2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.1-分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理【課件】

第1課時(shí)分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

第7章7.1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理1.了解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.2.會用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際計(jì)數(shù)問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)計(jì)數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個(gè)一個(gè)的數(shù)是計(jì)數(shù)的基本方法，但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的效率不高，能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”以提高效率呢？導(dǎo)語隨堂練習(xí)對點(diǎn)練習(xí)一、分類計(jì)數(shù)原理二、分步計(jì)數(shù)原理三、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用內(nèi)容索引一、分類計(jì)數(shù)原理第24屆冬奧會將于2022年2月2日在北京舉行，某志愿者要從濟(jì)南趕赴北京為游客提供導(dǎo)游服務(wù).假如當(dāng)天適合他出行的航班有6個(gè)，高鐵有14列.問題1該志愿者從濟(jì)南到北京的方案可分幾類？提示

兩類，即乘飛機(jī)、坐高鐵.問題2

這幾類方案中各有幾種方法？提示

第1類方案(乘飛機(jī))有6種方法，第2類方案(坐高鐵)有14種方法.問題3

該志愿者從濟(jì)南到北京共有多少種不同的方法？提示

共有6＋14＝20(種)不同的方法.知識梳理如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法……在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.注意點(diǎn)：理解分類計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵點(diǎn)(1)定性：①明確原理中所指的“完成一件事”是什么事；②怎樣才算完成這件事；③完成這件事可以有哪些方案.(2)獨(dú)立性：①完成這件事的n類方案是相互獨(dú)立的；②每一類方案中的方法都可以單獨(dú)完成這件事，不需要用到其他的方法.m1＋m2＋…＋mn(3)分類：這是利用分類計(jì)數(shù)原理解題的關(guān)鍵，①分類必須明確標(biāo)準(zhǔn)，一般地，分類標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同；②每一種方法都必須屬于某一類，不同類的任意兩種方法是不同的；③每一類中的任意兩種方法也不相同.例1

某校高三共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表：(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？

男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055解

從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，共有三類不同的方案.第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類，從高三(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知，從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，共有50＋60＋55＝165(種)不同的選法.(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？

男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055解

從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長，共有三類不同的方案.第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長，共有30＋30＋20＝80(種)不同的選法.跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，則方程

表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有____個(gè).解析

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以m>n.當(dāng)m＝4時(shí)，n＝1,2,3；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝1,2；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個(gè)).6二、分步計(jì)數(shù)原理問題4

該志愿者從濟(jì)南到張家口需要經(jīng)歷幾個(gè)步驟？若這名志愿者從濟(jì)南趕赴張家口賽區(qū)為游客提供導(dǎo)游服務(wù)，但需在北京中轉(zhuǎn)，假如當(dāng)天從濟(jì)南到北京適合他出行的航班有6個(gè)，從北京到張家口的高鐵有8列.提示

兩個(gè)，即先乘飛機(jī)到北京，再坐高鐵到張家口.問題5

完成每一個(gè)步驟各有幾種方法？提示

第1個(gè)步驟有6種方法，第2個(gè)步驟有8種方法.問題6

該志愿者從濟(jì)南到張家口共有多少種不同的方法？提示

共有6×8＝48(種)不同的方法.如果完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.注意點(diǎn)：理解分步計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵點(diǎn)(1)定性：①明確原理中所指的“完成一件事”是什么事；②要經(jīng)過幾步才能完成這件事.知識梳理m1×m2×…×mn(2)相關(guān)性：①完成這件事需要分成若干個(gè)步驟；②只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任一步驟，這件事都不可能完成.(3)分步：這是利用分步計(jì)數(shù)原理解題的關(guān)鍵，①準(zhǔn)確確定分步的標(biāo)準(zhǔn)，一般地，分步的標(biāo)準(zhǔn)不同，分成的步驟數(shù)也會不同；②要注意各步驟之間必須連續(xù)；③各步驟之間既不能重復(fù)，也不能遺漏.例2

一種號碼鎖有4個(gè)撥號盤，每個(gè)撥號盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號碼？(各位上的數(shù)字允許重復(fù))解

按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第1步，有10種撥號方式，所以m1＝10；第2步，有10種撥號方式，所以m2＝10；第3步，有10種撥號方式，所以m3＝10；第4步，有10種撥號方式，所以m4＝10.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共可以組成N＝10×10×10×10＝10000(個(gè))四位數(shù)的號碼.延伸探究若各位上的數(shù)字不允許重復(fù)，那么這個(gè)撥號盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號碼？解

按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第1步，有10種撥號方式，即m1＝10；第2步，去掉第1步撥的數(shù)字，有9種撥號方式，即m2＝9；第3步，去掉前兩步撥的數(shù)字，有8種撥號方式，即m3＝8；第4步，去掉前三步撥的數(shù)字，有7種撥號方式，即m4＝7.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共可以組成N＝10×9×8×7＝5040(個(gè))四位數(shù)的號碼.跟蹤訓(xùn)練2

已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M).問：(1)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？解

確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第一步，確定a的值，共有6種方法；第二步，確定b的值，也有6種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36.(2)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？解

確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步，確定a，由于a<0，所以有3種不同的確定方法；第二步，確定b，由于b>0，所以有2種不同的確定方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×2＝6.三、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用例3現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？解

分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法.(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？解

分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法.(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？解

分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步計(jì)數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法.所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，一只螞蟻沿著長方體的棱，從頂點(diǎn)A爬到相對頂點(diǎn)C1，求其中經(jīng)過3條棱的路線共有多少條？解

從總體上看有三類方法，分別經(jīng)過AB，AD，AA1，從局部上看第一類又需分兩步完成.故第一類：經(jīng)過AB，有m1＝1×2＝2(條)；第二類：經(jīng)過AD，有m2＝1×2＝2(條)；第三類：經(jīng)過AA1，有m3＝1×2＝2(條).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C1經(jīng)過3條棱的路線共有N＝2＋2＋2＝6(條).隨堂練習(xí)1.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9C.3×4×2＝24 D.以上都不對1234√12342.已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則xy的不同的值的個(gè)數(shù)是A.2B.3C.6D.9√解析

x有3種不同的選法，y有3種不同的選法，則xy共有3×3＝9(個(gè))不同的值.12343.某公司員工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人.從4種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，不同的選法種數(shù)為A.1200B.600C.300D.26√解析

分四步：第一步，選O型血的人有10種選法；第二步，選A型血的人有5種選法；第三步，選B型血的人有8種選法；第四步，選AB型血的人有3種選法.故共有10×5×8×3＝1200(種)不同的選法.12344.用1,2,3這三個(gè)數(shù)字能寫出____個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位偶數(shù).2對點(diǎn)練習(xí)基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.某校高一年級共8個(gè)班，高二年級共6個(gè)班，從中選一個(gè)班級擔(dān)任學(xué)校星期一早晨升旗任務(wù)，安排方法共有A.8種

B.6種C.14種

D.48種16√解析

由分類計(jì)數(shù)原理，得完成升旗這一任務(wù)分兩類，安排方法共有8＋6＝14(種).2.自2020年起，山東夏季高考將實(shí)施“3＋3”模式，其中第一個(gè)“3”指語文、數(shù)學(xué)、英語3科，第二個(gè)“3”指學(xué)生從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6科中任選3科作為選考科目.某同學(xué)計(jì)劃從物理、化學(xué)、生物3科中任選2科，從政治、歷史、地理3科中任選1科作為選考科目，則該同學(xué)3科選考科目的不同選法的種數(shù)為A.6 B.7

C.8

D.912345678910111213141516√解析

從物理、化學(xué)、生物3科中任選2科，有3種選法，從政治、歷史、地理3科中任選1科有3種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得不同的選法種數(shù)為3×3＝9.123456789101112131415163.圖書館的書架有3層，第1層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第2層有5本不同的語文書，第3層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，則不同的取法共有A.120種

B.16種

C.64種

D.39種√解析

由于書架上有3＋5＋8＝16(本)書，則從中任取1本書，共有16種不同的取法.123456789101112131415164.某體育場南側(cè)有4個(gè)大門，北側(cè)有3個(gè)大門，某學(xué)生到該體育場練習(xí)跑步，則他進(jìn)出門的方案有A.7種

B.14種

C.21種

D.49種√解析

學(xué)生進(jìn)門有3＋4＝7(種)選擇，同樣出門也有7種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理知，進(jìn)出門的方案有7×7＝49(種).123456789101112131415165.有5個(gè)不同的棱柱、3個(gè)不同的棱錐、4個(gè)不同的圓臺、2個(gè)不同的球，若從中取出2個(gè)幾何體，使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個(gè)，則不同的取法種數(shù)是A.14 B.23C.48

D.120√解析

分兩步：第1步，取多面體，有5＋3＝8(種)不同的取法；第2步，取旋轉(zhuǎn)體，有4＋2＝6(種)不同的取法.所以不同的取法種數(shù)是8×6＝48.12345678910111213141516A.可表示3個(gè)不同的圓B.可表示6個(gè)不同的橢圓C.可表示3個(gè)不同的雙曲線D.表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有3個(gè)√√√12345678910111213141516123456789101112131415167.如圖所示的電路圖，從A到B共有____條不同的線路可通電.8解析

分三類：第一類，經(jīng)過支路①有3種方法；第二類，經(jīng)過支路②有1種方法；第三類，經(jīng)過支路③有2×2＝4(種)方法，所以總的線路條數(shù)N＝3＋1＋4＝8.123456789101112131415168.古人用天干、地支來表示年、月、日、時(shí)的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成____組.60解析

分兩類：第一類：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果.第二類也有30組不同的結(jié)果，共可得到30＋30＝60(組).123456789101112131415169.有一項(xiàng)活動，需從3位教師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加.(1)若只需1人參加，則有多少種不同的選法？解

選1人，可分3類：第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；第2類，從男同學(xué)中選1人，有8種不同的選法；第3類，從女同學(xué)中選1人，有5種不同的選法.共有3＋8＋5＝16(種)不同的選法.12345678910111213141516(2)若需教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？解

選教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人，分3步進(jìn)行：第1步，選教師，有3種不同的選法；第2步，選男同學(xué)，有8種不同的選法；第3步，選女同學(xué)，有5種不同的選法.共有3×8×5＝120(種)不同的選法.1234567891011121314151610.若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？解

分兩類完成：第一類：當(dāng)A或B中有一個(gè)為0時(shí)，表示直線為x＝0或y＝0，共有2條；第二類：當(dāng)A，B都不取0時(shí)，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成：第一步，確定A的值，從1,2,3,5中選一個(gè)，共有4種不同的方法；第二步，確定B的值，共有3種不同的方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共確定4×3＝12(條)直線.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，方程所表示的不同直線有2＋12＝14(條).綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.某班小張等4位同學(xué)報(bào)名參加A，B，C三個(gè)課外活動小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，且小張不能報(bào)A小組，則不同的報(bào)名方法有A.27種

B.36種

C.54種

D.81種解析

小張的報(bào)名方法有2種，其他3位同學(xué)各有3種，由分步計(jì)數(shù)原理知，共有2×3×3×3＝54(種)不同的報(bào)名方法.√1234567891011121314151612.滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序?qū)崝?shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)為A.14B.13C.12D.10√解析

由已知得ab≤1.當(dāng)a＝－1時(shí)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；當(dāng)a＝0時(shí)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；當(dāng)a＝1時(shí)，b＝－1,0,1，有3種可能；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝－1,0，有2種可能.∴共有(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.1234567891011121314151613.如圖所示，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的線段表示它們有網(wǎng)線相連，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為A.26 B.24

C.20 D.19√12345678910111213141516解析

因信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，由分類計(jì)數(shù)原理，完成從A向B傳遞有四種方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為四條不同網(wǎng)線上傳遞的最大信息量的