人教版高中數學選擇性必修第二冊5.3.2.3導數在函數有關問題及實際生活中的應用【同步教學課件】

第五章第三課時導數在函數有關問題及實際生活中的應用1.能用導數解決函數的零點問題.2.體會導數在解決實際問題中的作用.3.能利用導數解決簡單的實際問題.課標要求素養(yǎng)要求1.通過學習用導數解決生活中的優(yōu)化問題，培養(yǎng)數學建模的核心素養(yǎng).2.借助實際問題的求解，提升邏輯推理及數學運算的核心素養(yǎng).課前預習課堂互動分層訓練內容索引課前預習知識探究11.函數圖象的畫法函數f(x)的圖象直觀地反映了函數f(x)的性質.通常，按如下步驟畫出函數f(x)的圖象：(1)求出函數f(x)的________；(2)求導數f′(x)及函數f′(x)的______；(3)用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分成若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的______，并得出f(x)的________與______；(4)確定f(x)的圖象所經過的一些特殊點，以及圖象的__________；(5)畫出f(x)的大致圖象.定義域零點單調性極值正負變化趨勢2.用導數解決優(yōu)化問題的基本思路函數導數點睛1.思考辨析，判斷正誤(1)用導數研究實際問題要先求定義域.()(2)方程xex＝2有兩個不相等的實數根.(

)√×C解析由題意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1時，f′(x)的最小值為－1，即原油溫度的瞬時變化率的最小值是－1.C解析由題意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).當0<x<9時，y′>0；當x>9時，y′<0.故當x＝9時，y取得極大值，也是最大值.4.某產品的銷售收入y1(萬元)關于產量x(千臺)的函數關系式為y1＝17x2，生產成本y2(萬元)關于產量x(千臺)的函數關系式為y2＝2x3－x2，已知x>0，為使利潤最大，應生產該產品________千臺.解析由題意，利潤y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0).y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)，當x∈(0，6)時，y′>0，當x∈(6，＋∞)時，y′<0，∴函數在(0，6)上為增函數，在(6，＋∞)上為減函數.則當x＝6時，y有最大值.6課堂互動題型剖析2題型一利用導數研究函數的圖象B當x<0時，y<0，排除A；當x<3時，y′>0，當x>3時，y′<0，∴函數在(0，＋∞)上先增后減.故選B.當x<0時，y<0，排除A；當x→＋∞時，y→0.故選B.根據解析式判斷函數的圖象時，綜合應用各種方法：如判斷函數的奇偶性，定義域、特殊值和單調性，有時還要用導數研究函數的極值點，甚至最值等.思維升華【訓練1】

函數f(x)＝ex2－2x2的圖象大致為(

)A題型二利用導數解決函數的零點或方程的根問題f′(x)及f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，e1－a)e1－a(e1－a，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

極大值

所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，e1－a)，單調遞減區(qū)間為(e1－a，＋∞).(2)當a≤1時，求函數f(x)在區(qū)間(0，e]上零點的個數.①當a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調遞增，在區(qū)間(1，e)上單調遞減.又f(1)＝0，故f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個零點.②當a<1時，1－a>0，e1－a>1，綜上，當a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個零點，當a<1時，f(x)在區(qū)間(0，e]上無零點.與函數零點有關的問題，往往利用導數研究函數的單調性和極值點，并結合特殊點判斷函數的大致圖象，討論圖象與x軸的位置關系.(或者轉化為兩個熟悉函數的圖象交點問題)確定參數的取值范圍.思維升華解

對f(x)求導得f′(x)＝3ax2－b，(2)若方程f(x)＝k有3個不同的實數根，求實數k的取值范圍.解

由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴當x<－2或x>2時，f′(x)>0；當－2<x<2時，f′(x)<0.題型三導數在生活實際問題中應用(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，由上表可得，x＝4是函數f(x)在區(qū)間(3，6)內的極大值點，也是最大值點，所以，當x＝4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)

極大值42

解決利潤最大問題的思路及注意點(1)利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據“利潤＝收入－成本”建立函數解析式，再利用導數求最大值.(2)求解此類問題需注意兩點：①售價要大于或等于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利.思維升華【訓練3】

某電子公司開發(fā)一種智能手機的配件，每個配件的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件，通過改進工藝，每個配件的成本不變，質量和技術含金量提高，市場分析的結果表明，如果每個配件的銷售價提高的百分率為x(0<x<1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2，記改進工藝后該電子公司銷售該配件的月平均利潤是y(元). (1)寫出y與x的函數關系式；解改進工藝后，每個配件的銷售價為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y與x的函數關系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1).(2)改進工藝后，試確定該智能手機配件的售價，使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.解y′＝5a(4－2x－12x2)，角度2用料最省、成本(費用)最低問題而建造費用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小？并求最小值.當0≤x<5時，f′(x)<0，當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元.在實際生活中關于用料最省、費用最低、損耗最小、用時最短等問題，一般情況下都需要利用導數求解相應函數的最小值.若求出極值點(注意根據實際意義舍去不合適的極值點)后，函數在該點附近滿足“左減右增”，則此時唯一的極小值就是所求的函數的最小值.思維升華【訓練4】

已知A，B兩地相距200千米，一只船從A地逆水航行到B地，水速為8千米/時，船在靜水中的航行速度為v千米/時(8<v≤v0).若船每小時航行所需的燃料費與其在靜水中的航行速度的平方成正比，當

v＝12千米/時時地，船每小時航行所需的燃料費為720元.為了使全程燃料費最省，船在靜水中的航行速度v應為多少？解設船每小時航行所需的燃料費為y1元，比例系數為k(k>0)，則y1＝kv2.∵當v＝12時，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，則y1＝5v2.令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.若v0≥16，當v∈(8，16)時，y′<0，y為減函數；當v∈(16，v0]時，y′>0，y為增函數.故當v＝16千米/時時，y取得極小值，也是最小值，此時全程燃料費最省.若v0<16，則v∈(8，v0]，且y′<0，y在(8，v0]上為減函數.故當v＝v0時，y取得最小值，此時全程燃料費最省.1.運用零點存在性定理求解零點存在或者零點個數問題的關鍵是尋找合適的零點區(qū)間.本題還可以采取分離變量法把零點個數問題轉化為函數圖象的交點個數問題.2.利用導數解決優(yōu)化問題，往往歸結為函數的最大值或最小值問題.

解題的一般方法如下： (1)設出變量找出函數關系式，確定定義域； (2)若函數f(x)在定義域內只有一個極值點x0，則不需與端點處函數值比較，f(x0)即是所求的最大值或最小值.

課堂小結分層訓練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.將8分為兩個非負數之和，使兩個非負數的立方和最小，則應分為(

) A.2和6 B.4和4 C.3和5 D.以上都不對B解析設一個數為x，則另一個數為8－x，則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當0≤x＜4，y′<0；當4<x≤8時，y′>0.所以當x＝4時，y最小.2.某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料場的長和寬應分別為(單位：米)(

) A.32，16 B.30，15 C.40，20 D.36，18A3.設函數f(x)的導函數為f′(x)，若f(x)為偶函數，且在(0，1)上存在極大值，則f′(x)的圖象可能為(

)C解析根據題意，f(x)為偶函數，則其導數f′(x)為奇函數，結合函數圖象可以排除B，D.又由于函數f(x)在(0，1)上存在極大值，則其導數圖象在(0，1)上存在零點，且零點左側導數值符號為正，右側導數值符號為負，結合選項可以排除A，只有C選項符合題意，故選C.4.某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數為k(k>0).已知貸款的利率為0.0486，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去.設存款利率為x，x∈(0，0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為(

) A.0.0162 B.0.0324 C.0.0243 D.0.0486B解析依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486).所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，則y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去).當0<x<0.0324時，y′>0；當0.0324<x<0.0486時，y′<0.所以當x＝0.0324時，y取得最大值，即當存款利率為0.0324時，銀行獲得最大收益.5.若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，則實數m的取值范圍是(

) A.[－2，2] B.[0，2] C.[－2，0] D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)A解析方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，則－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求實數m的取值范圍可轉化為求函數的值域問題.令y＝x3－3x，x∈[0，2]，則y′＝3x2－3，令y′>0，解得x>1，因此函數在[0，1)上單調遞減，在(1，2]上單調遞增，又x＝1時，y＝－2；x＝2時，y＝2；x＝0時，y＝0，∴函數y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，∴m∈[－2，2]，故選A.二、填空題6.已知函數f(x)＝x4＋9x＋5，則f(x)的圖象在(－1，3)內與x軸的交點的個數為________.1解析f′(x)＝4x3＋9，當x∈(－1，3)時，f′(x)>0，所以f(x)在(－1，3)上單調遞增，因為f(－1)＝－3<0，f(0)＝5>0，所以f(x)的圖象在(－1，3)內與x軸只有一個交點.7.若函數f(x)＝x2ex－a恰有三個零點，則實數a的取值范圍是_____________.解析

令g(x)＝x2ex，則g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).令g′(x)＝0，得x＝0或－2，∴g(x)在(－2，0)上單調遞減，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上單調遞增.由f(x)＝0有一個實根，得Δ≤0(Δ是方程f′(x)＝0的根的判別式)或f(x1)·f(x2)>0(x1，x2是f(x)的極值的點).①由Δ≤0，得a＝0；②令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a(a≠0)，三、解答題9.如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最小？解

設廣告的高和寬分別為xcm，ycm，令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函數在(140，＋∞)上單調遞增，在(20，140)上單調遞減，∴S(x)的最小值為S(140).當x＝140時，y＝175.即當x＝140，y＝175時，S取得最小值24500，故當廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最小.10.用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？解設長方體的寬為xm，則長為2xm，從而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x).令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1.故在x＝1時V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值.從而最大體積V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此時長方體的長為2m，高為1.5m.故當長方體的長為2m，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m3.11.(多選題)設x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的有(

) A.a＝－3，b＝2 B.a＝－3，b＝－3 C.a＝－3，b>2 D.a＝1，b＝2BCD解析

記f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.當a≥0時，f′(x)≥0，f(x)單調遞增，必有一實根，D項滿足題意；當a<0時，由于選項中只有a＝－3，故只考慮a＝－3即可.此時f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)時，f(x)單調遞增；x∈(－1，1)時，f(x)單調遞減，故f(x)極大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)極小值＝f(1)＝b－2，只有一個實根，則需滿足f(x)極大值<0或f(x)極小值>0，則b<－2或b>2，B、C項滿足.故選BCD.12.某批發(fā)商以每噸20元購進一批建筑材料，若以每噸M元零售，銷售N(單位：噸)與零售價M(單位：元)有如下關系：N＝8300－170M－M2，則該批材料零售價定為________元時利潤最大，利潤的最大值為________元.3023000解析設該商品的利潤為y元，由題意知，y＝N(M－2