2024年新高考高三數學復習階段性復習：對數函數B卷 （解析版）

對數函數B卷（解析版）

（本試卷滿分60分，建議用時：40分鐘）

一、單項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.設。=log23涉=log34.5,c=log46,貝1J（）

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【答案】C

33

【解析】a=log23>log22V2=log22+log2,/?=log34.5<log33A/3=log33+log3\/3=-,所以

39(3=l+log|,c=log6=logj43333

a>->b,又，=log3不=log33x—34x—nl+logq，因10g3j〉10g45,

22I22

所以

綜上，a>b>c.

故選C.

2.設xeR,用國表示不超過x的最大整數，則尸田稱為高斯函數，例如:[-0.3]=-1,[1刁=1.已知

函數〃x）=log2x+2）若x=4r?l,3）,則函數y=〃x）的值域為（）

A.（2,5）B.{2,5}C.{3,5}D.{5,8+log23}

【答案】B

1

【解析】當1</<2時,x=[f]=l,A/(x)=log2l+2=2,當2W/<3時,x=[f]=2,

/（%）=log22+2」=1+4=5,.?.函數y=f（x）的值域為{2,5}.

故選B.

3.19世紀美國天文學家西蒙?紐康在翻閱對數表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數出現(xiàn)的頻率更高.約半個

世紀后，物理學家本?福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實際生活得出的大量數據中，以1開頭的數出現(xiàn)的頻數

約為總數的三成，并提出本?福特定律，即在大量人進制隨機數據中，以“開頭的數出現(xiàn)的概率為

g（"）=log,%」，如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律.后來常有數學愛好者用此定律來檢

n

驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性.若士片o（"）=*2：-嚕3（%eN*,左420）,則左的值

5

n=kl+10g2

為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

20"+]〃+22121

【解析】依題意，得￡/(")=%伏)+6。(左+D++^o(2O)=lg—+lg—++坨/=想丁，又

SkK+120k

故選B.

4.已知命題P：任意xeg,2,使log；x-glog2X-3V。為真命題，則實數機的取值范圍為（）

(f2]B.(-oo,-2]C.[-2,2]D.[-2,+oo)

【答案】C

【解析】設UlogzX,則原命題等價于：任意使/一根/一3Vo為真命題，所以

（廠—mt—3jV0,其中fe[—1,1],設/⑺=—3（—1<二<1）,則函數/（。=廠—租7—3,te[—1,1]

的最大值為/,T、與"，1、中的較大者，所以17:（，-1）4八0，?.?f（l+m-3“<0八，解得—2<m<2.

[j[1）<0[l-m-3<0

故選C.

二、多項選擇題（本題共1小題，每小題5分，共5分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

5.已知函數〃%）=1。4（7?看-x）+3.則下列說法正確的是（）

A.f（l）+/（-l）=6B.函數/（x）的圖象關于點（0,3）對稱

C.函數/（X）在定義域上單調遞增D.若實數。，6滿足/（。）+/。）>6,貝iJa+6<0

【答案】ABD

【解析】對于A選項，/(1)+/(-1)=log(#7T-l)+3+log

2+1+1+3=6故A正確;

對于B選項，對任意的XER,y/x2+l+x>\x\-x>0,所以函數/（%）=ln（J%2+i一q+3的定義域為R,

fk-x）+f{x）=InQs[+l+x）+3+ln（Vx2+l一x）+3=ln（.r2+l-x2）+6=6,所以函數的圖象關于點

（0,3）對稱，故B正確；

對于C選項，對于函數Mx）=ln（7Z7I-x）,該函數的定義域為R,

/z(-%)+〃(%)=-)=ln(%2+i_%2)=0,即力(_九)=_"(%),所以函數為奇函

數，當xNO時，內層函數+］+x為減函數,外層函數y=ln〃為增函數，所以函數網力

在［0,+8)上為減函數，故函數%(%)在(-8,0］上也為減函數，因為函數%(%)在R上連續(xù)，故函數/z(x)在R

上為減函數，又因為函數y=尤+3在R上為增函數，故函數/(X)在R上為減函數，故C不正確；

對于D選項，因為實數a,。滿足〃a)+〃6)>6,貝廳(。)>6-/0)=/(-6),因為〃x)在定義域上單

調遞減，可得。<-)，即。+6<0,故D正確.

故選ABD.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中橫線上)

6.已知實數”，。滿足2"=5"=加且!+：=：，則〃7=________.

ab2

【答案】100

【解析】由2"=5"=^可得。=108，相,6=1085"?=>1=108,,2,：=108”,5,又,+?=!，即

abab2

log,?2+logm5=logra10=1,所以/=10，即m=100.

故答案為100.

7.已知定義在{xwR|*wO}上的函數/(x)具備下列性質，①〃元)是偶函數，②/(X)在(。,+巧上單調遞

增,③對任意非零實數X、)都有外孫)=〃x)+〃y),寫出符合條件的函數〃x)的一個解析式

(寫一個即可).

【答案】f(x)=1n\x\(答案不唯一)

【解析】函數/(》)=M忖的定義域為{xeR|x*0},對任意的xe{xeR|x20},f(-x)=In|-A|=ln|x|=/(x),

即函數〃x)=lnW為偶函數，/(x)=h國滿足①;

當尤>0時，/(x)=lnx,則函數/(x)=lnW在(0,+功上為增函數，〃x)=ln|N滿足②；對任意的非零實

數x、y，f(xy)=ln|Ay|=ln|x|+ln|y|=/(x)+/(y),“耳=1川工滿足③.

故滿足條件的一個函數解析式為/(力=山忖.

故答案為〃x)=lnW(答案不唯一).

8.若/(尤)=lna++6是奇函數，貝1］。=,b=.

【答案】-1,In4

4

【解析】因為/（x）=In。+丁匚+6是奇函數，所以其定義域關于原點對稱，由"+可得，

2-尤2-x

（2-x）（2a+l—依）*0,所以無=衛(wèi)1=-2,解得所以函數的定義域為（口,-2）（-2,2）1（2,+s）,

a4

因為/（X）在x=o處有定義，即/（0）=。，所以ln，+6=0,解得6=ln4.

4

故答案為ln4.

4

四、解答題（本大題共2小題，每小題10分，共20分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

9.已知函數/（x）=log“（x—1）+2（a>0,且ami）的圖象過定點P.

（1）求P的坐標；

（2）若/'（尤）在［2,4］上的圖象始終在直線y=-尤+8的下方，求。的取值范圍.

【解析】（1）令>2,則/⑵=log“l(fā)+2=2,所以尸的坐標為（2,2）.

（2）當％=2時，y=6,當％=4時，y=4.

當a>l時,/（x）在［2,4］上單調遞增,則〃4）=log〃3+2<4,得">有；

當。<”1時，〃x）在［2,4］上單調遞減，〃4）=log13+2<4恒成立.

故。的取值范圍為（0，l）u（6，+s）.

10.已知定義在R上的奇函數/（x）=藁言，（其中孤”為常數）.

（1）求實數以〃的值；

（2）求不等式八/。））+/匕）<0的解集.

【解析】（1）因為/（x）是定義在R上的奇函數，所以"0）=0,即學生=0,所以m=1,經檢驗符合題