2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：統(tǒng)計和概率問題(3易錯6題型)(解析版)

統(tǒng)計和概率問題(3易錯6題型)

目錄

【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略(含新考法、新情境等)

■|中考預(yù)測

統(tǒng)計和概率題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R殘缺、

基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須熟練各種

情況下求解能力。

2.從題型角度看，以解答題的第四題或第五題為主，分值8分左右，著實(shí)不少！

?(誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯點(diǎn)一與其他知識綜合求概率

【例1】(2024?廣東江門?一模)有A、B兩個盒子.A盒內(nèi)有三個球，分別標(biāo)有數(shù)字-1、2、-3.8盒有

二個球，分別標(biāo)有數(shù)字1、-2.所有的球除所標(biāo)數(shù)字，外形狀大小完全相同.先從A盒中隨機(jī)抽出一個球，

記錄其標(biāo)有的數(shù)字為X,再從8盒中隨機(jī)抽出一個球，記錄其標(biāo)有的數(shù)字為，，以此確定點(diǎn)M的一個坐標(biāo)

為G,y).

⑴用列表或畫樹狀圖的方法寫出點(diǎn)M的所有可能坐標(biāo)；

⑵求點(diǎn)M落在第三象限的概率.

【答案】⑴見解析

(2)點(diǎn)加落在第三象限的概率為

【分析】本題主要考查利用列表和畫樹狀圖計算概率：

(1)根據(jù)列表和畫樹狀圖的方法即可求得答案；

(2)根據(jù)列表和畫樹狀圖可求得事件所有可能的結(jié)果和點(diǎn)加落在第三象限的結(jié)果.

【詳解】（］）列表如下所示.

B

A

1-2

(-1,1)(-1,-2)

-1

(2,1)（2,-2）

2

)

-3(-3,1)(-3,-2

（“2）和（-3,-2）兩種結(jié)果.

P=Z1

63

1_

所以，點(diǎn)加落在第三象限的概率為3.

易錯點(diǎn)撥

本題主要考查利用列表和畫樹狀圖計算概率.

【例2】（2024.安徽合肥?一模）把一副撲克牌中的黑桃3,4,5,6抽出來放在一個不透明的紙盒里，然后

從紙盒里隨機(jī)取出一張牌，記作。，再從剩下的3張牌中隨機(jī)取出一張牌，記作上

⑴請用作樹狀圖或列表的方法，求出兩次取出的牌面數(shù)字之差的絕對值等于2的概率；

（2）結(jié)合題（1）的樹狀圖或列表，直接寫出點(diǎn)落在直線y=x+l上的概率是.

1

【答案】（1）3

1

⑵4

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,

（1）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次取出的牌面數(shù)字之差的絕對值等于2的結(jié)果數(shù)，再利用概率

公式可得出答案.

（2）由表格可得點(diǎn)（。/）落在直線y=x+i上的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算即可.

熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

4__1_

二兩次取出的牌面數(shù)字之差的絕對值等于2的概率為五—3.

（2）由表格可知，點(diǎn)（。㈤落在直線y=x+l上的結(jié)果有：（3,4）,（4,5）,（5,6）,共3種，

3_1

.?.點(diǎn)（小。）落在直線y=x+l上的概率是124.

1

故答案為：4.

【例3】（2024?安徽亳州?一模）在五張大小、材質(zhì)完全相同的卡片上分別寫上數(shù)字-4,-2,-1,3,6,將這五張

卡片放置于暗箱內(nèi)搖勻.

⑴從箱中隨機(jī)摸出一張卡片，求卡片上寫的數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率；

⑵先從箱中摸出一張卡片，將卡片上的數(shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，不放回，再摸出一張卡片，將卡片上的數(shù)字

12

作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求確定的點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)了=--的圖象上的概率.

x

3

【答案】⑴弓

⑵5

【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，反比例函數(shù)的性質(zhì)：

（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；

（2）先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到橫縱坐標(biāo)乘積為T2的情況，最后依據(jù)概率計算公式求解

即可.

【詳解】（［）解：??,一共有5張卡片，其中寫的數(shù)字是負(fù)數(shù)的卡片有3張，且每張卡片被摸出的概率相同,

3

???從箱中隨機(jī)摸出一張卡片，求卡片上寫的數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率方;

（2）解：列表如下：

第一次

-4-2-136

第二次

-4(-2,-4)(-1,-4)（3,-4）（6,-4）

-2(-4,-2)(-1,-2)（3,-2）（6,-2）

(-2,-1)(6,-1)

-1(-4,-1)(3,-1)

3(-4,3)(-2,3)(-1,3)（6,3）

6(-4,6)(-2,6)(-1,6)(-3,6)

y二—

由表格可知一共有20種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中確定的點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)x的圖象上的結(jié)果數(shù)有4

種（橫縱坐標(biāo)乘積為T2）,

y——-12-4-=—1

???確定的點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)X的圖象上的概率為205.

易錯點(diǎn)二通過求概率確定游戲是否公平問題

【例1】（2024?廣東廣州?一模）甲、乙兩位同學(xué)相約玩紙牌游戲.

⑴有4張背面相同的紙牌B,C,D,其正面分別有四個不同的數(shù)字-2,-0,1,|,將這四張紙牌洗勻后,

背面朝上放在桌面上.若甲從中隨機(jī)選擇一張牌翻開，求他選中的牌面數(shù)字是整數(shù)的概率；

（2）雙方約定：兩人各摸出一張牌，放回洗勻后再摸一張，若摸出的兩張牌面數(shù)字之積為正數(shù)，那么甲贏，

否則乙贏.這個規(guī)定是否公平？為什么？

【答案】（1）2

⑵這個規(guī)定否公平，理由見解析

【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率以及概率公式.

（1）直接根據(jù)概率公式計算即可.

（2）首先畫出樹狀圖或列表列出可能的情況，再計算出甲贏和乙贏的概率，最后進(jìn)行比較即可.

【詳解】(1)解：共有4張牌，正面是整數(shù)的情況有2種,

2_1

所以摸到正面是整數(shù)的紙牌的概率是4—2；

(2)解：這個規(guī)定否公平，理由如下：

畫樹狀圖如下：

開始

ABCD

ABCDABCDABCDABCD

積42店-2-32422-77-邁-2-4211-3-邁31

22224

共產(chǎn)生16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩張牌面數(shù)字之積為正數(shù)的有8種,

P=H

???甲贏的概率為162,

p_16-8_1

乙贏的概率為165,

???甲贏的概率=乙贏的概率，

故這個規(guī)定否公平

易錯點(diǎn)撥

本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率以及概率公式，通過概率大小比較游戲是否公平.

【例2】(2024.陜西西安.一模)小亮和小麗兩位同學(xué)玩轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤游戲，轉(zhuǎn)盤上的數(shù)字如圖所示，若轉(zhuǎn)盤指針指

向交界處則忽略不計，重新轉(zhuǎn)動一次.

⑴小亮先轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，則轉(zhuǎn)到數(shù)字是3的倍數(shù)的概率為_；

⑵小亮轉(zhuǎn)一次后，小麗再轉(zhuǎn)一次，利用兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之差的絕對值判斷輸贏，規(guī)定：若所得數(shù)值等于0,

1,則小亮獲勝，若所得數(shù)值等于2,3,4,則小麗獲勝.請用列表或畫樹狀圖的方法，判斷該游戲是否公

平.

1

【答案】⑴M

(2)不公平，理由見解析

【分析】本題考查了概率公式，畫樹狀圖求概率及概率的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握列舉法求概率及利用

概率判斷游戲公平性.

（1）求出轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字是3的倍數(shù)的結(jié)果在全部可能的結(jié)果所占的比，即可得出答案；

（2）畫出樹狀圖，即可得到共有25種等可能的結(jié)果，數(shù)出兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之差的絕對值等于0,1的結(jié)果

有13種，等于2,3,4的結(jié)果有12種，再由概率公式求出小亮獲勝的概率和小麗獲勝的概率，利用兩概

率進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：小亮轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，共有5種結(jié)果，即1,2,3,4,5,而轉(zhuǎn)到數(shù)字是3的倍數(shù)的結(jié)果有

1種，即3,

1

小亮先轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，則轉(zhuǎn)到數(shù)字是3的倍數(shù)的概率5,

故答案為：5.

（2）解：畫樹狀圖如下:

開始

I234

1234512445124451244512345

共有25種等可能的結(jié)果,其中兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之差的絕對值等于0,1的結(jié)果有13種，等于2,3,4的結(jié)

果有12種,

=13_12

???小亮獲勝的概率25,小麗獲勝的概率25,

1312

—W-

..2525

?9

???小亮獲勝的概率二小麗獲勝的概率,

二該游戲不公平.

【例3】（2024.山東青島.一模）4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0、1、-2、3,將卡片的背面朝上，洗勻后

從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來；再從余下的3張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)

字記錄下來.

⑴第一次抽取的卡片上數(shù)字是非負(fù)數(shù)的概率為;

⑵小敏設(shè)計了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛淼臄?shù)字減去第二次記錄下來的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時,

甲獲勝；否則，乙獲勝.小敏設(shè)計的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請用樹狀圖或列表等方法說明理由）

3

【答案】⑴]

⑵公平，理由見解析

【分析】本題考查的是概率以及游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個參與者取勝的概率，概

率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

（1）根據(jù)概率公式求解即可；

（2）利用樹狀圖法列舉出所有可能，再利用概率公式進(jìn)而得出甲、乙獲勝的概率即可得出答案.

【詳解】（1）解：共有4種等可能的結(jié)果，其中數(shù)字是非負(fù)數(shù)情況占3種，

3

則，第一次抽取的卡片上數(shù)字是非負(fù)數(shù)的概率為a,

3

故答案為：4;

（2）公平，理由如下：

畫樹狀圖如圖，

結(jié)果T2~313-2-2-3-5325

???共有12種等可能的結(jié)果，兩個數(shù)的差為非負(fù)數(shù)的情況有6種，兩個數(shù)的差為負(fù)數(shù)的情況有6種,

.■.p（結(jié)果為非負(fù)數(shù)）一行一5,p（結(jié)果為負(fù)數(shù)）一0一2.

???游戲規(guī)則公平.

易錯點(diǎn)三求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

【例1】（2024?云南曲靖.模擬預(yù)測）為了解某小區(qū)居民的用水情況，隨機(jī)抽查了該小區(qū)10戶家庭的月用

水量，結(jié)果如下:

月用水量〃1013141718

戶數(shù)31321

則這10戶家庭月用水量的中位數(shù)是.

【答案】14噸

【分析】

本題考查了求中位數(shù)，正確理解中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)

（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù).根據(jù)中位數(shù)的定義，即得答案.

【詳解】將表中數(shù)據(jù)為從小到大排列，處在第5位、第6位的是14噸，

所以這10戶家庭月用水量的中位數(shù)是14噸.

故答案為:14噸..

易錯點(diǎn)撥

本題考查了求中位數(shù)，正確理解中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間

數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù).根據(jù)中位數(shù)的定義，即得答案.

【例2】（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知一組數(shù)據(jù)：3,6,辦2,4,5,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5,則中位數(shù)是.

【答案】45

【分析】本題主要考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義.根據(jù)眾數(shù)的定義進(jìn)行求得m的值，再根據(jù)中位數(shù)的定義解

答即可.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是5,即出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)為：5,

故機(jī)=5,

將這組數(shù)從小到大排列為：2,3,4,5,5,6,最中間的兩個數(shù)為4,5,

4+5=45

因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2

故答案為：4.5.

【例3】（2024?山西臨汾?一模）為提高城區(qū)居民的生活質(zhì)量，政府對其配套設(shè)施進(jìn)行了改造，共有休閑設(shè)施、

兒童設(shè)施、娛樂設(shè)施、健身設(shè)施4項(xiàng).改造完成后，該政府部門對各項(xiàng)設(shè)施進(jìn)行居民滿意度考核，任選城區(qū)

內(nèi)的A,8兩個小區(qū)下發(fā)滿意度調(diào)查問卷，其結(jié)果（單位：分，滿分100分）如下表：

休閑設(shè)施兒童設(shè)施娛樂設(shè)施健身設(shè)施

A小區(qū)80709080

B小區(qū)70808090

若各項(xiàng)設(shè)施以1：1：2:1的比例進(jìn)行考核，則_______小區(qū)滿意度更高.（填"A"或"8"）

【答案】A

【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式解答即可作出判斷.

80xl+70xl+90x2+80xl_g2

【詳解】解：???A小區(qū)得分：1+1+2+1-（分），

70x1+80x1+80x2+90x1_8（）

8小區(qū)得分：1+1+2+1一（分），

82>80

9

A小區(qū)滿意度更高.

故答案為：A.

搶分通關(guān)

題型一求概率問題

典例精講

【例1】(2024.陜西西安.二模)小明、小華一起到西安游玩，他們決定在三個熱門景點(diǎn)(N.大雁塔；B.秦

始皇兵馬俑；C.城墻)中各自隨機(jī)選擇一個景點(diǎn)游玩.

⑴小華選擇到秦始皇兵馬俑景點(diǎn)游玩的概率是

(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求小明、小華選擇到不同景點(diǎn)游玩的概率.

1

【答案】⑴3；

2

(2)圖見解析，3.

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的

關(guān)鍵.

(1)直接利用概率公式可得答案.

(2)畫樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明、小華選擇到不同景點(diǎn)游玩的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式

可得出答案.

1

【詳解】(1)由題意得，小華選擇到秦始皇兵馬俑景點(diǎn)游玩的概率是1.

1

故答案為：3；

(2)畫樹狀圖如下：

開始

小明AB

小華ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，其中小華、小明選擇到不同景點(diǎn)游玩的結(jié)果共有6種,

62

...小華、小明選擇到不同景點(diǎn)游玩的概率為5-3

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的

關(guān)鍵.

【例2】（2024.江西南昌.一模）江西省將于2024年整體實(shí)施高考綜合改革.其中，考試科目將不再分文理

科，改為"3+1+2”模式："3"為全國統(tǒng)一考試科目語文、數(shù)學(xué)、外語；"1"為首選科目，考生從物理、歷史2

門科目中自主選擇1門："2"為再選科目，考生從思想政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中自主選擇2門；

⑴選擇歷史的概率是;

（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選擇思想政治和地理的概率.

L

【答案】⑴三

￡

（2）6

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

（1）由概念公式可得答案；

（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和恰好選擇思想政治和地理的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

【詳解】（1）解：,考生從物理、歷史2門科目中自主選擇1門，

￡

二選擇歷史的概率是2;

1.

故答案為：2;

（2）解：記思想政治、地理、化學(xué)、生物分別為①，②，③，④，畫樹狀圖如下:

開始

①②③④

/1\/N/1\/1\

②③④①③④①②④①②③

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選擇思想政治和地理有：①②，②①，共2種,

2__1_

二恰好選擇思想政治和地理的概率為12-6.

名校模擬

1.（2024.山西呂梁.一模）截止2024年1月，山西省教育廳共公布了三批“山西省省級中小學(xué)研學(xué)實(shí)踐教育

示范基地名單”.小宇計劃周末和妹妹一起到“研學(xué)基地”參觀，他收集了如圖所示的四個基地的卡片（出太

⑴把這四張卡片背面朝上洗勻后，妹妹從中隨機(jī)抽取一張，記錄后放回洗勻，小宇再隨機(jī)抽取一張.請用

列表或畫樹狀圖的方法求兩人抽到同一張卡片的概率；

（2）把這四張卡片背面朝上洗勻后，小宇和妹妹從中各隨機(jī)抽取一張（不放回），然后根據(jù)抽到的卡片到相應(yīng)

的“研學(xué)基地”參觀.請用列表或畫樹狀圖的方法求兩人分別到太原古縣城和山西文旅數(shù)字體驗(yàn)館參觀的概率.

【答案】⑴4；

⑵不

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n,再從中選出符合事

件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

（1）根據(jù)題意列表可得共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人抽到同一景點(diǎn)的結(jié)果有4種，進(jìn)而由概率公式

求解即可；

（2）根據(jù)題意列表可得共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人分別到太原古縣城和山西文旅數(shù)字體驗(yàn)館參觀

的結(jié)果有2種，進(jìn)而由概率公式求解即可.

【詳解】（1）解：列表如下;

ABcD

（5,A）（C,A）S,A)

A(A,A)

（B,B）（C,3）（D,B）

B(A,5)

C（A,C）（B,C）(c,c)（D,C）

D（A,O）（B,D）(C,Z>)（D,D）

所有等可能的情況數(shù)為16種，兩人抽到同一景點(diǎn)的結(jié)果有4種,

41

所以兩人抽到同一景點(diǎn)的概率為16-4.

（2）列表如下：

ABcD

（5,A）（C,A）S,A)

A

（A,3）（C,3）（D,B）

B

c（A,C）（B,C）（D,C）

D（A,O）（B,D）(C,Z>)

所有等可能的情況數(shù)為12種，其中小宇和妹妹兩人分別到太原古縣城和山西文旅數(shù)字體驗(yàn)館參觀的的結(jié)果

有2種，

2__J_

兩人分別到太原古縣城和山西文旅數(shù)字體驗(yàn)館參觀的的概率為五一%.

2.(2024.江蘇淮安.一模)在如圖電路中，/燈通電時隨機(jī)發(fā)出紅色或紫色光，8燈通電時隨機(jī)發(fā)出紅色、

⑴電路通電時，B燈發(fā)出綠色光的概率是」

⑵電路通電時，請用樹狀圖或列表格求出力、8兩燈發(fā)出不同顏色光的概率.

1

【答案】⑴

5

⑵7

【分析】本題考查了概率公式以及列表或畫樹狀圖求概率，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)列出表格把所有情況列舉出來，再把滿足條件的情況數(shù)除以總情況數(shù)，即可作答.

【詳解】(1)解：電路通電時，B燈發(fā)出：紅色、綠色或黃色光3種等可能情況，其中發(fā)出綠色光有1種,

1

故B燈發(fā)出綠色光的概率是

1

故答案為：3；

(2)列表如下:

BA紅色綠色黃色

紅色紅色，紅色紅色，綠色紅色，黃色

紫色紫色，紅色紫色，綠色紫色，黃色

總共有6種情況，滿足A、B兩燈發(fā)出不同顏色光的有5種,

5

則A、B兩燈發(fā)出不同顏色光的概率7.

3.（2024?陜西西安?一模）2024年元宵節(jié)，西安城墻燈會深挖春節(jié)文化、詩詞文化內(nèi)核，將非遺制燈工藝與

經(jīng)典古詩詞有機(jī)融合，營造出"一步一絕句，一燈一詩詞；龍行五千年，華燈滿城彩"的節(jié)慶文化氛圍.中國

古詩詞作為中國文化的瑰寶，承載了豐富的歷史和文化內(nèi)涵，喜歡古詩詞的宋宇和趙云兩人制作了4張背

面完全相同的卡片，并在卡片正面寫上四首古詩（其中三首是李白的詩，一首是杜甫的詩），如圖，現(xiàn)將卡

片背面朝上洗勻后，宋宇從4張卡片中隨機(jī)抽取一張進(jìn)行朗誦后，放回，洗勻后，趙云再從4張卡片中隨

機(jī)抽取一張進(jìn)行朗誦

—

..1?

⑴宋宇朗誦的是李白的詩的概率為

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法求宋宇和趙云兩人朗誦的是同一首詩的概率.

3

【答案】（1）1

1

（2）4

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的

關(guān)鍵.

（1）直接利用概率公式可得答案；

（2）畫狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及宋宇和趙云兩人朗誦的是同一首詩的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可

得出答案.

3

【詳解】（1）由題意得，宋宇朗誦的是李白的詩的概率為4,

3

故答案為：4；

（2）畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中宋宇和趙云兩人朗誦的是同一首詩的結(jié)果共4種,

4_1

???宋宇和趙云兩人朗誦的是同一首詩的概率為16-4.

題型二由頻率估計概率問題

［典例精講，

【例1】(2024?江西?一模)主題為"安全騎行，從頭媼開始”的安全教育活動在某市全面開展.為了解市民騎

電動自行車出行自覺佩戴頭盔的情況，某數(shù)學(xué)實(shí)踐探究小組在某路口進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過連續(xù)6天的同一時段

的調(diào)查統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)并整理如下表：

經(jīng)過路口的電動自行車數(shù)量/輛180230300260240280

自覺佩戴頭盔人數(shù)/人171216285250228266

自覺佩戴頭盔的頻率0.950.940.950.960.95m

(1)表格中租=;

(2)由此數(shù)據(jù)可估計，經(jīng)過該路口的電動自行車騎行者佩戴了頭盔的概率為；(結(jié)果精確到0.01)

(3)若該小組某天調(diào)查到經(jīng)過該路口的電動自行車共有1200輛，請問其中佩戴了頭盔的騎行者大約有多少

人？

【答案】(1)0.95

(2)0.95

(3)1140人

【分析】本題考查運(yùn)用頻率估計概率，用樣本反映總體，掌握通過大量實(shí)驗(yàn)得到的頻率即為事件發(fā)生的概

率是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)自覺佩戴頭盔人數(shù)+經(jīng)過路口的電動自行車數(shù)量計算即可；

(2)根據(jù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.95左右，即概率估計就為0.95；

(3)根據(jù)樣本的概率X1200解題即可.

【詳解】(1)解：加=266+280=0.95,

故答案為：0.95；

(2)解：根據(jù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.95左右

則自覺佩戴頭盔的頻率為0.95,

二經(jīng)過該路口的電動自行車騎行者佩戴了頭盔的概率為0.95,

故答案為：0.95；

(3)解：1200x0.95=1140(人)，

答：佩戴了頭盔的騎行者大約有U40人.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查運(yùn)用頻率估計概率，用樣本反映總體，掌握通過大量實(shí)驗(yàn)得到的頻率即為事件發(fā)生的概

率是解題的關(guān)鍵.

名校模擬

1.（2022.安徽.模擬預(yù)測）一個不透明的箱子里裝有藍(lán)、白兩種顏色的球共4個，它們除顏色外，其他都相

同.李明將球攪勻后從箱子中隨機(jī)摸出1個球，記下顏色后，再將它放回，不斷重復(fù)實(shí)驗(yàn).多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果如

⑵從該箱子里隨機(jī)摸出1個球，不放回，再摸出1個球.用列舉法求摸到1個藍(lán)球、1個白球的概率.

【答案】⑴075；0.25（或W）

1

（2）摸到1個藍(lán)球、1個白球的概率為2

【分析】（1）運(yùn)用頻率估算概率的方法即可求解；根據(jù)概率和為1即可求解；

（2）運(yùn)用列表或畫樹狀圖求隨機(jī)事件的概率的方法即可求解.

【詳解】（1）解：根據(jù)表格信息可得，摸到白球的頻率將會穩(wěn)定于0-75,摸到藍(lán)球的概率是025,

1

故答案為：0.75.0.25（或4）

（2）解：由（1）知，袋中白球的個數(shù)約為4x0.75=3,藍(lán)球的個數(shù)約為4-3=1,

列表如下：

白白白藍(lán)

123

（藍(lán)，白）

白（白，白）（白，白）

121311

（藍(lán)，白）

白（白，白）（白，白）

212322

（藍(lán)，白）

白（白，白）（白，白）

313233

（白，藍(lán)）（白，藍(lán)）（白，藍(lán)）

藍(lán)

123

由表知，共有2種等可能的結(jié)果，其中摸到1個藍(lán)球、1個白球的結(jié)果有6種,

6__7

，摸到1個藍(lán)球、：L個白球的概率為"一5.

2.在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個，小穎做摸球試驗(yàn)，她將盒子里面的球攪勻后從

中隨機(jī)摸出一個球，記下顏色，然后把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程.如圖所示為"摸到白球"的頻率折

線統(tǒng)計圖.

“摸到白球”的頻率折線統(tǒng)計圖

⑴請估計：當(dāng)〃足夠大時，摸到白球的頻率將會接近（結(jié)果精確到0.1）,假如小李摸一次球,

小李摸到白球的概率為；

（2）試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個；

3

（3）在（2）的條件下，如果要使摸到白球的頻率穩(wěn)定在g,需要往盒子里再放入多少個白球？

【答案】（1）05,0.5

（2）估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有2。個

⑶1。個

【分析】本題考查了用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量，分式方程的應(yīng)用.熟練掌握用頻率估計概率，已

知概率求數(shù)量，分式方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)用頻率估計概率求解作答即可；

（2）由題意知，盒子里白顏色的球有"xOSnZO（個），則黑顏色的球有40-20=20（個）；

20+x_3

（3）設(shè)需要往盒子里再放入x個白球，依題意得，40Z7-5,計算求解，然后作答即可.

【詳解】（1）解：由統(tǒng)計圖可知，當(dāng)n足夠大時，摸到白球的頻率將會接近05,假如小李摸一次球，小李

摸到白球的概率為05,

故答案為：°5,0.5.

（2）解：由題意知，盒子里白顏色的球有4°義。5=20（個），

黑顏色的球有40-20=20（個）；

.??估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有20個；

（3）解：設(shè)需要往盒子里再放入x個白球，

20+x_3

依題意得，40+丁』,

5（20+x）=3（40+x）

9

解得，尤=1°,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原分式方程的解,

???需要往盒子里再放入10個白球.

題型三條形統(tǒng)計圖問題

典例精講

【例1】（2024?陜西寶雞?一模）為了學(xué)生的身心健康，提高學(xué)生就餐滿意度，某學(xué)校對全體學(xué)生開展了食堂

滿意度問卷調(diào)查，滿意度以分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)，從低到高為1分，2分，3分，4分，5分共五檔，調(diào)查人員隨機(jī)抽

取了40份調(diào)查問卷，將數(shù)據(jù)整理成如下統(tǒng)計圖.

⑴這40份調(diào)查問卷的眾數(shù)是分，中位數(shù)是分；

⑵學(xué)校規(guī)定：若學(xué)生所評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)低于3.5分，則食堂需要進(jìn)行整改.根據(jù)這40份調(diào)查問卷的評分,

判斷學(xué)校食堂是否需要整改；

⑶若全校共收回600份調(diào)查問卷，請估計這600份調(diào)查問卷中，評分在4分及以上（含4分）的有多少人?

【答案】⑴4,3.5

⑵學(xué)校食堂需要整改

⑶估計這600份調(diào)查問卷中，評分在4分及以上（含4分）的有300人

【分析】本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)及樣本估計總體思想，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)、中位數(shù)

和加權(quán)平均數(shù)的定義.

（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義求解即可；

（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)求解即可；

（3）利用樣本估計總體的思想求解即可.

【詳解】（1）由條形統(tǒng)計圖可知，4分的最多，所以眾數(shù)是4（分），

從低到高排列后，第20個和21個數(shù)據(jù)分別為3分和4分，所以中位數(shù)是2（分）；

故答案為：4,3.5；

（2）學(xué)生所評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為（1x3+2x5+3x12+4x16+5x4）+40=3.325（分），

???3.325<3.5,

二學(xué)校食堂需要整改；

600、"衛(wèi)=300

(3)40(人),

答：估計評分在4分及以上（含4分）的有300人.

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)及樣本估計總體思想，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)、中位數(shù)

和加權(quán)平均數(shù)的定義.

【例2】（2024.河北石家莊.一模）某班進(jìn)行中考體育適應(yīng)性練習(xí)，球類運(yùn)動可以在籃球、足球、排球中選擇

一種.該班體委將測試成績進(jìn)行統(tǒng)計后，發(fā)現(xiàn)選擇足球的同學(xué)測試成績均為7分、8分、9分、10分中的

一種（滿分為10分），并依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的扇形統(tǒng)計圖（如圖1）和條形統(tǒng)計圖（如圖2）

足球測試成績扇形統(tǒng)計圖足球測試成績條形統(tǒng)計圖

⑴該班選擇足球的同學(xué)共有一人，其中得8分的有一人；

⑵若小宇的足球測試成績超過了參加足球測試的同學(xué)半數(shù)人的成績，則他的成績是否超過了所有足球測試

成績的平均分？通過計算說明理由.

【答案】（1）20,3

（2）小宇的測試成績超過了平均分，理由見解析

【分析】此題主要考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖，加權(quán)平均數(shù)的計算，讀懂統(tǒng)計圖并從統(tǒng)計圖中獲取解

決問題的信息，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計算公式是解決問題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)得9分的人數(shù)是4人，對應(yīng)的扇形圓心角為72°即可求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而可得出得8分的人數(shù)；

（2）根據(jù)得7分8人，得8分的3人得第10名的成績?yōu)?分，再根據(jù)小宇的成績超過半數(shù)人的成績，得

小宇的成績不低于9分，再計算出平均成績即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：由統(tǒng)計圖得：得9分的人數(shù)是4人，對應(yīng)的扇形圓心角為72。，

4+—=20

二總?cè)藬?shù)為：360（人），

得8分的人數(shù)是：20-8-4-5=3（人），

故答案為：20；3；

（2）解：小宇的成績超過了平均分，理由如下：

,:得7分8人，得8分的3人，

，第10名的成績?yōu)?分，

,.小宇的成績超過半數(shù)人的成績，

,小宇的成績不低于9分，

又'.'得7分8人，得8分的3人，得9分的4人，得10分的5人,

平均成績?yōu)椋海?x8+8x3+9x4+10x5）+20=8.3（分），

8.3<9,

二小宇的成績超過了平均分.

名校模擬

1.（23-24八年級下.江蘇宿遷.階段練習(xí)）某市教育行政部門為了了解八年級學(xué)生每學(xué)期參加綜合實(shí)踐活動

的情況，隨機(jī)抽樣調(diào)查了某校八年級學(xué)生一學(xué)期參加綜合實(shí)踐活動的天數(shù)，繪制成部分統(tǒng)計圖如下.

K-----、。人數(shù)

8-

5o

4w-一

3o

二

2o

1O-

2天3天4天5天6天7天時間

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題:

⑴扇形統(tǒng)計圖中a的值為，"活動時間為4天”的扇形所對圓心角為，八年級學(xué)生為

________人；

⑵補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（3）若該市共有6000名學(xué)生，請你估計其中"活動時間不少于4天”的學(xué)生大約有多少名？

【答案】⑴25%,108。，200

⑵見解析

⑶4500

【分析】本題考查扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖相關(guān)數(shù)據(jù)，圓心角度數(shù)，求樣本總量，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

（1）用100%將其余數(shù)值減去即可得到a的值，用"活動時間為4天”的占比乘以360。即可得到"活動時間為

4天”的扇形所對圓心角度數(shù)，在條形統(tǒng)計圖中找出一個已知數(shù)值結(jié)合扇形統(tǒng)計圖作除法即可得到八年級學(xué)

生人數(shù)；

（2）用總?cè)藬?shù)減去其余數(shù)值即可；

（3）先求出"活動時間不少于4天"占比，再乘以該市6000名學(xué)生，即可得到.

［詳解］（1）解：由題意得：a=100%-10%-15%-30%-15%-5%=25%,

"活動時間為4天”的扇形所對圓心角：30%x360°=108°；

八年級學(xué)生：^=2°°

（名）,

故答案為：25%,108°,200.

需=2°°（名）,

（2）解：???八年級學(xué)生:

???"活動時間為7天"學(xué)生人數(shù)：200x5%=10（名），

???"活動時間為5天"學(xué)生人數(shù)：200-20-30-60-30-10=50（名）,

條形統(tǒng)計圖如下：

2天3天4天5天6天7天時間；

（3）解：??,"活動時間不少于4天"的學(xué)生占比：30%+25%+15%+5%=75%,

???”活動時間不少于4天”的學(xué)生大約有：6000x75%=4500（名），

答：”活動時間不少于4天”的學(xué)生大約有4500名.

2.（2024.安徽合肥.一模）在2024年4月23日"世界讀書日”之前，某校為了了解學(xué)生的閱讀情況，對學(xué)生

在2023年讀課外書的數(shù)量進(jìn)行了調(diào)查.所示圖表是根據(jù)隨機(jī)抽取的部分學(xué)生的讀書數(shù)量情況整理的表格和

兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題.

2023年學(xué)生的讀書數(shù)量分組

ABCDE

0~3本4~8本9T4本15~20本超過20本

被調(diào)查人數(shù)條形統(tǒng)計圖被調(diào)查人數(shù)扇形統(tǒng)計圖

⑴請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（2）請說明樣本數(shù)據(jù)中，學(xué)生讀書數(shù)量的中位數(shù)落在哪個范圍內(nèi)；

（3）該校共有3600名學(xué)生，估計在2023年讀課外書的數(shù)量超過20本的學(xué)生有多少名？

【答案】（1）見解析

（2）D組，見解析

（3）1260

【分析】（1）先計算樣本容量20+20%=100（人），根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)中位數(shù)的定義，計算判斷即可；

（3）利用樣本估計總體的思想計算即可得到結(jié)論.

本題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，求中位數(shù)等等，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）根據(jù)題意，得樣本容量20+20%=100（人），

（2）根據(jù)題意，中位數(shù)應(yīng)是第50個數(shù)據(jù)，第51個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

???A組數(shù)據(jù)為5個，B組數(shù)據(jù)為15個，C組數(shù)據(jù)為25個，

A45<50<65,45V51V65,

故中位數(shù)落在D組中.

35

—x3600=1260

（3）根據(jù)題意，得在2023年讀課外書的數(shù)量超過20本的學(xué)生有10。（名）.

題型四數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析

典例精講

【例1】（2024,河南信陽?一模）新鄭紅棗又名雞心棗，是河南省鄭州市新鄭市的特產(chǎn)，素有"靈寶蘋果潼關(guān)

梨，新鄭大棗甜似蜜”的盛贊.某外貿(mào)公司從甲、乙兩個紅棗廠家各隨機(jī)抽取10盒進(jìn)行檢測，共分為三個等

級：合格80W尤<85,良好85Wx<95,優(yōu)秀尤295）,下面給出了部分信息：

10盒甲廠質(zhì)量:83,84,84,88,89,89,95,95,95,98

10盒乙廠質(zhì)量中“良好"等級包含的所有數(shù)據(jù)為：85,90,90,90,94

抽取的甲、乙廠質(zhì)量統(tǒng)計表

廠家平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差"優(yōu)秀"等級所占百分比

甲9089a26.640%

乙90b903930%

抽取的乙J質(zhì)量扇形統(tǒng)計圖

⑴填空：a=,b=,m=；

⑵這個月乙廠可包裝3000盒紅棗，估計該月"優(yōu)秀”等級的盒數(shù)；

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為外貿(mào)公司會選擇紅棗廠家（填"甲"或"乙"）.請說明理由（寫出一條理由即

可）.

【答案】⑴95,90,20.

（2）900盒

⑶甲紅棗廠家，平均數(shù)一樣，但"優(yōu)秀"等級占比大，甲廠方差比乙廠小，質(zhì)量比乙廠穩(wěn)定，眾數(shù)比乙廠大.

【分析】題目主要考查數(shù)據(jù)的處理及利用樣本估計總體，理解題意，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)等的計算方法

是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)，百分比的概念或公式計算即可；

（2）由乙的"優(yōu)秀"等級所占百分比乘以包裝總盒數(shù)即可；

（3）根據(jù)平均數(shù)一樣，比較優(yōu)秀率、方差、眾數(shù)即可判斷.

【詳解】（1）解：甲廠10盒中數(shù)據(jù)出現(xiàn)最多的是95,

故。=95,

乙廠"優(yōu)秀"等級所占百分比為30%,

故"優(yōu)秀"等級有3盒，而"良好”等級包含的所有數(shù)據(jù)為：85,90,90,90,94,

"合格"等級有2盒，

,二嚀絲90

故10個數(shù)據(jù)由小到大排列，第5、6個數(shù)據(jù)是90,90,故中位數(shù)2

m%=2xl00%=20%

乙廠"合格"等級占比1。，故〃z=20,

故答案為：95,90,20.

（2）這個月乙廠可包裝3000盒紅棗，估計該月"優(yōu)秀”等級的盒數(shù)3000x30%=900（盒）

（3）選擇甲紅棗廠家，平均數(shù)一樣，但"優(yōu)秀”等級占比大，甲廠方差比乙廠小，質(zhì)量比乙廠穩(wěn)定，眾數(shù)比

乙廠大.

通關(guān)指導(dǎo)

題目主要考查數(shù)據(jù)的處理及利用樣本估計總體，理解題意，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)等的計算方法

是解題關(guān)鍵.

【例2】（2024?陜西商洛?一模）國家利益高于一切，國家安全人人有責(zé)，2023年4月15日是第八個全民國

家安全教育日，某校開展了“樹牢，總體國家安全觀，感悟新時代國家安全成就”的國安知識競賽，隨機(jī)抽

取根名學(xué)生進(jìn)行測試，對成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析，成績劃分為A（90VxV100）,B（80Vx<90）,

C（70<x<80）,。（6。，<70）四個等級，并制作出不完整的統(tǒng)計圖如下：

頻數(shù)分布直方圖扇形統(tǒng)計圖

B等級數(shù)據(jù)（單位：分）：80,80,81,82,85,86,86,88,89,80.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，并填空：m=,〃=;

（2）抽取的根名學(xué)生中，B等級成績的中位數(shù)是分，眾數(shù)是分；

⑶這所學(xué)校共有1800名學(xué)生，若全部參加這次測試，請你估計成績能達(dá)到A等級的學(xué)生人數(shù).

【答案】⑴50,20

（2）83.5,80

⑶720人

【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)和用樣本估計總體，

(1)根據(jù)。等級的人數(shù)和所占的百分比即可求出陽的值，根據(jù)總?cè)藬?shù)和B等級的人數(shù)即可求出〃的值；

(2)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可得出答案；

(3)用1800乘以A等級所占的百分比即可.

【詳解】(1)解：機(jī)=5+10%=50,

?%=12x100%=20%

50,

/.〃=20.

故答案為：50,20;

82+85

(2)B等級成績從小到大排列處在中間位置的兩個數(shù)是82和85,因此中位數(shù)是2=83.5,

成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是80,因此眾數(shù)是80,

故答案為：83.5,80.

1800X—=720

(3)50(人)，

答：估計成績能達(dá)到A等級的學(xué)生人數(shù)有72°人

”名校模擬.

1.(23-24九年級上?重慶沙坪壩?階段練習(xí))2023年10月8日第十九屆亞運(yùn)會在中國杭州圓滿閉幕.某校舉

行了七、八年級亞運(yùn)知識競賽，現(xiàn)分別在兩個年級中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生，統(tǒng)計這部分學(xué)生的競賽成績，

并對數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理和分析(其中成績大于等于80的視為優(yōu)秀)：

【收頻數(shù)據(jù)】

七年級10名同學(xué)測試成績統(tǒng)計如下：84,78,85,75,72,91,79,72,69,95

八年級10名同學(xué)測試成績統(tǒng)計如下：85,80,76,84,80,72,92,74,75,82

【整理、分析數(shù)據(jù)】兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率如表：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率

七年級80a7240%

八年級8080bC%