2024年中考數(shù)學(xué)重難點突破：幾何綜合壓軸題（學(xué)生版）

專題17幾何綜合壓軸題

手拉手模型

特殊三角形性質(zhì)及判定

特殊四邊形性質(zhì)及判定化歸?想

整體思想

分類思想

勾股定理方程思想

全等和相似

三角函數(shù)

數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們開展了以折疊為主題的探究活動，如圖1,已知矩形紙片

ABCD{AD>AB),其中寬/B=8.

⑴【動手實踐卜

如圖1,威威同學(xué)將矩形紙片48。折疊，點A落在8c邊上的點M處，折痕為BN,連接

MN,然后將紙片展平，得到四邊形4BAW,則折痕3N的長度為.

（2）【探究發(fā)現(xiàn)】：

如圖2,勝勝同學(xué)將圖1中的四邊形4BAW剪下，取NN邊中點E,將沿3E折疊得

到“ZE,延長34交TW于點尸.點。為破邊的中點，點尸是邊AGV上一動點，將△M。尸

沿尸。折疊，當(dāng)點M的對應(yīng)點AT落在線段3尸上時，求此時tanNPQM的值；

⑶【反思提升】：

明明同學(xué)改變圖2中。點的位置，即點。為四邊上一動點，點?仍是邊跖V上一動點，按

照（2）中方式折疊△M0P,使點落在線段8尸上，明明同學(xué)不斷改變點。的位置，發(fā)

現(xiàn)在某一位置NQPM與（2）中的/尸0M相等，請直接寫出此時8。的長度.

2.綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

⑴操作判斷

操作一：對折矩形紙片N3C2使/。與8c重合，得到折痕￡￡把紙片展平;

操作二：在上選一點尸，沿折疊，使點/落在矩形內(nèi)部點〃處，把紙片展平，連接

PM,BM.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在歷上時，寫出圖1中一個30。的角：.

⑵遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片N8C〃按照（1）中的方式操作，并延長9交CD于點。，連接30.

①如圖2,當(dāng)點又在所上時，AMBQ=°,ACBQ=°；

②改變點尸在40上的位置（點P不與點4。重合），如圖3,判斷與/C2。的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

（3）拓展應(yīng)用

在（2）探究中，已知正方形紙片N8C〃的邊長為8cm,當(dāng)/。=1cm時，直接寫出/尸的

長.

3.將正方形/BCD的邊48繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至,記旋轉(zhuǎn)角為a.連接班'，過點。作

DE垂直于直線皮?，垂足為點E,連接DB',CE,

DD?

。）如圖1,當(dāng)a=60。時，ADE8,的形狀為_________,連接BD,可求出笑的值

CE

為;

⑵當(dāng)0°<a<360°且"90°時,

①⑴中的兩個結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請

說明理由；

RF

②當(dāng)以點夕，瓦C,。為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出的值.

B'

4.如圖（1）,已知點G在正方形的對角線ZC上，GE1BC,垂足為點及GFVCD,

垂足為點F.

⑴證明與推斷：

①求證：四邊形CEGF是正方形：

AC：

②推斷：黑的值為_____________;

BE

（2）探究與證明：

將正方形CEG尸繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)。角（0<a<45°）,如圖（2）所示，試探究線段/G

與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶拓展與運用：

正方形CEG尸在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B,E,尸三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交

4D于點

①求證：2CHA.

②若NG=8,GH=26,貝iJ8C=.

5.如圖1,在A/BC中，AACB=QO°,ZC=5C=3,點。是直線上一動點（點。不與

點43重合），以8為邊作正方形CDER連接AF.

B

D

圖1圖2備用圖

⑴觀察猜想

當(dāng)點。在線段上時，線段3D與/尸的數(shù)量關(guān)系是,/C4E的度數(shù)是.

(2)探究證明

當(dāng)點。不在線段上時，(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情

形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由.

⑶解決問題

當(dāng)=0時，請直接寫出線段NE的長.

6.已知，在AABC中，AB=AC,點。為邊AC上一動點，/BDE=NA且DB=DE,連接

_,AD7

BE,EC,其中力=匕

問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1,若NA=60。，NBCE與/A怎樣的數(shù)量關(guān)系？k的值為多少？直接

寫出答案.

ARQ

類比探究：（2）如圖2,若黑=[,點。在AC的延長線上，/8CE與NA有怎樣的數(shù)量

BC2

關(guān)系？k的值為多少？請說明理由.

拓展應(yīng)用：（3）如圖3,在RSABC中，ZB/\C=90o,AB=AC=10,。為AC上一點，以

BD為邊，在如圖所示位置作正方形BDEF,點O為正方形BDEF的對稱中心，且OA=2亞，

請直接寫出DE的長.

7.在四邊形/BCD中，點E為48邊上一點，點尸為對角線8。上的一點，且"±/反

(1)若四邊形NBC。為正方形；

①如圖1,請直接寫出4E與DF的數(shù)量關(guān)系；

②將△EAF繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接/E、DF,猜想4E與。F的數(shù)量

關(guān)系并說明理由；

(2)如圖3,若四邊形/BCD為矩形，BC=mAB,其它條件都不變，將4動下繞點8逆

時針旋轉(zhuǎn)＜90。)得到連接/￡，，，請在圖3中畫出草圖，并求出/￡

與的數(shù)量關(guān)系.

8.(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△OAB和403口中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=40。，連接AC,BD

交于點M.填空：

①江的值為；

BD-------

②/AMB的度數(shù)為.

(2)類比探究

如圖2,在AOAB和AOCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接AC交

AC

BD的延長線于點M.請判斷上的值及NAMB的度數(shù)，并說明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，將AOCD繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,BD所在直線交于點M,若OD=1,

OB=V7,請直接寫出當(dāng)點C與點M重合時AC的長.

9.解答題

⑴如圖1,“BC和V4DE都是等邊三角形，連接5。、CE,求證，BD=CE；

A

［類比探究］

⑵如圖2,和V4DE都是等腰直角三角形，ZABC=AADE=9Q°,連接AD,CE.求

BD弘在

有的值?

C七

［拓展提升］

ACAp

⑶如圖3,和VADE都是直角三角形，AABC=AADE=90°,—=—=2.連接

ABAD

BD、CE,延長CE交8。于點尸，連接冊.若N/FC恰好等于90。，請直接寫出此時

AF,BF,C尸之間的數(shù)量關(guān)系.

4

10.如圖1,已知矩形/8C。中，AB=-BC,。是矩形/BCD的中心，過點。作。￡1/8

于E,作。F_L3C于尸，得矩形BEOE

⑴線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系是,直線AE與CF的位置關(guān)系是；

⑵固定矩形48CD,將矩形/繞點3順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接/E、CF.那

么(1)中的結(jié)論是否依然成立？請說明理由;

(3)若23=8,當(dāng)矩形8E0尸旋轉(zhuǎn)至點。在CF上時(如圖3),設(shè)0E與交于點P,求

尸C的長.

11.(1)如圖1,正方形/BCD的中心為點O,正方形OA'B'C'與正方形4BCD的邊長相等.正

方形O"-C繞點。旋轉(zhuǎn)，運動過程中兩個正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？如果變

化，重疊部分的面積如何變化；如果不變，重疊部分的面積與正方形/以力的面積有何關(guān)

系？請寫出結(jié)論并證明.

結(jié)論：________________________________________________________

證明：________________________________________________________

【提出問題】“其他形狀相同的兩個圖形，在類似上述旋轉(zhuǎn)的過程中，上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否

依然成立？”現(xiàn)對正三角形進(jìn)行研究.

(2)如圖2,正三角形/3C的中心為點。，正三角形。4'2'與正三角形/3C的邊長相等，

邊04'經(jīng)過點反正三角形04'夕繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<120°),運動過程中兩個正三

角形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？如果變化，重疊部分的面積如何變化；如果不變，重疊

部分的面積與正三角形ABC的面積有何關(guān)系？請寫出研究過程.

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