2025屆達州市通川區(qū)高三數學開學摸底聯(lián)考試卷附答案解析

2025屆達州市通川區(qū)高三數學開學摸底聯(lián)考試卷考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若復數滿足，則（

）A． B． C． D．3．拋物線的焦點坐標為（

）A． B．C． D．4．雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．將正整數1，2，3，…按從小到大的順序分組，第組含個數，分組如下：，則2025在第（

）組．A．9 B．10 C．11 D．126．在中，內角的對邊分別為，且的面積，若的平分線交于點，則（

）A． B． C． D．7．已知面積為的正三角形的所有頂點都在球的球面上，若三棱錐的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，若在上的值域為，則函數在上的零點個數為（

）A．4 B．6 C．8 D．10二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知命題“”為真命題，則實數的值可以是（

）A．2 B．0 C． D．10．已知隨機變量，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．11．若定義在R上的偶函數y=fx，對任意兩個不相等的實數，都有，則稱y=fx為“函數”．下列函數為“函數”的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在的展開式中，含的項的系數為．13．已知函數，若當時，函數存在最小值，則實數的取值范圍是．14．如圖，已知圓的半徑為4，是圓的一條直徑．兩點均在圓上，，點為線段上一動點，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．近些年來，促進新能源汽車產業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠超預期，新能源幾乎成了各個汽車領域的熱點．在對某品牌10個子工廠投資及利潤的統(tǒng)計后，得到如下表格，分別表示第個子工廠的投資（單位：萬元）和純利潤（單位：萬元）．投入萬元32313336373839434546純利潤萬元25303437394142444850(1)依據表中的統(tǒng)計數據，請判斷投資與純利潤是否具有較強的線性相關程度？（參考：若，則線性相關程度一般；若，則線性相關程度較強．計算時精確度為0.01）(2)求關于的經驗回歸方程（精確到0.01）．參考數據：，．參考公式：相關系數，對于一組具有線性相關關系的數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．16．已知數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．17．如圖，在三棱柱中，平面．

(1)求證：平面；(2)設點滿足，若平面與平面的夾角為，求實數．18．已知函數，當時，．(1)求實數的值；(2)判斷函數的單調性；(3)設，證明：對任意兩個不等實數，不等式恒成立．19．定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作．已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)求證：有兩個點滿足“共軛點對”，并求出的坐標；(3)設（2）中的兩個點分別是，設為坐標原點，點在橢圓上，且，順時針排列且，證明：四邊形的面積小于．1．B【分析】根據交集的定義即可求解.【詳解】由題易得．故選:B．2．D【分析】根據復數的除法運算求得，再根據復數的模長公式求解即可.【詳解】由題知，所以．故選:D．3．B【分析】將拋物線的方程化為標準方程，即可得出答案.【詳解】因為拋物線的標準方程為：，焦點在軸正半軸上，且，所以焦點坐標為，故選:B.4．B【分析】通過雙曲線的幾何量，結合離心率直接求解即可．【詳解】由，得，所以，即雙曲線的離心率．故選：B．5．C【分析】根據等比數列的前項和公式計算即可．【詳解】由題意可設前組里含有的正整數的個數為，則，由于，，故2025在第11組．故選：C．6．A【分析】根據題意由結合余弦定理可得，從而求得，再利用等面積法即可求解.【詳解】由可知，，所以，所以．在中，由等面積法得，即，即，解得，故正確.故選:A.7．B【分析】根據題意先求出外接圓半徑，再求出中點到外接圓圓心的距離，從而可求解.【詳解】設球的半徑為外接圓圓心為，半徑為的邊長為．因為是面積為的等邊三角形，所以，解得，所以，所以，解得，則，則球的表面積為，故正確.故選：B.8．C【分析】根據三角恒等變換可得，即可根據平移得，利用整體法，結合三角函數的性質可將問題轉化為的根，即可求解.【詳解】故，因為當時，由于，所以在上的值域為，所以解得，即的零點即為的根，則或，即或，所以函數在上的零點有，共8個．故選：C．9．CD【分析】進行參變分離，設，判斷函數的單調性，求出最值即可求出的取值范圍，即可求解．【詳解】因為命題“”為真命題，所以．令，根據增函數減去減函數知：為增函數，當時，有最小值，故實數的取值范圍為．故選：CD．10．ABD【分析】根據正態(tài)分布的概念，識別期望與方差，利用期望和方差的性質計算，利用正太分布的圖象及正態(tài)分布的對稱性來求解即可．【詳解】由隨機變量，得，，，，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；兩個隨機變量的均為120，由正態(tài)分布特點知D正確．故選：ABD．11．ACD【分析】根據題意可得“函數”的條件為：fx在上單調遞減，在上單調遞增，且fx為偶函數，對各項進行分析，從而可求解.【詳解】根據題意，對任意兩個不相等的實數，都有，變形可得，即．若，則，可得，即在0,+∞上單調遞減．又為偶函數，所以fx在上單調遞增．對A：定義域為，且，則fx為偶函數，根據二次函數性質可得fx在上單調遞減，在上單調遞增，符合題意，故正確；對：定義域為，且，則fx為偶函數，函數，在上單調遞增，在上單調遞減，函數為增函數，根據復合函數定義可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，故不符合題意，故錯誤；對C：，定義域為，且，則fx為偶函數，且，則fx在上單調遞減，在上單調遞增，故符合題意，故正確；對D：，定義域為，且滿足，則fx為偶函數，當x>0時，，由為減函數，為增函數，則在上單調遞減，同理可得fx在上單調遞增，故符合題意，故正確.故選：ACD．12．【分析】根據二項展開式可得，從而可求解.【詳解】由題意可得的二項展開式的通項公式為，令，可得，所以，故含的項的系數為80.故答案為：80.13．【分析】根據題意可得在上單調遞增，則得，從而可得存在極小值點x0∈1,2x【詳解】由題意可得fx在時有最小值，即在1,2上有極小值即可，因為在上單調遞增，所以只需即解得，這時存在x0∈1,2，使得在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，即函數在區(qū)間上有極小值也即是最小值．所以的取值范圍是．故答案為：.14．【分析】由平面向量的線性運算和數量積運算可得，結合的取值范圍，計算即可．【詳解】如圖，為圓心，連接，

則．因為點在線段上且，則圓心到直線的距離，所以，所以，則，即的取值范圍是，故答案為：．15．(1)是(2)【分析】（1）根據題中給出的數據，，代入相關系數公式即可求解；（2）根據題中數據求出，然后求出，從而可求解.【詳解】（1）依題意知，，所以相關系數，所以與之間具有較強的線性相關關系.（2）依題意知，又因為，所以，所以，所以關于的經驗回歸方程為.16．(1)(2)【分析】（1）根據的關系，作差可得為等比數列，即可由等比通項求解，（2）利用錯位相減法，結合等比數列求和公式即可求解.【詳解】（1）當時，，即，當時，①，②，①-②得，即，所以．因為，所以數列是首項為3，公比為3的等比數列．則，即．（2）由（1）得，，所以，，故，所以．17．(1)證明見解析(2)1【分析】（1）根據題意由線面垂直求出，再利用線面垂直即可求解；（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，再利用空間向量法求出面面夾角，從而可求解.【詳解】（1）證明：平面平面，．又，且平面，平面．平面．又平面，平面．（2）由（1）知四邊形為正方形，即，且有，以點為原點，以所在直線分別為軸，以過點和平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則．，．設平面的一個法向量為，由得：，?。桑?）知平面平面的一個法向量為，，解得.所以.18．(1)1(2)在上單調遞增(3)證明見解析【分析】（1）根據函數的單調性，即可根據求解，（2）求導，根據導數的符號即可求解，（3）對式子變形后構造函數，即可求導，根據單調性求解最值求解.【詳解】（1）由均在單調遞增知在上單調遞增，由當時，，可知，即．（2）由（1）知，的定義域為，．令，所以，所以在上單調遞增．（3）．不妨設，則要證明，只需證明，即，即證．設，則只需證明，化簡得．設，則在上恒成立，在上單調遞增，當時，，即，得證．【點睛】方法點睛：1.導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．2.利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用.3.證明不等式，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.19．(1)(2)證明見解析，點的坐標為(3)證明見解析【分析】（1）由題意，根據橢圓的焦點坐標、點在橢圓上以及，，的關系列出等式即可求出橢圓的標準方程；（2）設，根據“共軛點對”得到直線方程為，再聯(lián)立方程求解；（2）將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出，的坐標，設點，，，，利用點差法得到，設過點且與直線平行的直線的方程為，求出直線與橢圓相切時的值，再檢驗證明此時不滿足，進而證明四邊形面積小于．【詳解】（1）由題，橢圓的另一焦點為F21,0因此，所以，所以橢圓的標準方程為．（2）設“共軛點對”中點的坐標為Bx,y，根據“共軛點對”定義：點的坐標滿足所以或于是有兩個點滿足，且點的坐標為．（3）設．設所在直線為，則的方程為．設點，則兩式相減得．又，于是，則，所以線段的中點在直線上．所以線段被直線平分．設點到直線的距離為，則四邊形的面積．又，則有．

設過點且與直線平行的直線的方程為，則當與相切時，取得最大值．由消去得令，解得．當時，方程為，即，解得，則此時點或點必有一個和點重合，不符合條件，從而直線與不可能相切，即