廣東省四校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題

PAGEPAGE7廣東省四校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題卷面總分：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且，則 A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿意，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，則 A． B． C． D．4．如圖，在△中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，，則 A． B． C． D．5．已知為正方體，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 A． B． C． D．6．已知，，則△的面積的最大值為 A． B． C． D．7．已知點(diǎn)，，，，與同向的單位向量為，則向量在向量方向上的投影向量為 A． B． C． D．8．已知點(diǎn)在正方體的側(cè)面內(nèi)（含邊界），是的中點(diǎn)，若，則的最小值為 A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9．以下是真命題的是 A．已知，為非零向量，若，則與的夾角為銳角 B．已知，，為兩兩非共線向量，若，則 C．在三角形中，若，則三角形是等腰三角形 D．若三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則頂點(diǎn)在底面的垂足是底面三角形的外心10．已知點(diǎn)為正方體內(nèi)（含表面）的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面為，以下描述正確的有 A．與和都平行的有且只有一個(gè) B．過(guò)點(diǎn)至少可以作兩條直線與和所在的直線都相交 C．與正方體的全部棱所成的角都相等的有且只有四個(gè) D．過(guò)點(diǎn)可以作四條直線與正方體的全部棱所成的角都相等11．已知圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，平面為軸截面，點(diǎn)為底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)（可與點(diǎn)，重合），則 A．三棱錐體積的最大值為 B．直線與所成角的范圍為 C．三角形面積的最大值為 D．三角形為直角三角形時(shí)所在平面與底面所成角的正弦值為12．若，是兩個(gè)非零向量，且，，則以下可能是與的夾角的是 A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則．14．已知，是單位向量，且，則．15．已知三角形的斜二側(cè)畫法的直觀圖是邊長(zhǎng)為的正三角形（如右圖所示），則．16．在三棱錐中，已知平面平面，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知，，．（1）若，，三點(diǎn)共線，求與滿意的關(guān)系式；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（12分）如圖，已知點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，且，，，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求△的面積．19．（12分）在銳角△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．（1）求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．（可能會(huì)用到的公式：，）20．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為銳角，平面平面．（1）證明：平面；（2）若與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．21．（12分）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，是的中點(diǎn)，過(guò)，，的平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）求平面截四棱錐所得的上、下兩部分幾何體的體積之比．22．（12分）如圖直角坐標(biāo)系內(nèi)，在半徑為的上半圓上，，△是以為直角的等腰直角三角形，設(shè)，且.（1）求（用表示）；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；（3）求△的面積的最大值．參考答案一、選擇題12345678CABBDCBA9．BD10．CD11．ABD12．ABC13．14．15．16．17．解：（1），，（2分）因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以向量與也共線，所以，所以與滿意的關(guān)系式為．（4分）（2）由，可得，或，（6分）當(dāng)時(shí)，有，；當(dāng)時(shí)，有，；所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（10分）18．解：(1)連，在△中，由余弦定理可得，，所以，所以，所以（6分）（2），，，所以△的面積為．（12分）19．解：（1）由題意及余弦定理可得，（2分）由正弦定理，可得，，，，．（6分）（2）由（1）可得，（9分），，（11分）所以．（12分）20．解：（1）證明:在平面內(nèi)過(guò)作于，（2分）因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，所以平面，，所以，?分）過(guò)分別作于，易得，即，（5分），且平面，所以平面，，所以，因?yàn)?，，平面．?分）（2）二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，由（1）可得，為二面角的平面角，（9分）在△中，為與平面所成的角，由其正弦值為，可得，因?yàn)椋?，所以，?1分）所以二面角的余弦值為．（12分）21．解:(1)證明：，所以平面，（2分）因?yàn)槠矫媾c平面的交線為，且，所以，（4分）因?yàn)槠矫妫云矫妫?分）（2）設(shè)與交于，易得為的中點(diǎn)，連，，，，設(shè)四棱錐的體積為，所以，（8分）又，，（10分）所以平面截四棱錐所得的下面部分幾何體的體積為，所以上面部分的體積為，所以平面截四棱錐所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為．（12分）22．（1），，（2分）