2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用培優(yōu)講義

1.反比例函數(shù)實際應(yīng)用的步驟：⑴由實驗獲得數(shù)據(jù)；（2）用描點法畫出圖象；（3）根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式；（4）用函數(shù)的性質(zhì)解決

問題.

2.反比例函數(shù)綜合題常常結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、特殊四邊形的性質(zhì)進行考查，解題時需運用數(shù)形

結(jié)合、分類討論等方法.

例1（鎮(zhèn)江中考）六一兒童節(jié)，小文到公園游玩.看到公園的一段人行彎道MN（不計寬度），如圖，它與兩面互相垂直的圍墻OP,0

Q之間有一塊空地MPOQN（MP_LOP,NQ，OQ）.他發(fā)現(xiàn)彎道MN上任一點到兩邊圍墻的垂線段與圍墻所圍成的矩形的面積都相等，比

如：A,B,C是彎道MN上的三點，矩形ADOG,矩形BEOH,矩形CFOI的面積相等.愛好數(shù)學(xué)的他建立了平面直角坐標系（如

圖）,圖中三塊陰影部分的面積分別記為（Si、S2.S3,并測得a=6（單位:平方米）.OG=GH=HL

⑴求Si和S3的值；

（2）設(shè)T（x,y）是彎道MN上的任一點，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

⑶公園準備對區(qū)域MPOQN內(nèi)部進行綠化改造，在橫坐標、縱坐標都是偶數(shù)的點處種植花木（區(qū)域邊界上的點除外），已知MP=

2米,NQ=3米.問一共能種植多少棵花木？

舉一反三1（杭州中考）方方駕駛小汽車勻速地從A地行駛到B地，行駛里程為480千米，設(shè)小汽車的行駛時間為t（單位：小時）,

行駛速度為v（單位：千米/時）,且全程速度限定為不超過120千米/時.

（1）求v關(guān)于t的函數(shù)解析式.

⑵方方上午8點駕駛小汽車從A地出發(fā).

①方方需在當(dāng)天12點48分至14點（含12點48分和14點）間到達B地，求小汽車行駛速度v的范圍.

②方方能否在當(dāng)天11點30分前到達B地?說明理由.

例2已知點C在直線y=x上，過點C作CD〃y軸交x軸于點D,交雙曲線y=。于點B,過點C作NC〃x軸交y軸于點N,交

雙曲線y=:于點E,連接OE,若B是CD的中點，且四邊形OBCE的面積為

⑴求k的值.

⑵若A(3,3),M是雙曲線y=瀟一象限上的任一點.求證:|MCHMA|為常數(shù)6.

⑶現(xiàn)在雙曲線y=，上選一處M建一座碼頭，向A(3,3),P(9,6)兩地轉(zhuǎn)運貨物，經(jīng)測算.從M到A,從M到P修建公路的費用都是每

單位長度a萬元，則碼頭M應(yīng)建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低?總費用最低是多少?

舉一反三2如圖，直線。於是緊靠某湖泊的兩條相互垂直的公路，曲線段CD是該湖泊環(huán)湖觀光大道的一部分.現(xiàn)準備修建一條

直線形公路AB,用以連接兩條公路和環(huán)湖觀光大道，且直線AB與曲線段CD有且僅有一個公共點P.已知點C到A4的距離分別為

8km和1km,點P到。的距離為4km，點D到11的距離為0.8km.若分別以L,為x軸、y軸建立平面直角坐標系xOy,則曲線段CD

對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=：.

(1)求k的值，并指出函數(shù)y=§的自變量的取值范圍；

⑵求直線AB的解析式，并求出公路AB的長度(結(jié)果保留根號).

例3(牡丹江中考)如圖，已知直線AB與x軸交于點A,與y軸交于點B,線段OA的長是方程x2-7%-18=0的一個根，0B

=：。4請解答下列問題：

(1)求點A,B的坐標.

(2)直線EF交x軸負半軸于點E,交y軸正半軸于點F,交直線AB于點C.若C是EF的中點,(0E=6,反比例函數(shù)y=孑圖象的一

支經(jīng)過點C,求k的值.

⑶在⑵的條件下，過點C作CD_LOE,垂足為D,點M在直線AB上，點N在直線CD上.坐標平面內(nèi)是否存在點P,使以D,M,

N,P為頂點的四邊形是正方形?若存在，請寫出點P的個數(shù)，并直接寫出其中兩個點P的坐標；若不存在，請說明理由.

舉一反三3如圖I,在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y=T也豐0）與直線.y=ax+b（a0）交于A,B兩點直線AB分別交x

⑴將線段OE沿x軸平移得線段（OE，（如圖1）,在移動過程中，是否存在某個位置使|BO-4E，|的值最大?若存在，求出\B0'~

4E1的最大值及此時點。，的坐標；若不存在，請說明理由.

⑵將直線OA沿射線OE平移，平移過程中交y="x>0）的圖象于點M（M不與A重合）,交x軸于點N（如圖2）.在平移過程中，

是否存在某個位置使△MNE為以MN為腰的等腰三角形?若存在，求出M的坐標；若不存在，請說明理由.

過關(guān)檢測

基礎(chǔ)夯實

1.（河北中考）一臺印刷機每年可印刷的書本數(shù)量y（單位：萬冊）與它的使用時間X（單位年成反比例關(guān)系，當(dāng)x=2時,y=20.則y與x

2.（恩施州中考）一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”圖案，如圖所示.設(shè)小矩形的長和寬分別為x,y,剪去部

分的面積為20,若2WXW10,貝Uy與x的函數(shù)圖象是()

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3.（青島中考）一塊蓄電池的電壓為定值，使用此蓄電池為電源時，電流1（單位：A）與電阻R（單位：Q）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.如

果以此蓄電池為電源的電器限制電流不得超過10A,那么此用電器的可變電阻應(yīng)（）

A.不小于4.8。

B.不大于4.8Q

C.不小于14。

D.不大于14。

4.（福建中考）設(shè)A,B,C,D是反比例函數(shù)y=§圖象上的任意四點，現(xiàn)有以下結(jié)論：

①四邊形ABCD可以是平行四邊形；

②四邊形ABCD可以是菱形；

③四邊形ABCD不可能是矩形；

④四邊形ABCD不可能是正方形.

其中正確的是一（填序號）.

5.（衢州中考）如圖，將一把矩形直尺ABCD和一塊含30。角的三角板EFG擺放在平面直角坐標系中,AB在x軸上,點G與點A重

合點F在AD上三角板的直角邊EF交BC于點M,反比例函數(shù)y=：（幻0）的圖象恰好經(jīng)過點F,M.若直尺的寬CD=3,三角板的斜邊

FG=8舊,,則k=

6.（樂山中考）某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜.如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟

到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y（單位：C）與時間x（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB,BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部

分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段.

請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

⑴求這天的溫度y與時間x(0SxW24)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；

(3)若大棚內(nèi)的溫度低于10。時，蔬菜會受到傷害.問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害?

7.如圖，在平面直角坐標系中，口ABCD的頂點C與原點0重合，點B在y軸的正半軸上，點A在函數(shù)y==的圖象上，點D的

坐標為(2,1).

(1)求0B的長；

(2)若將口ABCD沿x軸正方向平移得到。AiBiDi,當(dāng)點Bi在函數(shù)y=?的圖象上時，求四邊形OBB】g的周長.

、二能力拓展

8.如圖，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=久什0)的圖象在第一象限交于點A,點C在以B(7,0)為圓心、2為半徑的。B上.已知AC

長的最大值為7,則該反比例函數(shù)的解析式為.

9.平面直角坐標系中，A是y=-5(x)0)圖象上一點，B是x軸正半軸上一點，點C的坐標為(0,-2).若點D與A,B,C構(gòu)成的四邊

形為正方形，則點D的坐標為.

10.以矩形OABC的頂點O為坐標原點建立平面直角坐標系，使點A,C分別在x,y軸的正半軸上，雙曲線y=5k>0)的圖象經(jīng)過

BC的中點D,且與AB交于點E,過OC邊上一點F,把ABCF沿直線BF翻折，使點C落在矩形內(nèi)部的一點。處，且CE〃BC,若點C的坐

標為(2,4),則BF的長為

II.在新型冠狀肺炎疫情期間，某農(nóng)業(yè)合作社決定對一種特色水果開展線上銷售，考慮到實際情況，一共開展了30次線上銷售，

綜合考慮各種因素，該種水果的成本價為2萬元每噸，銷售結(jié)束后，經(jīng)過統(tǒng)計得到了如下信息：

信息①：設(shè)第x次線上銷售水果y(單位：噸),且第一次線上銷售水果為39噸，然后每一次總比前一次銷售量減少1噸；

信息②：該水果的銷售單價P(單位：萬元/噸)均由基本價和浮動價兩部分組成，其中基本價保持不變，第1次線上銷售至第15次

線上銷售的浮動價與銷售場次x成正比，第16次線上銷售至第30次線上銷售的浮動價與銷售場次x成反比；

信息③:

X/次2824

p/（萬元/噸）2.22.83

請根據(jù)以上信息，解決下列問題.

⑴求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

⑵若p=3.2（萬元/噸），求x的值.

⑶在這30次線上銷售中，哪一次線上銷售所獲利潤最大?最大利潤是多少?

12.（廣東競賽）如圖為某游樂場電車軌道的一部分ABC的圖象,AB為線段,BC為反比例函數(shù)y=三的一部分，已知A（10』）、B（8,2）、

C（2,yc）.過軌道圖象上一點分別作x,y軸的垂線，垂線段的和（用S表示）取最小值時的點稱為最佳支撐點.

（D求直線AB的解析式及k值.

⑵求軌道圖象最佳支撐點的坐標.

3,綜合創(chuàng)新

13.如圖，點P在反比例函數(shù)y=這（x>0）的圖象上以O(shè)P為直徑的圓與該反比例函數(shù)的另一交點為B,且交y軸于點C.已知

BC=OB,PO與BC相交于點E,則點E的坐標為.

14.如圖1,在平面直角坐標系中點A(2,0),B(0,1),以AB為頂點在第一象限內(nèi)作正方形ABCD反比例函數(shù)y1=§(x)0),y2=

領(lǐng)x〉0)分別經(jīng)過C,D兩點.如圖2,過C,D兩點分別作x,y軸的平行線得矩形CEDF,現(xiàn)將點D沿刈=§(x>0)的圖象向右移動，矩

(1)當(dāng)點E落在yi=號(行。)的圖象上時.點D的坐標為—.

(2)設(shè)平移后點D的橫坐標為a,矩形的邊CE與為=，(x)0),y2=當(dāng)(x>0)的圖象均無公共點，請直接寫出a的取值范圍：

15.當(dāng)a>0且x>0時，因為(爪-J)"20,所以x-2仿+注0,從而x+1>2疝當(dāng)x=歷時取等號).

記函數(shù)y=久+三(a)0,x>0),由上述結(jié)論可知：當(dāng)工=遮時，該函數(shù)有最小值，為2VH.

(1)已知函數(shù)y=x+g(幻0),當(dāng)x=___時,y取得最小值，為____

⑵已知函數(shù)y=x++(x>-