2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.2.2-第1課-離散型隨機(jī)變量的均值【課件】

第1課時離散型隨機(jī)變量的均值

第8章8.2.2離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計算簡單離散型

隨機(jī)變量的均值.2.會利用離散型隨機(jī)變量的均值，反映離散型隨機(jī)變量的取值水

平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)德·梅累向帕斯卡提出問題：甲乙兩人賭博，他們兩人獲勝的機(jī)率相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎勵.比賽三局過后，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平，讓雙方都能欣然接受？也就是甲和乙的期望所得分別是多少呢？導(dǎo)語隨堂練習(xí)對點(diǎn)練習(xí)一、離散型隨機(jī)變量的均值二、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)三、均值的實(shí)際應(yīng)用內(nèi)容索引一、離散型隨機(jī)變量的均值問題1

某商場為滿足市場需求要將單價分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等，如何對混合糖果定價才合理？假如從這種混合糖果中隨機(jī)選取一顆，記ξ為這顆糖果的單價(元/kg)，你能寫出ξ的概率分布嗎？ξ的概率分布為知識梳理一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布表為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，將隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望記為E(X)或μ，則E(X)＝μ＝

.注意點(diǎn)：(1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均數(shù).(2)離散型隨機(jī)變量的均值E(X)是一個數(shù)值，是隨機(jī)變量X本身固有的一個數(shù)字特征，它不具有隨機(jī)性，反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平.p1x1＋p2x2＋…＋pnxn例1

某地最近出臺一項機(jī)動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的概率分布和均值.解

X的可能取值為1,2,3,4，則P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096，P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×1＝0.024，所以在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的概率分布為X1234P0.60.280.0960.024E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.跟蹤訓(xùn)練1

某衛(wèi)視綜藝節(jié)目中有一個環(huán)節(jié)叫“超級猜猜猜”，規(guī)則如下：在這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目，若三道題目中猜對一道題目可得1分，若猜對兩道題目可得3分，要是三道題目完全猜對可得6分，若三道題目全部猜錯，則扣掉4分.如果嘉賓猜對這三道題目的概率分別為

，且三道題目之間相互獨(dú)立.求某嘉賓在該“猜題”環(huán)節(jié)中所得分?jǐn)?shù)的概率分布與均值.解

根據(jù)題意，設(shè)X表示“該嘉賓所得分?jǐn)?shù)”，則X的可能取值為－4,1,3,6.∴X的概率分布為二、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)問題2

若X，Y都是一離散型隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常數(shù))，那么E(Y)與E(X)有怎樣的關(guān)系？提示

X，Y的分布列為Xx1x2…xi…xnYax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.知識梳理離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝

.aE(X)＋b例2

已知隨機(jī)變量X的概率分布為若Y＝－2X，則E(Y)＝____.解析

由隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)，得由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，跟蹤訓(xùn)練2

(1)設(shè)ξ的概率分布為又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于√(2)已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的概率分布如下表，則m的值為√解析

因?yàn)棣牵?2ξ＋7，則E(η)＝12E(ξ)＋7，三、均值的實(shí)際應(yīng)用例3

農(nóng)機(jī)公司出售收割機(jī)，一臺收割機(jī)的使用壽命為五年，在農(nóng)機(jī)公司購買收割機(jī)時可以一次性額外購買若干次維修服務(wù)，費(fèi)用為每次100元，每次維修時公司維修人員均上門服務(wù)，實(shí)際上門服務(wù)時還需支付維修人員的餐飲費(fèi)50元/次；若實(shí)際維修次數(shù)少于購買的維修次數(shù)，則未提供服務(wù)的訂購費(fèi)用退還50%；若維修次數(shù)超過了購買的次數(shù)，農(nóng)機(jī)公司不再提供服務(wù)，收割機(jī)的維修只能到私人維修店，每次維修費(fèi)用為400元，無須支付餐飲費(fèi).一位農(nóng)機(jī)手在購買收割機(jī)時，需決策一次性購買多少次維修服務(wù).為此，他收集、整理出一臺收割機(jī)在五年使用期內(nèi)維修次數(shù)及相應(yīng)的頻率如下表：維修次數(shù)56789頻率0.30.30.20.10.1(1)如果農(nóng)機(jī)手在購買收割機(jī)時購買了6次維修，在使用期內(nèi)實(shí)際維修的次數(shù)為5次，這位農(nóng)機(jī)手的花費(fèi)總費(fèi)用是多少？如果實(shí)際維修的次數(shù)是8次，農(nóng)機(jī)手的花費(fèi)總費(fèi)用又是多少？解

購買6次維修，而實(shí)際維修次數(shù)為5次時的維修總費(fèi)用為6×100－50＋5×50＝800(元)；購買6次維修，而實(shí)際維修次數(shù)為8次時的維修總費(fèi)用為6×100＋50×6＋2×400＝1700(元).(2)農(nóng)機(jī)手購買了一臺收割機(jī).試在購買維修次數(shù)為6次和7次的兩個數(shù)據(jù)中，根據(jù)使用期內(nèi)維修時花費(fèi)的總費(fèi)用的均值，幫助農(nóng)機(jī)手進(jìn)行決策.解

若購買6次維修，實(shí)際維修次數(shù)為6次時的維修總費(fèi)用為6×100＋6×50＝900(元)；實(shí)際維修次數(shù)為7次時的維修總費(fèi)用為900＋400＝1300(元)；實(shí)際維修次數(shù)為9次時的維修總費(fèi)用為1700＋400＝2100(元).綜合(1)的計算，訂購維修次數(shù)6次時的維修總費(fèi)用概率分布為維修次數(shù)56789維修總費(fèi)用ξ1800900130017002100P0.30.30.20.10.1E(ξ1)＝800×0.3＋900×0.3＋1300×0.2＋1700×0.1＋2100×0.1＝1150(元).若購買7次維修，實(shí)際維修次數(shù)為5次時的總費(fèi)用為7×100－2×50＋5×50＝850(元)；實(shí)際維修次數(shù)為6次時的總費(fèi)用為7×100－50＋6×50＝950(元)；實(shí)際維修次數(shù)為7次時的總費(fèi)用為7×100＋7×50＝1050(元)；實(shí)際維修次數(shù)為8次時的總費(fèi)用為1050＋400＝1450(元)；實(shí)際維修次數(shù)為9次時的總費(fèi)用為1450＋400＝1850(元)；維修總費(fèi)用的概率分布為維修次數(shù)56789維修總費(fèi)用ξ2850950105014501850P0.30.30.20.10.1E(ξ2)＝850×0.3＋950×0.3＋1050×0.2＋1450×0.1＋1850×0.1＝1080(元).因?yàn)镋(ξ1)>E(ξ2)，所以選訂購7次維修較劃算.跟蹤訓(xùn)練3

在某項目的選拔比賽中，A，B兩個代表隊進(jìn)行對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下表，現(xiàn)按表中對陣方式出場進(jìn)行三場比賽，每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分(不存在平局)，設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為ξ，η，且ξ＋η＝3.(1)求A隊得分為1分的概率；解

設(shè)A隊得分為1分的事件為E，(2)求ξ的概率分布，并用統(tǒng)計學(xué)的知識說明哪個隊實(shí)力較強(qiáng).解

隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3，所以隨機(jī)變量ξ的概率分布為因此隨機(jī)變量ξ的均值為因?yàn)棣危牵?，所以η＝3－ξ，則隨機(jī)變量η的均值為所以E(ξ)<E(η)，故B隊實(shí)力較強(qiáng).隨堂練習(xí)12341.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為則X的均值E(X)等于√12342.某船隊若出海后天氣好，可獲得5000元；若出海后天氣壞，將損失2000元；若不出海也要損失1000元.根據(jù)預(yù)測知天氣好的概率為0.6，則出海的期望效益是A.2000元

B.2200元C.2400元

D.2600元√解析

出海的期望效益E(X)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元).1234212344.某人進(jìn)行一項試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，則停止試驗(yàn)，若試驗(yàn)失敗，再重新試驗(yàn)一次，若試驗(yàn)3次均失敗，則放棄試驗(yàn).若此人每次試驗(yàn)成功的概率均為

，則此人試驗(yàn)次數(shù)ξ的均值是______.解析

試驗(yàn)次數(shù)ξ的可能取值為1,2,3，所以ξ的概率分布為1234對點(diǎn)練習(xí)基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.某便利店記錄了100天某商品的日需求量(單位：件)，整理得下表：解析

估計該商品日平均需求量為14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故選D.日需求量n1415161820頻率0.10.20.30.20.2試估計該商品日平均需求量為A.16B.16.2C.16.6D.16.8√2.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值為12345678910111213141516√解析

E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0.123456789101112131415163.已知某一隨機(jī)變量X的概率分布如表所示，若E(X)＝6.3，則a的值為A.4B.5C.6D.7Xa79Pb0.10.4√解析

根據(jù)概率分布的性質(zhì)可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.123456789101112131415164.若X是一個隨機(jī)變量，則E(X－E(X))的值為A.無法求

B.0C.E(X) D.2E(X)解析

只要認(rèn)識到E(X)是一個常數(shù)，則可直接運(yùn)用均值的性質(zhì)求解.∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)為常數(shù)，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.√123456789101112131415165.某日A，B兩個沿海城市受臺風(fēng)襲擊的概率相同，已知A市或B市至少有一個受臺風(fēng)襲擊的概率為0.36，若用X表示這一天受臺風(fēng)襲擊的城市個數(shù)，則E(X)等于A.0.1 B.0.2

C.0.3 D.0.4√12345678910111213141516解析

設(shè)A，B兩市受臺風(fēng)襲擊的概率均為p，則A市和B市都不受臺風(fēng)襲擊的概率為(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，∴E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4，故選D.123456789101112131415166.袋中有10個大小相同的小球，其中記為0號的有4個，記為n號的有n個(n＝1,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標(biāo)號，則E(X)等于解析

由題意，可知X的所有可能取值為0,1,2,3.√123456789101112131415167.今有兩臺獨(dú)立工作的雷達(dá)，兩臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)的臺數(shù)為X，則E(X)＝______.解析

X可能的取值為0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.1.75123456789101112131415168.某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)X的概率分布為商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為100元；分2期或3期付款，其利潤為150元；分4期付款，其利潤為200元.若Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤，則E(Y)＝_____元.X1234P0.50.20.20.113012345678910111213141516解析

由題意可知Y可以取100,150,200，利潤Y的概率分布為Y100150200P0.50.40.1∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元).123456789101112131415169.盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求：(1)抽取次數(shù)X的概率分布；12345678910111213141516解

X的可能取值為1,2,3，所以抽取次數(shù)X的概率分布為12345678910111213141516(2)隨機(jī)變量X的均值.解

由均值的定義得1234567891011121314151610.某人有20萬元，準(zhǔn)備用于投資房地產(chǎn)或購買股票，若根據(jù)下面的盈利表進(jìn)行決策，應(yīng)選擇哪種方案？自然狀況方案盈利(萬元)概率購買股票投資房地產(chǎn)巨大成功0.3108一般成功0.534失敗0.2－10－412345678910111213141516解

設(shè)購買股票的盈利為X，投資房地產(chǎn)的盈利為Y，則E(X)＝10×0.3＋3×0.5＋(－10)×0.2＝3＋1.5－2＝2.5，E(Y)＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6，因?yàn)镋(Y)＞E(X)，所以投資房地產(chǎn)的平均盈利較高，故選擇投資房地產(chǎn).綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.節(jié)日期間，某種鮮花的進(jìn)價是每束2.5元，售價是每束5元，節(jié)后對沒有賣出的鮮花以每束1.6元進(jìn)行處理.根據(jù)前四年的銷售情況預(yù)測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量ξ(單位：束)的概率分布如下表所示，若進(jìn)這種鮮花500束，則利潤的均值是A.706元

B.690元

C.754元

D.720元ξ200300400500P0.200.350.300.15√12345678910111213141516解析

由概率分布可以得到需求量的均值是E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340.故利潤的均值是(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706(元).1234567891011121314151612.(多選)設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的概率分布為則下列說法正確的是√√123456789101112131415161234567891011121314151613.某人有資金10萬元，準(zhǔn)備用于投資經(jīng)營甲、乙兩種商品，根據(jù)統(tǒng)計資料：那么他應(yīng)該選擇經(jīng)營____種商品.投資甲獲利(萬元)23－1概率0.40.30.3投資乙獲利(萬元)14－2概率0.60.20.2甲12345678910111213141516解析

投資甲項目獲利的均值E甲＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，投資乙項目獲利的均值E乙＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1.因?yàn)镋甲＞E乙.故他應(yīng)該選擇經(jīng)營甲種商品.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究1234567891011121314151615.(多選)體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)某學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的均值E(X)>1.75，則p的取值可以為√√123456789101112