福建省高三年5月份沖刺模擬訓(xùn)練（1）參考答案

福建省2024屆高三年5月份沖刺模擬訓(xùn)練（1）數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．集合，，，則A．， B． C． D．【分析】求出集合，利用交集定義能求出．【解答】解：集合，，，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A．2 B． C．4 D．【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算得到，根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得到方程，求出．【解答】解：，由題意得：且，解得：．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．已知向量，，則在方向上的投影是A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)，代入公式求出投影即可．【解答】解：向量，，在方向上的投影為：，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了向量的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．4．圖1是世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”——口徑拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為156.25米，它的一個(gè)軸截面是一個(gè)開口向上的拋物線的一部分，放入如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知該拋物線上點(diǎn)到底部水平線軸）距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為A． B． C． D．【分析】設(shè)拋物線為且，根據(jù)在拋物線上求，利用拋物線定義求到該拋物線焦點(diǎn)的距離．【解答】解：令拋物線方程為且，由題設(shè)，在拋物線上，則，解得，又，且，則到該拋物線焦點(diǎn)的距離為米．故選：．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．5．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．【分析】求得的定義域和奇偶性，可得圖象的特點(diǎn)，討論時(shí)，的符號，由排除法可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，可得為奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除選項(xiàng)、；當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，可得為增函數(shù)，可得，又，，所以當(dāng)時(shí)，，可排除選項(xiàng)，故選：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，注意分析函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的符號，考查數(shù)形結(jié)合思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．6．已知的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)A．2 B． C．1 D．【分析】由題意，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得的值．【解答】解：由于的展開式的通項(xiàng)公式為故的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．7．已知，滿足，，則A． B． C． D．【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可求解．【解答】解：對于，因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒小于零，所以，又因?yàn)椋?，故選項(xiàng)錯誤；對于，因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)取對數(shù)可化為，也即；又因?yàn)榭苫癁?，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)可得，所以；所以和是方程的根，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以方程有一根，則，也即，所以，則，故選項(xiàng)錯誤；對于，因?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)恒小于零，所以，又因?yàn)?，又因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性定理可知：，故選項(xiàng)正確；對于，由選項(xiàng)的分析可知：在上單調(diào)遞增，且（b），因?yàn)?，所以，則，所以，由選項(xiàng)可知：，所以，故選項(xiàng)錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)的大小的比較，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交雙曲線的右支于、兩點(diǎn)．點(diǎn)滿足，且，者，則雙曲線的離心率是A． B． C． D．【分析】取線段的中點(diǎn)，連接，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)出，可知，利用雙曲線的定義求出、的長，利用余弦定理可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求出該雙曲線的離心率的值．【解答】解：如下圖所示，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，由雙曲線的定義可得，所以，則，由余弦定理可得，所以，因此該雙曲線的離心率為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的可能取值為A．7 B．6 C．5 D．8【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，可得圓心到的距離為5，得到圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，再由，可得，從而得到的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)得答案．【解答】解：圓的圓心，半徑為1，圓心到的距離為5，圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，再由，可得以為直徑的圓和圓有交點(diǎn)，得，即，結(jié)合選項(xiàng)可得，的值可能取6和5．故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合的解題思想，是中檔題．10．在棱長為1的正方體中，，，分別為線段，，上的動點(diǎn)，，均不與點(diǎn)重合），則下列說法正確的是A．存在點(diǎn)，，，使得平面 B．存在點(diǎn)，，，使得 C．當(dāng)平面時(shí)，三棱錐與三棱錐體積之和的最大值為 D．記，，與平面所成的角分別為，，，則【分析】正方體中，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，，，、、，，當(dāng)時(shí)，，則，要使平面，則需，可用向量法計(jì)算判定選項(xiàng)；，，則，要使，則需即可，用三角函數(shù)判定選項(xiàng)；當(dāng)平面時(shí)，，則需最大，則選項(xiàng)可判定；由等積法得到平面的距離為，進(jìn)而可得，，，選項(xiàng)可判定．【解答】解：在棱長為1的正方體中，，，分別為線段，，上的動點(diǎn)（其中，，，均不與點(diǎn)重合），對于，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，，，、、，，平面，平面，又，，平面又平面，，當(dāng)時(shí)，則，，要使平面，則需要，，0，，，，，，1，，，，，即，當(dāng)時(shí)，，則正確；對于，，，則，要使，則需，，，，則中，由余弦定理可得．，，，，，，，，故錯誤；對于，當(dāng)平面時(shí)，，要使三棱錐與三棱錐體積之和的最大，則需最大，，0，，，，，，1，，，1，，，1，，，，，平面，，則，又、、，，最大為，最大為，故錯誤；對于，，，，又，由等積法得到平面的距離為：，，，．，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．11．如圖，楊輝三角形中的對角線之和1，1，2，3，5，8，13，21，構(gòu)成的斐波那契數(shù)列經(jīng)常在自然中神奇地出現(xiàn)，例如向日葵花序中央的管狀花和種子從圓心向外，每一圈的數(shù)字就組成這個(gè)數(shù)列，等等．在量子力學(xué)中，粒子糾纏態(tài)、量子臨界點(diǎn)研究也離不開這個(gè)數(shù)列．斐波那契數(shù)列的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都是1，第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)的和，則A． B． C． D．【分析】由已知且，利用及累加法判斷；利用及累加法判斷；利用及累加法判斷；利用及累加法判斷．【解答】解：由題意得且，，，，，，，則，故錯誤；，，，，，，則，故正確；，則，，故正確；，，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若隨機(jī)變量，且，則0.2．【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性求出的值，然后根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性可得出，代值計(jì)算即可得解．【解答】解：因?yàn)?，且，則，所以，．故答案為：0.2．【點(diǎn)評】本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)，正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．13．已知（A），，，那么（B）0.38．【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解．【解答】解：因?yàn)椋ˋ），所以，因?yàn)?，所以（A），因?yàn)椋?，所以．故答案為?.38．【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14．計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)．取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，精確到0.01的近似值為．【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到，求得的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)，令，代入上式，進(jìn)而求得的近似值．【解答】解：取時(shí)，可得，則，所以的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，令，代入上式可得．故答案為：；0.84．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.【解答】解：（1）證明：因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）因?yàn)?，，，所以，所以，所以是直角三角形，，又，所以是直角三角形，，又，所以以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，4，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，所以，2，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，所以，令，則，，所以，，，由題意知平面的一個(gè)法向量為，0，，設(shè)平面與平面夾角為，所以，，所以平面與平面夾角的余弦值為．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是空間向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．16.【解答】解：（1）在中，為最小角且，，均為整數(shù)，則，若，因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，故，又因?yàn)闉樽钚〗?，則，都大于，與矛盾，所以，即．（2）由第一空可知，故，則，即，因?yàn)榍?，，均為整?shù)，故，，，為銳角，故，由正弦定理得：，即，，所以在中，的中點(diǎn)為，故，，則，故．【點(diǎn)評】本題主要考查解三角形，屬于中檔題．17.解：（1）列聯(lián)表補(bǔ)充如下：患病未患病總計(jì)服用藥物104555未服用藥物203050總計(jì)3075105（2）：藥物對預(yù)防疾病無效，由列聯(lián)表，可得．即假設(shè)不成立．，認(rèn)為“藥物對預(yù)防疾病有效”犯錯誤的概率是．（3）根據(jù)題意，10只未患病動物中，有6只服用藥物，4只未服用藥物，所以的值可能為0，1，2，3，4，則，，，，，的分布列如下：01234則．【點(diǎn)評】本題考查超幾何分布的概率計(jì)算和獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的期望，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．18.【解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以．①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，記，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2）證明：因?yàn)?，所以，由題意知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，由△，且，知．因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，所以，則．因?yàn)?，所以，所以，即．由二次函?shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，即，故．又因?yàn)槭欠匠痰母?，所以，代入式，得，令，則．設(shè)，，所以，則單調(diào)遞減，從而有，即，得證．【點(diǎn)評】此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意化簡，然后換元后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證得結(jié)論，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題．19.【解答】解：（1）由題意得：，，又，解得：，，故橢圓的