人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)下冊(cè)第04講 菱形（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（原卷版）

第04講菱形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①菱形的定義與性質(zhì)②菱形的判定熟悉菱形的定義，掌握菱形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用性質(zhì)。掌握菱形的判定方法，能夠熟練的選擇合適的判定方法判定菱形。知識(shí)點(diǎn)01菱形的定義與性質(zhì)分式方程的概念：有一組鄰邊的平行四邊形是菱形。菱形的性質(zhì)：①菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形所有的性質(zhì)。特殊性：②邊的特殊性：四條邊都。即：ABBCCDAD③對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線相互且每一組對(duì)角。即：ACBD，且∠DAC∠BAC∠DCA∠BCA，∠ADB∠CDB∠ABD∠CBD。④面積計(jì)算：等于對(duì)角線乘積的一半。即。⑤對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形?！炯磳W(xué)即練1】1．菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角相等 B．對(duì)邊平行 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線相等【即學(xué)即練2】2．如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，連接OE，若∠ABC＝120°，則∠OED＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【即學(xué)即練3】3．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，則OE的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．知識(shí)點(diǎn)02菱形的判定直接判定：四條邊都相等的四邊形是菱形。符號(hào)語言：∵AB=BC=CD=AD∴四邊形ABCD是菱形平行四邊形判定：①鄰邊相等的平行四邊形是菱形。符號(hào)語言：∵在?ABCD中，AB=AD∴四邊形ABCD是菱形②對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形。符號(hào)語言：∵在?ABCD中，AC⊥BD∴四邊形ABCD是菱形【即學(xué)即練1】4．如圖所示，已知△ABC，AB＝AC，將△ABC沿邊BC翻轉(zhuǎn)，得到的△DBC與原△ABC拼成四邊形ABDC，則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是（）A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B．四邊相等的四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形【即學(xué)即練2】5．要使?ABCD成為菱形，則可添加一個(gè)條件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AD＝BC D．AC＝BD【即學(xué)即練3】6．已知，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F．求證：四邊形AEDF是菱形．題型01利用菱形的性質(zhì)求線段或周長(zhǎng)【典例1】菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為10cm，8cm，則此菱形的周長(zhǎng)為（）A．12cm B． C．4cm D．24cm【變式1】若菱形的面積為216，其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)為24，則該菱形的周長(zhǎng)為（）A．36 B．24 C．48 D．60【變式2】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AC＝8，BD＝6，則AD與BC之間的距離為（）A．6 B． C． D．4【變式3】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長(zhǎng)為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【變式4】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，點(diǎn)E是BD上不與點(diǎn)B和點(diǎn)D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E分別作AB和AD的垂線，垂足為F，G，則EF+EG的值為（）A． B．2 C． D．4題型02利用菱形的性質(zhì)求角度【典例1】如圖，AC，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為．【變式1】如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠BCD＝40°，則∠OED的度數(shù)是．【變式2】如圖，用七支長(zhǎng)度相同的鉛筆，排成一個(gè)菱形ABCD和一個(gè)等邊△DEF，使得點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB和BC上，那么∠B的度數(shù)為（）A．105° B．100° C．95° D．80°【變式3】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連接DF，則∠CFD的度數(shù)是（）A．80° B．82° C．86° D．88°【變式4】如圖，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的長(zhǎng)為半徑，分別以點(diǎn)A，B為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交AD邊于點(diǎn)E（作圖痕跡如圖所示），連接BE，BD．則∠EBD的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．60° D．70°題型03利用菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例1】如圖：已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，菱形ABCD的對(duì)角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O，則C點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．（﹣2，﹣2）【變式1】如圖，四邊形OABC是菱形，AC＝12，OB＝16，則頂點(diǎn)A坐標(biāo)是．【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在x軸上，邊BC在y軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，5），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，﹣2） B．（0，﹣3） C．（0，﹣2.5） D．（﹣2，0）【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，4）、（﹣2，0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【變式4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，兩對(duì)角線交于點(diǎn)E．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．題型04菱形的判定方法【典例1】下列說法中，正確的是（）A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形 D．對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形【變式1】在下列條件中，能夠判定?ABCD為菱形的是（）A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD【變式2】如圖，?ABCD對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：____使得?ABCD是菱形（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD【變式3】如圖，下列條件之一能使?ABCD是菱形的為（）①AC＝BD；②AC平分∠BAD；③AB＝BC；④AC⊥BD；A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④題型05菱形的判定與性質(zhì)【典例1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，AE∥CD，CE∥AB，連接DE交AC于點(diǎn)O，求證：四邊形ADCE為菱形．【變式1】如圖，在?ABCD中，CF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且CF＝DE．（1）求證：四邊形ABCD為菱形；（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的長(zhǎng)．【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面積．【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)E是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE＝OD，BF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的長(zhǎng)．【變式4】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD．作AE∥DC，CE∥AB，連接ED．（1）如圖1，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求證：AC＝ED；（2）如圖2，當(dāng)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，①四邊形ADCE的形狀是；請(qǐng)說明理由．②若AB＝5，ED＝4，則四邊形ADCE的面積為．【變式5】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，．∠C＝30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．（1）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的t值為：．1．下列選項(xiàng)中，菱形不具有的性質(zhì)是（）A．四邊相等 B．對(duì)角線互相垂直 C．對(duì)角線相等 D．每條對(duì)角線平分一組對(duì)角2．在四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列說法能使四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD3．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)F，E是AB的中點(diǎn)，若EF＝2，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)是（）A．2 B．4 C．6 D．84．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝3，DB＝4，則點(diǎn)A到BC的距離為（）A． B． C． D．5．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，若AC＝6，BD＝2，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．24 B．8 C． D．6．如圖，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F(xiàn)分別是CB，CD上兩點(diǎn)，連接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α7．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝120°，BD＝4，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．88．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在條件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，選擇一個(gè)條件，使得四邊形ABCD是菱形，可選擇的條件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．如圖，在給定的平行四邊形上，作一個(gè)菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接MN，則四邊形ABNM為菱形；乙：以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E，連接BE，作BE的垂直平分線交BC于點(diǎn)H，則四邊形ABHE為菱形；根據(jù)兩人的做法可判斷（）A．甲正確，乙錯(cuò)誤 B．乙正確，甲錯(cuò)誤 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯(cuò)誤10．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P是AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，則PE+PF的值為（）A． B． C． D．11．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于點(diǎn)O．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使四邊形ABCD成為菱形．12．在菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝4，BD＝6，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是．13．如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的三條直線將菱形分成陰影部分和空白部分，若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為10和24，求陰影部分的面積為．14．如圖，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝45°，E，F(xiàn)分別是過CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的最小值為．15．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為26，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為48，延長(zhǎng)AB至E，BF平分∠CBE，點(diǎn)G是BF上任意一點(diǎn)，則△ACG的面積為．16．如圖，AD是△ABC的角平分線，AD的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接DE、DF．（1）判斷四邊形AEDF的形狀，并證明；（2）當(dāng)AB＝9，AC＝6時(shí)，求DF的長(zhǎng)．17．如圖，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是邊AE上一點(diǎn)，連接BC，O為AC的中點(diǎn)，過C作CD∥AB交BO延長(zhǎng)線于D，且AC平分∠BCD，連接AD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）連接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度數(shù)．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AD上，且AF＝AB，連接BF交AE于點(diǎn)G，連接EF．（1）求證：四