甘肅省蘭州市2024屆高三下學期三模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1甘肅省蘭州市2024屆高三下學期三模數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D.2.設集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為集合，若，則，即集合，所以.故選：A.3.已知向量，設與的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，，所以，因為為與的夾角，所以.故選：D.4.在展開式中，含的項的系數(shù)為（）A. B.280 C.560 D.〖答案〗B〖解析〗的二項式展開式的通項公式為，,令，可得，所以，故含的項的系數(shù)為.故選：B.5.已知雙曲線的實軸長等于虛軸長的2倍，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，，故漸近線方程為.故選：C.6.已知a，b均為正實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗a，b均為正實數(shù)，，故，，充分性，，，故，充分性成立，必要性，，不妨設，滿足，但不滿足，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個重要定理，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》，年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題的解法傳至歐洲，年英國數(shù)學家馬西森指出此法符合年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個整除問題：將至這個整數(shù)中能被除余且被除余的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列.設，則（）A.8 B.16 C.32 D.64〖答案〗A〖解析〗被除余且被除余數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列，則數(shù)列是一個以5為首項，以6為公差的等差數(shù)列；所以，故；.故選：A.8.已知函數(shù)，對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，易知在上單調遞減，所以，所以，所以，又因為對于任意的，不等式恒成立，即對于任意的，不等式恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．由，知，，所以當，上式等價于恒成立．設，，，開口向上，對稱軸為，當時，，所以在內單調遞減，而，所以，所以，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分-在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求-全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在圓O的內接四邊形中，，，，則（）A. B.四邊形的面積為C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意，，故，在中，由余弦定理，在中，由余弦定理，故，解得，又，故故，解得，A正確；，B正確；在中，，在中，，，C錯誤；，又，故，D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖，則（）A. B.函數(shù)的圖象關于軸對稱C.函數(shù)在上單調遞減 D.函數(shù)在有4個極值點〖答案〗BD〖解析〗A:由圖可知的周期為：，又，所以；由，，且，所以；由，所以，故A錯誤；B：由A的分析知，所以，因為為偶函數(shù)，故B正確；C：由，得，故在上單調遞增，故C錯誤；D：因為，，，，故D正確.故選：BD.11.已知正方體的棱長為1，，分別為棱，上的動點，則（）A.四面體的體積為定值 B.四面體的體積為定值C.四面體的體積最大值為 D.四面體的體積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗A：因為的面積為，到平面的距離不是定值，所以四面體的體積不是定值，故A錯誤；B：因為的面積為，P到矩形的距離為定值，所以到平面的距離為，則四面體的體積為，故B正確；C：當Q與重合時，取得最大值，為，當與重合時，到平面的距離d取得最大值，在正中，其外接圓的半徑為，則，故四面體的體積最大值為，故C正確；D：過點作，，，設，，則，，，，，，故四面體的體積為，其最大值為，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一組樣本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位數(shù)是________．〖答案〗37.5〖解析〗從小到大排序為：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位數(shù)是．13.已知拋物線的焦點，直線過與拋物線交于，兩點，若，則直線的方程為________，的面積為________（為坐標原點）．〖答案〗〖解析〗因為拋物線過點A，所以，解得，所以拋物線的方程為，則，得直線的方程為，與聯(lián)立整理得，設，故，，故的面積為．14.已知函數(shù)，當時的最大值與最小值的和為________．〖答案〗〖解析〗，當時，，遞增；當時，，遞減；，，，，故最大值與最小值的和為：．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點，與交于點．（1）求證：平面；（2）平面與直線交于點，求直線與平面所成角的大?。?）證明：因為為正三角形，是中點，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，又在平面內且相交，故平面（2）解：分別為的中點，，又平面過且不過，平面．又平面交平面于，故，進而，因為是中點，所以是的中點．以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，設平面法向量為，則，即，取，得，則，因為，所以.16.某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學生在一年內每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關系；性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性無關；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1（2）因學?？倢W生數(shù)遠大于所抽取的學生數(shù)，故近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得17.已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若對于任意成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為數(shù)列的前項和為，且，即，當時，可得，兩式相減得，因為，故，所以及均為公差為4的等差數(shù)列：當時，由及，解得，所以，，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，可得，因為對于任意成立，所以恒成立，設，則，當，即時，當，即時，所以，故，所以，即實數(shù)的取值范圍為.18.如圖，為坐標原點，為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于兩點，直線交拋物線的準線于點，設拋物線在點處的切線為．（1）若直線與軸的交點為，求證：；（2）過點作的垂線與直線交于點，求證：．解：（1）易知拋物線焦點，準線方程為；設直線的方程為聯(lián)立得，可得，所以；不妨設在第一象限，在第四象限，對于；可得的斜率為，所以的方程為，即為令得，直線的方程為，令得．又，所以，即得證．（2）方法1：由（1）中的斜率為可得過點的的垂線斜率為，所以過點的的垂線的方程為，即，如圖所示：聯(lián)立，解得的縱坐標為，要證明，因四點共線，只需證明（*）．，．所以（*）成立，得證.方法2：由知與軸平行，①又的斜率為的斜率也為，所以與平行，②，由①②得，即得證.19.微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應用開創(chuàng)了向近代數(shù)學過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因為曲邊梯形的面積小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進一步可以推導出不等式：．（1）請仿照這種根據(jù)面積關系證明不等式的方法，證明：；（2）已知函數(shù)，其中．①證明：對任意兩個不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；②當時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）在曲線取一點．過點作的切線分別交于，因為，可得，即．（2）①由函數(shù)，可得