2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率測評習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊

第十章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.“某點P到點A(-2,0)和點B(2,0)的距離之和為5”這一事務(wù)是()A.隨機事務(wù) B.不行能事務(wù)C.必定事務(wù) D.以上都不對解析由于某點P到點A(-2,0)和點B(2,0)的距離之和大于等于4,故這一事務(wù)是隨機事務(wù).答案A2.在第3,6,16路公共汽車的一個停靠站,假定這個?？空驹谕粫r刻只能?？恳惠v汽車,有一位乘客需乘3路或6路車到廠里.已知3路車、6路車在5分鐘內(nèi)到此停靠站的概率分別為0.2和0.6,則此乘客在5分鐘內(nèi)能乘到所需車的概率為()A.0.2 B.0.6 C.0.8 D.0.12解析由已知乘3路車、6路車彼此互斥,故乘客在5分鐘內(nèi)乘到車的概率為0.2+0.6=0.8.答案C3.(2024全國高一課時練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,從下列5個點:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取3個,這三點能構(gòu)成三角形的概率是()A. B. C. D.1解析從5個點中任取3個點,該試驗的樣本空間Ω={(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E)},共10個樣本點,其中(A,C,E),(B,C,D)這兩個樣本點中的三點不能構(gòu)成三角形,故三點能構(gòu)成三角形的概率P=.答案C4.甲、乙同時參與某次法語考試,甲、乙考試達(dá)到優(yōu)秀的概率分別為0.6,0.7,兩人考試相互獨立,則甲、乙兩人都未達(dá)到優(yōu)秀的概率為()A.0.42 B.0.28 C.0.18 D.0.12解析∵甲、乙考試達(dá)到優(yōu)秀的概率分別為0.6,0.7,兩人考試相互獨立,∴甲、乙兩人都未達(dá)到優(yōu)秀的概率為P=(1-0.6)(1-0.7)=0.12.故選D.答案D5.(2024黑龍江哈爾濱第六中學(xué)高二期末)現(xiàn)采納隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次,至少擊中3次的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0,1,2,3表示沒有擊中目標(biāo),4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo),以4個隨機數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù),依據(jù)以下數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()75270293714098570347437386366947 1417 4698 0371 6233 2616 80456011 3661 9597 7424 7610 4281A.0.4 B.0.45 C.0.5 D.0.55解析在20組數(shù)據(jù)中,至少擊中3次的為7527,9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共8次,故該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為=0.4.答案A6.某城市一年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示:污染指數(shù)T不大于30(30,60](60,100](100,110](110,130](130,140]概率P其中當(dāng)污染指數(shù)T≤50時,空氣質(zhì)量為優(yōu);當(dāng)50<T≤100時,空氣質(zhì)量為良;當(dāng)100<T≤150時,空氣質(zhì)量為稍微污染.該城市一年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為()A. B. C. D.解析空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、稍微污染彼此互斥,所求概率為.答案C7.若從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b,則b>a的概率是()A. B. C. D.解析該試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共有15個樣本點,b>a包含的樣本點有(1,2),(1,3),(2,3),共3個,所以b>a的概率是.答案D8.甲袋裝有m個白球,n個黑球,乙袋裝有n個白球,m個黑球(m≠n),現(xiàn)從兩袋中各摸一個球,A=“兩球同色”,B=“兩球異色”,則P(A)與P(B)的大小關(guān)系為()A.P(A)<P(B) B.P(A)=P(B)C.P(A)>P(B) D.視m,n的大小而定解析設(shè)A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,則A1,A2互斥且A=A1∪A2,P(A)=P(A1)+P(A2)=.設(shè)B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,則B1、B2互斥且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=.由于m≠n,故2mn<m2+n2.故P(A)<P(B).故選A.答案A二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)9.(2024全國高一課時練習(xí))從裝有大小和形態(tài)完全相同的5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球,那么下列各對事務(wù)中,互斥而不對立的是()A.至少有1個紅球與都是紅球B.至少有1個紅球與至少有1個白球C.恰有1個紅球與恰有2個紅球D.至多有1個紅球與恰有2個紅球解析依據(jù)互斥事務(wù)與對立事務(wù)的定義推斷.A中兩事務(wù)不是互斥事務(wù),事務(wù)“3個球都是紅球”是兩事務(wù)的交事務(wù);B中兩事務(wù)能同時發(fā)生,如“恰有1個紅球和2個白球”,故不是互斥事務(wù);C中兩事務(wù)是互斥而不對立事務(wù);D中至多有1個紅球,即有0個或1個紅球,與恰有2個紅球互斥,除此還有3個都是紅球的狀況,因此它們不對立.答案CD10.甲、乙兩人下棋,和棋的概率為,乙獲勝的概率為,則下列說法錯誤的是()A.甲獲勝的概率是 B.甲不輸?shù)母怕适荂.乙輸了的概率是 D.乙不輸?shù)母怕适墙馕觥呒?、乙兩人下?和棋的概率為,乙獲勝的概率為,∴甲獲勝的概率是1-,故A正確;甲不輸?shù)母怕适?-,故B不正確;乙輸了的概率是1-,故C不正確;乙不輸?shù)母怕适?故D不正確.故選BCD.答案BCD11.(2024廣東化州期末)若干個人站成一排,其中不是互斥事務(wù)的是()A.“甲站排頭”與“乙站排頭”B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”C.“甲站排頭”與“乙站排尾”D.“甲不站排頭”與“乙不站排尾”解析對于A,“甲站排頭”與“乙站排頭”不行能同時發(fā)生,是互斥事務(wù);對于B,“甲站排頭”時,乙可以“不站排尾”,兩者可以同時發(fā)生,不是互斥事務(wù);對于C,“甲站排頭”時,乙可以“站排尾”,兩者可以同時發(fā)生,不是互斥事務(wù);對于D,“甲不站排頭”時,乙可以“不站排尾”,兩者可以同時發(fā)生,不是互斥事務(wù).答案BCD12.(2024全國高一課時練習(xí))以下對各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是()A.甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的嬉戲,則玩一局甲不輸?shù)母怕适荁.每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和,例如8=3+5,在不超過14的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于14的概率為C.將一個質(zhì)地勻稱的正方體骰子(每個面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6)先后拋擲2次,視察向上的點數(shù),則點數(shù)之和是6的概率是D.從三件正品、一件次品中隨機取出兩件,則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是解析對于A,畫樹形圖如下:從樹形圖可以看出,全部可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種,這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,P(甲獲勝)=,P(乙獲勝)=,故玩一局甲不輸?shù)母怕适?故A錯誤;對于B,不超過14的素數(shù)有2,3,5,7,11,13共6個,從這6個素數(shù)中任取2個,設(shè)x1,x2分別為取得的2個素數(shù),則(x1,x2)表示樣本點,該試驗的樣本空間Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)},共15種結(jié)果,其中和等于14的只有(3,11),所以在不超過14的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于14的概率為,故B正確;對于C,總共有6×6=36(種)狀況,設(shè)A=“點數(shù)之和是6”,則A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5種狀況,則所求概率是,故C正確;對于D,記三件正品為A1,A2,A3,一件次品為B,設(shè)x1,x2分別表示取出的兩件產(chǎn)品,則(x1,x2)表示樣本點.該試驗的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B),(A2,A3),(A2,B),(A3,B)},共6個樣本點,設(shè)A=“兩件都是正品”,則A={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共3個樣本點,則所求概率為P=,故D正確.答案BCD三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.(2024全國高一課時練習(xí))下列試驗是古典概型的為.

①從6名同學(xué)中選出4人參與競賽,每人被選中的概率;②同時擲兩顆骰子,點數(shù)和為6的概率;③近三天中有一天降雨的概率;④10人站成一排,其中甲、乙相鄰的概率.解析在①中,從6名同學(xué)中選出4人參與競賽,每人被選中的概率,這個試驗具有古典概型的兩個特征:有限性和等可能性,故①是古典概型;在②中,同時擲兩顆骰子,點數(shù)和為6的概率,這個試驗具有古典概型的兩個特征:有限性和等可能性,故②是古典概型;在③中,近三天中有一天降雨的概率,沒有等可能性,故③不是古典概型;④10人站成一排,其中甲、乙相鄰的概率,這個試驗具有古典概型的兩個特征:有限性和等可能性,故④是古典概型.答案①②④14.管理人員從一池塘中撈出30條魚做上標(biāo)記,然后放回池塘,將帶標(biāo)記的魚完全混合于魚群中.10天后,再捕上50條,發(fā)覺其中帶標(biāo)記的魚有2條.依據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計該池塘約有條魚.

解析設(shè)池塘約有n條魚,則含有標(biāo)記的魚的概率為,由題意得×50=2,∴n=750.答案75015.甲、乙二人進(jìn)行射擊嬉戲,目標(biāo)靶上有三個區(qū)域,分別涂有紅、黃、藍(lán)三色,已知甲擊中紅、黃、藍(lán)三區(qū)域的概率依次是,乙擊中紅、黃、藍(lán)三區(qū)域的概率依次是,二人射擊狀況互不影響,若甲乙各射擊一次,則二人命中同色區(qū)域的概率為,二人命中不同色區(qū)域的概率為.

解析設(shè)甲射中紅、黃、藍(lán)三色的事務(wù)分別為A1,A2,A3,乙射中紅、黃、藍(lán)三色的事務(wù)分別為B1,B2,B3;∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=.∵二人射擊狀況互不影響相互獨立,∴二人命中同色區(qū)域的概率P(A1B1∪A2B2∪A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=.二人命中不同色區(qū)域的概率P(A1B2∪A1B3∪A2B1∪A2B3∪A3B1∪A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)·P(B1)+P(A3)P(B2)=.答案16.(2024全國高三月考)為了踐行習(xí)總書記提出的“綠水青山就是金山銀山,堅持人與自然和諧共生”的理念,我市在經(jīng)濟快速發(fā)展的同時,更注意城市環(huán)境衛(wèi)生的治理,經(jīng)過幾年的治理,市容市貌面貌一新,為了調(diào)查市民對城區(qū)環(huán)境衛(wèi)生的滿足程度,探討人員隨機抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查,并將滿足程度統(tǒng)計成如圖所示的頻率分布直方圖,其中a=2b.若依據(jù)分層隨機抽樣的方式從分?jǐn)?shù)在[50,60),[60,70)內(nèi)的市民中隨機抽取5人,再從這5人中隨機抽取2人,則至少有1人的分?jǐn)?shù)在[50,60)內(nèi)的概率為.

解析由頻率分布直方圖得,(0.01+a+b+0.035+0.01)×10=1,∴a+b=0.045,又a=2b,解得a=0.030,b=0.015.∵[50,60),[60,70)兩段頻率比為0.1∶0.15=2∶3,∴依據(jù)分層隨機抽樣的方式從分?jǐn)?shù)在[50,60)內(nèi)的市民中抽取2人,記為a1,a2,從分?jǐn)?shù)在[60,70)內(nèi)的市民中抽取3人,記為b1,b2,b3,設(shè)x1,x2分別表示從這5人中抽取的2人,則數(shù)組(x1,x2)表示該試驗的樣本點.∴該試驗的樣本空間Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10個樣本點,其中,至少有1人的分?jǐn)?shù)在[50,60)內(nèi)包含的樣本點有7個,∴至少有1人的分?jǐn)?shù)在[50,60)內(nèi)的概率P=.答案四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2024全國高三二模)新型冠狀病毒肺炎爆發(fā)以來,相關(guān)疫苗企業(yè)發(fā)揮專業(yè)優(yōu)勢與技術(shù)優(yōu)勢爭分奪秒開展疫苗研發(fā).為測試疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,則認(rèn)為測試沒有通過),選定2000個樣本分成三組,測試結(jié)果如下表:A組B組C組疫苗有效673xy疫苗無效7790z已知在全體樣本中隨機抽取1個,抽到B組疫苗有效的概率是0.33.(1)求x,y+z的值;(2)現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法在全體樣本中抽取360個測試結(jié)果,求C組應(yīng)抽取多少個?(3)已知y≥465,z≥30,求疫苗能通過測試的概率.解(1)∵在全體樣本中隨機抽取1個,抽到B組疫苗有效的概率是0.33.∴=0.33,∴x=660,y+z=2000-(673+77+660+90)=500.(2)應(yīng)在C組抽取的個數(shù)為360×=90.(3)由題意疫苗有效需滿足77+90+z≤2000×10%,即z≤33,C組疫苗有效與無效的可能狀況有6種,即樣本空間Ω={(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),},有效的可能狀況有4種,即樣本空間Ω1={(467,33),(468,32),(469,31),(470,30)},∴疫苗能通過測試的概率P=.18.(12分)將一枚質(zhì)地勻稱且四個面上分別標(biāo)有1,2,3,4的正四面體先后拋擲兩次,其底面落于桌面上,記第一次朝下面的數(shù)字為x,其次次朝下面的數(shù)字為y.(1)求滿足條件“為整數(shù)”的事務(wù)的概率;(2)求滿足條件“x-y<2”的事務(wù)的概率.解依據(jù)題意,可以用(x,y)來表示得到的點數(shù)狀況,則試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16種狀況.(1)記“為整數(shù)”為事務(wù)A,則A={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)},共8種狀況,則P(A)=.(2)記“x-y<2”為事務(wù)B,則B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)},共13種狀況,則P(B)=.19.(12分)(2024江西師大附中高三一模)某超市安排按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.依據(jù)往年銷售閱歷,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).假如最高氣溫不低于25℃,需求量為500瓶;假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)內(nèi),需求量為300瓶;假如最高氣溫低于20℃,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購安排,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,寫出Y的全部可能值,并估計Y大于零的概率.解(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得到最高氣溫位于區(qū)間[20,25)內(nèi)和最高氣溫低于20℃的天數(shù)為2+16+36=54.依據(jù)往年銷售閱歷,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).假如最高氣溫不低于25℃,需求量為500瓶,假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)內(nèi),需求量為300瓶,假如最高氣溫低于20℃,需求量為200瓶,∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率P=.(2)當(dāng)最高氣溫大于等于25℃時,需求量為500,Y=450×2=900(元);當(dāng)最高氣溫位于區(qū)間[20,25)內(nèi)時,需求量為300,Y=300×2-(450-300)×2=300(元);當(dāng)最高氣溫低于20℃時,需求量為200,Y=400-(450-200)×2=-100(元).當(dāng)最高氣溫大于等于20℃時,Y>0,由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)為90-(2+16)=72,∴估計Y大于零的概率P=.20.(12分)隨著共享單車的勝利運營,更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界,共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某景點設(shè)有共享電動車租車點,共享電動車的收費標(biāo)準(zhǔn)是每小時2元(不足1小時的部分按1小時計算).甲、乙兩人各租一輛電動車,若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為;一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為;兩人租車時間都不會超過三小時.(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率;(2)求甲、乙兩人所付的租車費用之和大于或等于8的概率.解(1)甲、乙兩人所付費用相同即同為2,4,6元,都付2元的概率P1=,都付4元的概率P2=,都付6元的概率P3=,∴所付費用相同的概率為P=P1+P2+P3=.(2)設(shè)兩人費用之和為8,10,12的事務(wù)分別為A,B,C,P(A)=P(B)=,P(C)=,設(shè)兩人費用之和大于或等于8的事務(wù)為W,則W=A∪B∪C,∴兩人費用之和大于或等于8的概率P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=.21.(12分)(2024全國高一課時練習(xí))(1)擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子,計算點數(shù)和為7的概率;(2)利用隨機模擬的方法,試驗120次,計算出現(xiàn)點數(shù)和為7的頻率;(3)所得頻率與概率相差大嗎?為什么會有這種差異?解(1)設(shè)第一枚骰子向上的點數(shù)記為x1,其次枚骰子向上的點數(shù)記為x2,則可用數(shù)組(x1,x2)表示樣本點.該試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6);(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36種狀況,其中點數(shù)和為7的有6種狀況,∴概率P=.(2)試驗120次后得到結(jié)果如下表格:6351356642546642642246364226555351123224625232126361311222646412512352462532654131311543135242155226226165422514421125422662364162343131162464342245625416342264續(xù)表1223544