人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊5.1.2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義【同步課件】

第2課時導(dǎo)數(shù)的幾何意義第五章5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，經(jīng)過前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們經(jīng)歷了從物理中的瞬時變化，到幾何中的切線的斜率，再到數(shù)學(xué)中函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)，不禁會想，我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的意義何在，其實，之前所學(xué)只為今天，今天我們將揭開謎底，一探導(dǎo)數(shù)的幾何意義.導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系三、導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))內(nèi)容索引一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題1導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是什么？提示我們知道導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率，反映了函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的變化情況，如下圖.知識梳理函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的

.也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是

.相應(yīng)地，切線方程為

.切線的斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)∴曲線在點P(2,4)處切線的斜率為＝4.∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程.則切線的斜率為∵點P(2,4)在切線上，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切線方程為x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.反思感悟求曲線過某點的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點坐標(biāo)，進而求出切線方程.由直線的點斜式方程可得切線方程為二、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系問題2

函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？提示如圖當(dāng)t＝t0時，函數(shù)的圖象在t＝t0處的切線平行于t軸，即h′(t0)＝0，這時，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.當(dāng)t＝t1時，函數(shù)的圖象在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)<0，這時，在t＝t1附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t1附近單調(diào)遞減.當(dāng)t＝t2時，函數(shù)的圖象在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0，這時，在t＝t2附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t2附近單調(diào)遞減.通過研究t＝t1和t＝t2發(fā)現(xiàn)直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明函數(shù)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的緩慢.知識梳理若f′(x0)＝0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k＝

；若f′(x0)>0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k

0，且函數(shù)在x＝x0附近_____

，且f′(x0)越大，說明函數(shù)圖象變化的越快；若f′(x0)<0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k

0，且函數(shù)在x＝x0附近

，且|f′(x0)|越大，說明函數(shù)圖象變化的越快.0單調(diào)遞增<單調(diào)遞減>例2

已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB)

D.不能確定解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點A，B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)<f′(xB).√反思感悟?qū)?shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決.(1)曲線f(x)在x0附近的變化情況可通過x0處的切線刻畫.f′(x0)>0說明曲線在x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x0附近曲線是上升的；f′(x0)<0說明在x0附近曲線是下降的.(2)曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢.跟蹤訓(xùn)練2

已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)

＝a，則下列不等式正確的是A.f′(1)<f′(2)<aB.f′(1)<a<f′(2)C.f′(2)<f′(1)<aD.a<f′(1)<f′(2)√解析由圖象可知，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的增長越來越快，∴通過作切線與割線可得f′(1)<a<f′(2)，故選B.三、導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))問題3

以上我們知道，求函數(shù)某一點的導(dǎo)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在該點附近的變化，能否通過求導(dǎo)研究函數(shù)的整體變化？知識梳理導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看出，當(dāng)x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的

(簡稱導(dǎo)數(shù)).y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作

或

，即f′(x)＝y(tǒng)′＝

.注意點：(1)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值.(2)f′(x)是函數(shù)，f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù).導(dǎo)函數(shù)f′(x)y′反思感悟不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個函數(shù)也不一定在所有的點上都有導(dǎo)數(shù).若某函數(shù)在某一點導(dǎo)數(shù)存在，則稱其在這一點可導(dǎo)，否則稱為不可導(dǎo).然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo).解∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)1.知識清單：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(2)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.(3)導(dǎo)函數(shù)的概念.2.方法歸納：方程思想、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：切線過某點，這點不一定是切點.課堂小結(jié)隨堂演練12341.已知曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)等于A.4 B.－4 C.－2 D.2√解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(1)＝2.1234√設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.12343.曲線f(x)＝

在點(3,3)處的切線的傾斜角α等于A.45° B.60° C.135° D.120°√又切線的傾斜角α的范圍為0°≤α<180°，所以所求傾斜角為135°.12344.已知曲線y＝2x2＋4x在點P處的切線斜率為16，則P點坐標(biāo)為_______.(3,30)令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線A.不存在

B.與x軸平行或重合C.與x軸垂直

D.與x軸斜交√解析因為f′(x0)＝0，所以曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率為0.12345678910111213141516√解析由導(dǎo)數(shù)的定義可知，123456789101112131415163.已知曲線y＝x2上一點A(2,4)，則在點A處的切線斜率為A.4 B.16 C.8 D.2√123456789101112131415164.若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0由題意可知，切線斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切點坐標(biāo)為(2,4)，切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.√解析設(shè)切點為(x0，y0)，1234567891011121314155.已知函數(shù)f(x)滿足f′(x1)>0，f′(x2)<0，則在x1和x2附近符合條件的f(x)的圖象大致是16√解析由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的圖象在x1處切線的斜率為正，在x2處切線的斜率為負(fù).123456789101112131415166.(多選)下列各點中，在曲線y＝x3－2x上，且在該點處的切線傾斜角為

的是A.(0,0) B.(1，－1)C.(－1,1) D.(1,1)√√12345678910111213141516解析設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，所以x0＝±1，當(dāng)x0＝1時，y0＝－1.當(dāng)x0＝－1時，y0＝1.123456789101112131415167.已知函數(shù)y＝f(x)在點(2,1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則y′|x＝2＝_____.3解析因為直線3x－y－2＝0的斜率為3，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知y′|x＝2＝3.123456789101112131415168.已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲線f(x)在x＝1處的切線在y軸上的截距為－1，則實數(shù)a的值為_____.2解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線的斜率為k＝f′(1)＝4.又切線在y軸上的截距為－1，所以曲線f(x)在x＝1處的切線方程為y＝4x－1，從而可得切點坐標(biāo)為(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.123456789101112131415169.在拋物線y＝x2上哪一點處的切線平行于直線4x－y＋1＝0？哪一點處的切線垂直于這條直線？12345678910111213141516設(shè)拋物線上點P(x0，y0)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，則

＝2x0＝4，解得x0＝2，設(shè)拋物線上點Q(x1，y1)處的切線垂直于直線4x－y＋1＝0，12345678910111213141516故拋物線y＝x2在點(2,4)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，1234567891011121314151610.已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2，求直線l2的方程.12345678910111213141516所以y′|x＝1＝3，所以直線l1的方程為y＝3(x－1)，即y＝3x－3，所以直線l2的方程為3x＋9y＋22＝0.123456789101112131415綜合運用16√12345678910111213141516即k<1.1234567891011121314151612.已知函數(shù)f(x)在R上有導(dǎo)函數(shù)，f(x)的圖象如圖所示，則下列不等式正確的是A.f′(a)<f′(b)<f′(c)B.f′(b)<f′(c)<f′(a)C.f′(a)<f′(c)<f′(b)D.f′(c)<f′(a)<f′(b)√12345678910111213141516解析如圖，分別作曲線在x＝a，x＝b，x＝c三處的切線l1，l2，l3，設(shè)切線的斜率分別為k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c).故選A.1234567891011121314151613.函數(shù)y＝(x－1)2的導(dǎo)數(shù)是A.－2 B.(x－1)2C.2(x－1) D.2(1－x)√選C.1234567891011121314151614.若點P是拋物線y＝x2