2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：圓的基本性質(zhì)(二)

圓的基本性質(zhì)（二）

知識梳理

1.弧長

在半徑為r的圓上，圓心角a所對的弧長1的計算公式為I=篝

loU

由上述弧長公式可推出：踐=竺%r=理

nrmi

2.扇形的面積

如果扇形的半徑為r,圓心角為a,扇形的弧長為1,

那么扇形面積的計算公式為：S=喏="r

如果弓形的面積是s,弓形所在扇形的面積是St,圓心角是a,扇形的兩條半徑與弓形的弦所成的三角形面

積是S2，則當(dāng)a=180。時，叫％;當(dāng)a<180。時,S=S2;當(dāng)a>180。時,S=Si+S2.

3.圓錐的側(cè)面積和底面

圓錐可以看作是一個直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作圓錐的側(cè)

面.無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條斜邊都叫作圓錐的母線，另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫作圓錐的底面.如果記圓錐的高

線長為h,底面半徑為r,母線長為1,則興+產(chǎn)=巴

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐的母線長1,弧長是圓錐的底面周長C=27rr,側(cè)面積

S=nrl.

側(cè)

4.圓錐的全面積

圓錐的側(cè)面積與底面積的和叫作圓錐的全面積（或表面積）,Sx=nrl+nr2.

其中，（1）（2）中的1代表扇形的弧長，與⑶中的1表示的意義不一樣.（3）中的1表示圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的

半徑.圓錐的底面圓的周長為圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的弧長.

典型例題

例1

如圖所示，在扇形OAB中，半徑（0A=4?C是0B的中點(diǎn)，乙40B=120°,,則陰影部分的面積為

解析過C作CDLAO的延長線于D.

因?yàn)橐?0B=120°,

所以4DOB=60°.

因?yàn)?C是OB的中點(diǎn)，

所以CO=2.例1圖

又因?yàn)镃DXAO,

所以DC=CO-sinzDOB=V3,

所以S0Ac=|x￡)CxXO=|xV3x4=2丹

_120K,42_16K

所以Sa”“"=360°=V

=

所以SRMM介SMKAOU~S^OAC=-2>/3.

例2

解析已知以AB,AC為直徑作半圓.

所以Si+53=芳"=2兀,S2+S4=p

例3

如圖所示，一張扇形紙片，圓心角乙40B=120。,半徑AO的長為2,用它圍成一個圓錐的側(cè)面(接縫忽略不

計),則該圓錐底面的半徑為一.

解析因?yàn)镹AOB=120。,半徑AO的長為2,

所以弧48=鬻=?兀.

lol)3

將扇形紙片圍成一個圓錐，則弧AB=圓錐底面的圓的周長.例3圖

設(shè)底面圓的半徑為r,

4

侑

則

-兀

32w,該圓錐底面的半徑為|.

雙基訓(xùn)練

1.下列結(jié)論中，正確的是().

A.圓周角相等，則它們所對應(yīng)的弧相等B.90。的圓周角所對應(yīng)的弦是直徑

C.頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角D.圓周角度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半

2.如圖所示,AB為。0的直徑，點(diǎn)C在。0上，若NC=30。,則NBOC=().

A.30°B.60°C.90°D.120°

3.如圖所示,。0的半徑為2,NACB=60。,!^AB=().

42遍B.V3C.2D.1

A

A

第2題圖第4題圖

4.如圖所示，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),AB為。O的直徑,AB=4,/BED=120。廁陰影部分的面積之和為（）.

A.1B.叵C.V3O.2V3

2

5將一個圓心角為90。的扇形圍成圓錐的側(cè)面,則該圓錐的側(cè)面積SM與底面積SK的關(guān)系為（）.

A.S=S^B.S=2S^C.S—=3S-D.S=^S^

側(cè)底側(cè)底底底側(cè)底

6.如圖所示.四邊形ABCD為菱形,/A=6（F,AB=2扇開?BEF的半徑為2.圓心角為60°，則圖中陰影部分的面

積是（）.

A.-----V3C.n--D.7T-V3

3232

7.如圖所示，在。O中,弦AB〃CD,若/ABC=3。。,貝!!/BOD=.

第6題圖

8.如圖所示點(diǎn)A.B,C,D在。。上,OB，AC,NAOB=60?!J/BDC=

9.如圖所示,在0O中,/AOB=120。,貝U/ACB=

10.已知△ABC內(nèi)接于OO,NOCB=25。,則NA=

11.如圖所示是仆ABC的外接圓,AD為。O的直徑,NB=40。,貝U/DAC=

12.如圖所示，已知AB為。O的直徑,NOCB=25。,則/D=

第9題圖

第11題圖第12題圖

13.如圖所示,已知點(diǎn)A,B,C,D都在。O上.弧CD的度數(shù)等于84°,CA是/OCD的角平分線廁/ABD+NCAO-

14.設(shè)圓的半徑為r,60。圓周角所對的弧長為1,貝山與r的關(guān)系為

15.如圖所示有兩個同心圓泮徑OA=4,OB=2,/AOC=120。,則陰影部分面積為

第15題圖第16題圖

16.如圖所示，已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑為4,CD分別為弧AB的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面

積等于.

17.正△ABC內(nèi)接于半徑為4的圓，則弧BC的長為—.

18.圓錐的底面半徑為1,母線為3，則圓錐表面積為一.

19.用半徑為4的半圓圍成一個圓錐的側(cè)面，則此圓錐的底面半徑為一.

能力提升

20.如圖所示,AB是。。的直徑,C,D為半圓的三等分點(diǎn)，則NC+/D+NE=（）.

A.90°B.105°C.120°D.150°

21.如圖所示,四邊形ABDE內(nèi)接于。O.對角線AD,BE相交于點(diǎn)P,C為弧AB的中點(diǎn)，則圖中與/AOC相等的角

有（）.

A.2個B.3個C.4個D.5個

小|

路

ED

B

休-

草

閑-

坪

區(qū)

小尚-

一

C。

第20題圖第21題圖第22題圖

22如圖是公園一角,/AOB=90。,弧AB的半徑OA長是6m,C是OA中點(diǎn)，點(diǎn)D在弧AB上,CD〃OB,則圖中休

閑區(qū)的面積是（）.

A.^12TT—1m2B.（n-m2

C.^6n—|m2D.（16TT—9V3）m2

23.如圖所示,OA與。B外切于點(diǎn)D,PC,PD,PE分別是圓的切線,C,D,E是切點(diǎn)若/CED=xO,NECD=yO,G）B的半

徑為R,則弧DE的長度是（）.

4-（9。-%）RB以90y）Rc以18。-%）RD.（180-y）八

'9090'180'180

24.如圖所示，在。O中,AC交BD于E,且AB=BC前，若/AED=140。,則/ACD=.

25.如圖所示，在。0中,AD為直徑,OBLAD交AC于點(diǎn)B,乙4=30°,BC=5,則OB=

26.如圖所示,△ABC內(nèi)接于。O,并有乙B=AOAC,AC=4&c科則04=.

27.如圖所示,在扇形OAB中，半徑0A=12,C為0B的中點(diǎn)乙4。8=150。,則陰影部分的面積為.

28.如圖所示，扇形AOB的圓心角為90°,分別以O(shè)A,OB為直徑在扇形內(nèi)作圓，交點(diǎn)為O,P和Q分別為

陰影部分的面積，那么P和Q大小關(guān)系為—.

29.如圖所示，已知一個圓錐的底面直徑EF=10,母線OE=10,FA=2,則E到A的最短距離為

拓展資源

30.如圖所示，點(diǎn)A,B,C,D為圓的四等分點(diǎn)，動點(diǎn)P從圓心。出發(fā)，沿O-CTD-O的路線做勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動

時間為t秒，ZAPB的度數(shù)為y。，則下列圖像中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?

31.如圖所示，在邊長為2的正方開?ABCD中，以A為圓心，分別以AB,AD為半徑作圓，弧AB與弧AD

交于O,則陰影部分的面積為

第31題圖

32.如圖所示,AB是。0的弦,。0的半徑為10,OE,OF分別交AB于點(diǎn)E,F,OF的延長線交。0于點(diǎn)D,且4E=

BF/EOF=60°.

(1)求證:△OEF是等邊三角形.

(2)當(dāng)4E=OE時，求陰影部分的面積(結(jié)果保留根號和71).

第32題圖

33.如圖所示，直線MN交。O于A,B兩點(diǎn),AC是直徑,AD平分.NC4M交。O于點(diǎn)D,過D作DE1MN,垂足為

(1)求證:DE是。O的切線.

⑵若^ADE=30°,OO的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

第33題圖

1-6BBABDB

7.60°8.30°9.120°10.65°11.50°

12.25°13.48°14J=-r15.8兀16.—

39

17.7t1總4兀19.1

20-23CBCB

24.120°25.526.4cm27.60K-1828.相等29.2舊

30.動點(diǎn)P從圓心。出發(fā)，沿OTCTD-O運(yùn)動的過程中，分為以下三個部分.

(1)0-C,/APB逐漸變??；

(2)CTD，點(diǎn)P在移動的過程始終對應(yīng)的弧AB的圓周角，由圓周角定理知，ZAPB大小不變；

⑶DTO,/APB逐漸變大.

因此，本題的正確選項(xiàng)為C.

31.如圖所示，弧AD與弧AB的交點(diǎn)為0,連接直線BD與AC,則兩直線必經(jīng)過京

將弓形AMO逆時針旋轉(zhuǎn)90。,與弓形B0重合.

將弓形ANO順時針旋轉(zhuǎn)90。,與弓形OD重合.

則所求陰影部分的面積為弓形BD的面積.

SB]gg—,加水ABD-'ABD

miR21.?BC

=----------xABxAD

3602第31題答圖

907rx2：

-—x2x2

3602

=71-2

32.(1)因?yàn)锳B是。O的弦,OA,OB均為。O的半徑,

所以△OAB為等腰三角形，

所以NOAB=NOBA.

在4OAE與AOBF中，

因?yàn)镺A=OB,/OAB=NOBA,AE=BF,

所以△OAE^AOBF,

所以O(shè)E=OF.

又因?yàn)?EOF=60。，

所以△OEF是等邊三角形.

⑵過。作OG±AB于G,如圖所示

因?yàn)橛?1)得AOEF是等邊三角形，

所以O(shè)E=EF=OF,ZOEF=ZOFE=ZEOF=60°.

又因?yàn)?/p>