文言語感。

2．結合注釋疏通文義，了解文本內容，掌握文本寫作思路。

3．把握文章的藝術特色，理解虛詞在文中的作用。

4．體會作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、導入新課范仲淹因參與改革被貶，于慶歷六年寫下《岳陽樓記》，寄托自己“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”的政治理想。實際上，這次改革，受到貶謫的除了范仲淹和滕子京之外，還有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文學家、史學家歐陽修。他于慶歷五年被貶謫到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期間，歐陽修在滁州留下了不遜于《岳陽樓記》的千古名篇——《醉翁亭記》。接下來就讓我們一起來學習這篇課文吧！【教學提示】結合前文教學，有利于學生把握本文寫作背景，進而加深學生對作品含義的理解。二、教學新課目標導學一：認識作者，了解作品背景作者簡介：歐陽修(1007—1072)，字永叔，自號醉翁，晚年又號“六一居士”。吉州永豐(今屬江西)人，因吉州原屬廬陵郡，因此他又以“廬陵歐陽修”自居。謚號文忠，世稱歐陽文忠公。北宋政治家、文學家、史學家，與韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏合稱“唐宋八大家”。后人又將其與韓愈、柳宗元和蘇軾合稱“千古文章四大家”。

關于“醉翁”與“六一居士”：初謫滁山，自號醉翁。既老而衰且病，將退休于潁水之上，則又更號六一居士?？陀袉栐唬骸傲缓沃^也？”居士曰：“吾家藏書一萬卷，集錄三代以來金石遺文一千卷，有琴一張，有棋一局，而常置酒一壺?！笨驮唬骸笆菫槲逡粻枺魏?？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之間，豈不為六一乎？”寫作背景：宋仁宗慶歷五年(1045年)，參知政事范仲淹等人遭讒離職，歐陽修上書替他們分辯，被貶到滁州做了兩年知州。到任以后，他內心抑郁，但還能發(fā)揮“寬簡而不擾”的作風，取得了某些政績?！蹲砦掏び洝肪褪窃谶@個時期寫就的。目標導學二：朗讀文章，通文順字1．初讀文章，結合工具書梳理文章字詞。2．朗讀文章，劃分文章節(jié)奏，標出節(jié)奏劃分有疑難的語句。節(jié)奏劃分示例

環(huán)滁/皆山也。其/西南諸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，瑯琊也。山行/六七里，漸聞/水聲潺潺，而瀉出于/兩峰之間者，釀泉也。峰回/路轉，有亭/翼然臨于泉上者，醉翁亭也。作亭者/誰？山之僧/曰/智仙也。名之者/誰？太守/自謂也。太守與客來飲/于此，飲少/輒醉，而/年又最高，故/自號曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之間也。山水之樂，得之心/而寓之酒也。節(jié)奏劃分思考“山行/六七里”為什么不能劃分為“山/行六七里”？

明確：“山行”意指“沿著山路走”，“山行”是個狀中短語，不能將其割裂?！巴?蔚然而深秀者”為什么不能劃分為“望之蔚然/而深秀者”？明確：“蔚然而深秀”是兩個并列的詞，不宜割裂，“望之”是總起詞語，故應從其后斷句?！窘虒W提示】引導學生在反復朗讀的過程中劃分朗讀節(jié)奏，在劃分節(jié)奏的過程中感知文意。對于部分結構復雜的句子，教師可做適當?shù)闹v解引導。目標導學三：結合注釋，翻譯訓練1．學生結合課下注釋和工具書自行疏通文義，并畫出不解之處?！窘虒W提示】節(jié)奏劃分與明確文意相輔相成，若能以節(jié)奏劃分引導學生明確文意最好；若學生理解有限，亦可在解讀文意后把握節(jié)奏劃分。2．以四人小組為單位，組內互助解疑，并嘗試用“直譯”與“意譯”兩種方法譯讀文章。3．教師選擇疑難句或值得翻譯的句子，請學生用兩種翻譯方法進行翻譯。翻譯示例：若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝，晦明變化者，山間之朝暮也。野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰，風霜高潔，水落而石出者，山間之四時也。直譯法：那太陽一出來，樹林里的霧氣散開，云霧聚攏，山谷就顯得昏暗了，朝則自暗而明，暮則自明而暗，或暗或明，變化不一，這是山間早晚的景色。野花開放，有一股清幽的香味，好的樹木枝葉繁茂，形成濃郁的綠蔭。天高氣爽，霜色潔白，泉水淺了，石底露出水面，這是山中四季的景色。意譯法：太陽升起，山林里霧氣開始消散，煙云聚攏，山谷又開始顯得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明變化的，就是山中的朝暮。春天野花綻開并散發(fā)出陣陣幽香，夏日佳樹繁茂并形成一片濃蔭，秋天風高氣爽，霜色潔白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季?！窘虒W提示】翻譯有直譯與意譯兩種方式，直譯鍛煉學生用語的準確性，但可能會降低譯文的美感；意譯可加強譯文的美感，培養(yǎng)學生的翻譯興趣，但可能會降低譯文的準確性。因此，需兩種翻譯方式都做必要引導。全文直譯內容見《我的積累本》。目標導學四：解讀文段，把握文本內容1．賞析第一段，說說本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此運用了怎樣的藝術手法。

明確：首先以“環(huán)滁皆山也”五字領起，將滁州的地理環(huán)境一筆勾出，點出醉翁亭坐落在群山之中，并縱觀滁州全貌，鳥瞰群山環(huán)抱之景。接著作者將“鏡頭”全景移向局部，先寫“西南諸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南諸峰之中，視野集中到最佳處。再寫瑯琊山“蔚然而深秀”，點山“秀”，照應上文的“美”。又寫釀泉，其名字透出了泉與酒的關系，好泉釀好酒，好酒叫人醉?！白砦掏ぁ钡拿直惆抵型赋?，然后引出“醉翁亭”來。作者利用空間變幻的手法，移步換景，由遠及近，為我們描繪了一幅幅山水特寫。2．第二段主要寫了什么？它和第一段有什么聯(lián)系？明確：第二段利用時間推移，抓住朝暮及四季特點，描繪了對比鮮明的晦明變化圖及四季風光圖，寫出了其中的“樂亦無窮”。第二段是第一段“山水之樂”的具體化。3．第三段同樣是寫“樂”，但卻是寫的游人之樂，作者是如何寫游人之樂的？明確：“滁人游”，前呼后應，扶老攜幼，自由自在，熱鬧非凡；“太守宴”，溪深魚肥，泉香酒洌，美味佳肴，應有盡有；“眾賓歡”，投壺下棋，觥籌交錯，說說笑笑，無拘無束。如此勾畫了游人之樂。4．作者為什么要在第三段寫游人之樂？明確：寫滁人之游，描繪出一幅太平祥和的百姓游樂圖。游樂場景映在太守的眼里，便多了一層政治清明的意味。太守在游人之樂中酒酣而醉，此醉是為山水之樂而醉，更是為能與百姓同樂而醉。體現(xiàn)太守與百姓關系融洽，“政通人和”才能有這樣的樂。5．第四段主要寫了什么？明確：寫宴會散、眾人歸的情景。目標導學五：深入解讀，把握作者思想感情思考探究：作者以一個“樂”字貫穿全篇，卻有兩個句子別出深意，不單單是在寫樂，而是另有所指，表達出另外一種情緒，請你找出這兩個句子，說說這種情緒是什么。明確：醉翁之意不在酒，在乎山水之間也。醉能同其樂，醒能述以文者，太守也。這種情緒是作者遭貶謫后的抑郁，作者并未在文中袒露胸懷，只含蓄地說：“醉能同其樂，醒能述以文者，太守也?！贝司渑c醉翁亭的名稱、“醉翁之意不在酒，在乎山水之間也”前后呼應，并與“滁人游”“太守宴”“眾賓歡”“太守醉”連成一條抒情的線索，曲折地表達了作者內心復雜的思想感情。目標導學六：賞析文本，感受文本藝術特色1．在把握作者復雜感情的基礎上朗讀文本。2．反復朗讀，請同學說說本文讀來有哪些特點，為什么會有這些特點。(1)句法上大