教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題25

教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題25一、單項(xiàng)選擇題1.

已知曲面方程為x2+y2+z2-2x+8y+6z=10，則過(guò)點(diǎn)(5，-2，1)的切平面方程為______。A.2x+y+2z=0B.2x+y+（江南博哥）2z=10C.x-2y+6z=15D.x-2y+6z=0正確答案：B[解析]曲面x2+y2+z2-2x+8y+6z=10為球面，將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+4)2+(z+3)2=36，所以球心的坐標(biāo)為(1，-4，-3)。根據(jù)幾何性質(zhì)可知，所求的切平面垂直于過(guò)點(diǎn)(5，-2，1)和(1，-4，-3)的直線，即可得切平面的一個(gè)法向量n=(4，2，4)，所以所求的切平面的方程為4(x-5)+2(y+2)+4(z-1)=0，化簡(jiǎn)得2x+y+2z=10。故本題選B。

2.

設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且，則F'(x)=______。

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由變限積分求導(dǎo)公式得，。故本題選A。

3.

有限小數(shù)與無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的關(guān)系是______。A.對(duì)立關(guān)系B.從屬關(guān)系C.交叉關(guān)系D.矛盾關(guān)系正確答案：A[解析]有限小數(shù)與無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的關(guān)系是對(duì)立關(guān)系，因?yàn)樗鼈儩M足下列三個(gè)條件：①屬于同一個(gè)屬概念，即小數(shù)；②外延之和小于屬概念的外延，即存在既不是有限小數(shù)又不是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)；③外延沒有重合的部分，即不存在既是有限小數(shù)又是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)。

4.

若直線l滿足：①經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②垂直于直線l'：；③平行于平面π：2x+3y+4z+5=0，則直線l的方程是______。

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由題意可知，向量m=(1，2，3)是直線l'的方向向量；向量n=(2，3，4)是平面π的法向量。因?yàn)橹本€l與直線l'垂直，與平面π平行，所以直線l的方向向量與向量m，n都垂直，于是向量就是直線l的方向向量，再結(jié)合直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)可得，直線l的方程為，也即。故本題選A。

5.

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則Y=2X+1的分布函數(shù)為______。

A．G(y)=2F(y)+1

B．

C．

D．正確答案：D[解析]由分布函數(shù)的定義F(x)=P(X≤x)，有。故本題選D。

6.

《學(xué)記》中提出“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”。這體現(xiàn)了下列哪項(xiàng)教學(xué)原則?______A.啟發(fā)式原則B.因材施教原則C.循序漸進(jìn)原則D.鞏固性原則正確答案：A[解析]“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”意為教師要引導(dǎo)學(xué)生，但決不牽著學(xué)生的鼻子；要嚴(yán)格要求學(xué)生，但決不使學(xué)生感到壓抑；要啟發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題，但決不直接把答案告訴學(xué)生。教師的作用在于引導(dǎo)、激勵(lì)、啟發(fā)，而不是牽著學(xué)生走，強(qiáng)迫和代替學(xué)生學(xué)習(xí)。啟發(fā)式原則(啟發(fā)性原則)是指在教學(xué)中教師要主動(dòng)承認(rèn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，注意調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，引導(dǎo)他們獨(dú)立思考、積極探索、生動(dòng)活潑地學(xué)習(xí)，使學(xué)生自覺地掌握科學(xué)知識(shí)從而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。因材施教原則是指教師在教學(xué)中，既要從課程計(jì)劃、學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一要求出發(fā)，面向全體學(xué)生，又要根據(jù)學(xué)生的個(gè)別差異，有的放矢地進(jìn)行教學(xué)，使每個(gè)學(xué)生都能揚(yáng)長(zhǎng)避短獲得最佳的發(fā)展。循序漸進(jìn)原則是指教師要嚴(yán)格按照科學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯體系和學(xué)生認(rèn)識(shí)能力發(fā)展的順序進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。鞏同性原則是指教師在教學(xué)中，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上牢同地掌握知識(shí)和基本技能，并長(zhǎng)久地保持在記憶中，在需要的時(shí)候能夠準(zhǔn)確無(wú)誤地呈現(xiàn)出來(lái)，以利于學(xué)生運(yùn)用知識(shí)技能。

7.

已知多項(xiàng)式f(x)=x3-2x2-x+2，g(x)=x3+4x2+5x+2，那么(f(x)，g(x))=______。A.(x+1)2B.(x-1)C.(x+2)D.(x+1)正確答案：D[解析]因?yàn)閒(x)=x3-2x2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2)，g(x)=x3+4x2+5x+2=(x+1)2(x+2)，所以(f(x)，g(x))=(x+1)。故本題選D。

8.

向量α1=(1，-1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(2，1，5，10)T，α4=(1，-1，2，0)T的極大線性無(wú)關(guān)組為______。A.α1，α2，α4B.α1，α2，α3C.α2，α3，α4D.α1，α2，α3，α4正確答案：A[解析]對(duì)以α1，α2，α3，α4為列向量組的矩陣A進(jìn)行初等行變換化成階梯形矩陣。由此可知，α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。故本題選A。

二、簡(jiǎn)答題(每小題7分，共35分)1.

設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。證明：在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得。正確答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=xf(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，從而F(x)滿足拉格朗日中值定理，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得，又F'(x)=f(x)+xf'(x)，所以。

2.

給出“雙曲線”和“等差數(shù)列”的定義，并說(shuō)明它們的定義方式。正確答案：雙曲線定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線。它的定義方式是發(fā)生式定義法。

等差數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。它的定義方式是描述性定義法。

在以O(shè)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)依次為(-2，1，4)，(-2，2，6)，(-1，3，3)。3.

求三角形ABC的面積；正確答案：由題可知，，所以，由向量外積的幾何意義可得，三角形ABC的面積。

4.

求四面體O-ABC的體積。正確答案：四面提O-ABC的體積即為以O(shè)A，OB，OC為三鄰邊的平行六面體體積的。由混合積的幾何意義知，以O(shè)A，OB，OC為三鄰邊的平行六面體體積等于三向量混合積的絕對(duì)值，因?yàn)?，所以四面體O-ABC的體積。

5.

已知隨機(jī)變量X的概率密度為求X的數(shù)學(xué)期望。正確答案：

6.

求通過(guò)直線且與平面x+y+z-1=0垂直的平面方程。正確答案：過(guò)直線的平面系方程為λ(2x+y-2z+1)+μ(x+2y-z-2)=0，即(2λ+μ)x+(λ+2μ)y-(2λ+μ)z+λ-2μ=0，其中λ，μ不同時(shí)為0。嬰使所求平面與平面x+y+z-1=0垂直，則有(2λ+μ)×1+(λ+2μ)×1-(2λ+μ)×1=0，整理得λ=-2μ，不妨令μ=-1，則λ=2，所求平面方程為3x-3z+4=0。

三、解答題(本大題1小題，10分)設(shè)。1.

計(jì)算行列式|A|；正確答案：

2.

當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，方程組Ax=b有無(wú)窮多解，并求其通解。正確答案：對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等行變換可得，要使原線性方程組有無(wú)窮多解，則有r(A，b)=r(A)＜4，所以有1-a4=0且-a-a2=0，解得a=-1。

當(dāng)a=-1時(shí)，，可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為(1，1，1，1)T，非齊次線性方程組的特解為(0，-1，0，0)T，故其通解為(0，-1，0，0)T+k(1，1，1，1)T，其中k為任意常數(shù)。

四、論述題(本大題1小題，15分)1.

導(dǎo)入環(huán)節(jié)的類型主要有哪幾種，簡(jiǎn)要敘述，并舉例說(shuō)明其適用情況。正確答案：常用的導(dǎo)入環(huán)節(jié)的類型主要有以下幾種：

(1)溫故導(dǎo)入

溫故導(dǎo)入主要是利用新舊知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，找出新舊知識(shí)聯(lián)結(jié)的交點(diǎn)，由舊知識(shí)的復(fù)習(xí)遷移到新知識(shí)的學(xué)習(xí)上來(lái)。此種方法常用于數(shù)學(xué)概念和命題教學(xué)。例如，講二倍角公式的時(shí)候，可以先復(fù)習(xí)兩角和的正弦和余弦，從而得到二倍角的正弦、余弦公式。

(2)實(shí)例導(dǎo)入

實(shí)例導(dǎo)入是選取與所授內(nèi)容有關(guān)的生活實(shí)例或?qū)W生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)其分析、引申、演繹、歸納出從特殊到一般、從具體到抽象的規(guī)律來(lái)導(dǎo)入新課。當(dāng)新授內(nèi)容與學(xué)生有關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)既有聯(lián)系又有區(qū)別時(shí)，通常適宜采用此種導(dǎo)入方法。例如，在對(duì)數(shù)概念的導(dǎo)入教學(xué)中，可以從研究學(xué)生身邊的一些增長(zhǎng)率問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)。

(3)情境導(dǎo)入

情境導(dǎo)入就是通過(guò)多媒體輔助教學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)出能夠激發(fā)學(xué)生的想象力或引發(fā)學(xué)生相應(yīng)情感體驗(yàn)的情境，以激發(fā)學(xué)生的興趣，誘發(fā)思維，使學(xué)生在欣賞或情緒渲染中就勢(shì)轉(zhuǎn)入新內(nèi)容學(xué)習(xí)的一種導(dǎo)入方式。在數(shù)學(xué)中，幾何圖形相關(guān)概念、定理公理、數(shù)學(xué)應(yīng)用題等教學(xué)情境可以采用此種導(dǎo)入方法。例如，在講解平行四邊形的相關(guān)定理時(shí)可以采用此種導(dǎo)入方法。

(4)類比導(dǎo)入

類比導(dǎo)入就是當(dāng)兩個(gè)對(duì)象都有某些相同或類似屬性，而且已經(jīng)了解其中一個(gè)對(duì)象的某些性質(zhì)時(shí)，推測(cè)另一個(gè)對(duì)象也有相同或類似性質(zhì)的思維形式。例如，在學(xué)習(xí)分式時(shí)，可以通過(guò)分?jǐn)?shù)類比學(xué)習(xí)。

五、案例分析題(本大題共20分)閱讀案例，并回答問(wèn)題。案例：

下面是高中“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”的部分教材內(nèi)容。

在初中，我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程、一元一次不等式，發(fā)現(xiàn)了三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以更好地解決相關(guān)問(wèn)題。對(duì)于二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有這樣的聯(lián)系呢?先來(lái)看一個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個(gè)矩形區(qū)域種植花卉。若柵欄的長(zhǎng)度是24m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20m2，則這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少米?

設(shè)這個(gè)矩形的一條邊長(zhǎng)為xm，則另一條邊長(zhǎng)為(12-x)m，由題意，得(12-x)x＞20，其中x∈{x|0＜x＜12}，整理得x2-12x+20＜0，x∈{x|0＜x＜12}。①

求得不等式①的解集，就得到了問(wèn)題的答案。

一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式(quadricinequalityinoneunknown)。一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0。其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0。

思考：

在初中，我們學(xué)習(xí)了從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。類似地，能否從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次不等式，進(jìn)而得到一元二次不等式的求解方法呢?

下面，我們先考察一元二次不等式x2-12x+20＜0與二次函數(shù)y=x2-12x+20之間的關(guān)系。

問(wèn)題：1.

閱讀這段教材中的“思考”，說(shuō)明設(shè)置此欄目?jī)?nèi)容的主要意圖；正確答案：設(shè)置“思考”的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生將初中學(xué)習(xí)過(guò)的從一次函數(shù)看一元一次方程和一元一次不等式的思想運(yùn)用到新內(nèi)容中，利用新舊知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，淡化學(xué)生對(duì)新知識(shí)的陌生感，有效降低學(xué)生對(duì)新知識(shí)的認(rèn)知難度，克服對(duì)新知的畏難心理。讓學(xué)生帶著自己的想法、思路和問(wèn)題解決下面的具體例子，可以啟發(fā)學(xué)生的思維，加深對(duì)新知的記憶。

2.

請(qǐng)說(shuō)明二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)課程中的地位和作用。正確答案：二次函數(shù)在高中階段的數(shù)學(xué)課程中具有十分重要的地位，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)。它有著豐富的內(nèi)涵和外延，作為一個(gè)最基本的初等函數(shù)，我們可以通過(guò)它來(lái)研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高數(shù)學(xué)能力和專業(yè)素養(yǎng)。函數(shù)的思想、方法貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)，其中，二次函數(shù)有著基礎(chǔ)性的地位和作用，任何時(shí)候都不可輕視。

二次函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)且重要的內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)課程中具有以下幾點(diǎn)作用：

①初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是以二次函數(shù)為例來(lái)加深對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)。

②利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像可以解決非基本函數(shù)、不等式的相關(guān)問(wèn)題，充分利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可以更好地解決二次不等式的有關(guān)問(wèn)題，既培養(yǎng)了數(shù)形結(jié)合的思想，又有利于分類討論思想的形成，充分體現(xiàn)了二次函數(shù)的基礎(chǔ)性地位；

③通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的靈活應(yīng)用，可以深入培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和專業(yè)素養(yǎng)，為后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)開啟新的體驗(yàn)。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題共30分)針對(duì)“等差數(shù)列”的教學(xué)，某教師制定了如下教學(xué)目標(biāo)。

目標(biāo)一：理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

目標(biāo)二：理解等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，會(huì)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決實(shí)際問(wèn)題；

目標(biāo)三：通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)觀察、分析、歸納能力和嚴(yán)密的邏輯思維能力。1.

針對(duì)“等差數(shù)列”的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：

①分析學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)；

②設(shè)計(jì)一個(gè)等差數(shù)列的教學(xué)引入片段，并說(shuō)明設(shè)計(jì)意圖。正確答案：①等差數(shù)列是高三年級(jí)所學(xué)習(xí)的必修5中的內(nèi)容，此階段的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用，對(duì)函數(shù)、方程思想的體會(huì)逐漸深刻，已經(jīng)熟悉了由觀察到抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，學(xué)生也學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示方法、通項(xiàng)公式、遞推公式等概念。

此階段學(xué)生的智力發(fā)展已經(jīng)到了形式運(yùn)演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力；具備了一定的數(shù)學(xué)表達(dá)能力、數(shù)學(xué)分析能力和數(shù)據(jù)處理能力；具備學(xué)習(xí)等差數(shù)列所需的知識(shí)，但是在塒一些等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解過(guò)程中，學(xué)生尚欠缺基本的分析能力及處理經(jīng)驗(yàn)。所以在教學(xué)過(guò)程中，教師要注重從具體生活實(shí)例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)以符合學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)其思維能力進(jìn)一步發(fā)展。

②引入環(huán)節(jié)

教師出示幾個(gè)不同的數(shù)列：

1．0，5，10，15，20，25；

2．-2，-1，0，1，2，3；

3．3，3，3，3，3，3；

4．

問(wèn)題：請(qǐng)學(xué)生仔細(xì)觀察以上數(shù)列，各個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間有什么共同特征?

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、類比、思考和交流得出結(jié)論。共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。

教師根據(jù)學(xué)生給出的結(jié)論，為存在這種共同特征的數(shù)列起一個(gè)名字：等差數(shù)列。然后引出等差數(shù)列的定義。

【設(shè)計(jì)意圖】給出幾個(gè)不同的等差數(shù)列，讓學(xué)生通過(guò)探索交流發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而提升學(xué)生分析問(wèn)題的能力。

2.

請(qǐng)針對(duì)上述教學(xué)目標(biāo)，完成下列任務(wù)：

①根據(jù)教學(xué)目標(biāo)一、二，設(shè)計(jì)一個(gè)習(xí)題，幫助學(xué)生理解等差數(shù)列，并說(shuō)明設(shè)計(jì)意圖；

②根據(jù)教學(xué)目標(biāo)二、三，設(shè)計(jì)推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)片段，并說(shuō)明設(shè)計(jì)意圖。正確答案：①習(xí)題：已知等差數(shù)列8