2024年楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試題（含答案）

第二學(xué)期初三質(zhì)量調(diào)研（一）數(shù)學(xué)學(xué)科

（測(cè)試時(shí)間：100分鐘，滿分：150分）

考生注意：

1.本試卷含三個(gè)大題，共25題；

2.答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一

律無(wú)效；

3.除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出證明或計(jì)

算的主要步驟.

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分，下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一

個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上）

1.下列根式中，6的同類二次根式是（）

A?B.730C.712D.M

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查同類二次根式，解題關(guān)鍵在于先化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)各選項(xiàng)后根據(jù)同類二次根式的定義判斷.

【詳解】解：A.振與后被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式；

B.而與也被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式；

C.疵=2百與6被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；

D.屈=30與百被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式.

故選C.

2.已知。>方，下列不等式成立的是（）

A.—a>—bB.2—。<2—bC.2a<2Z?D.a—/?<0

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，易錯(cuò)在不等式的基本性質(zhì)3,不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)

負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.不等式性質(zhì)：基本性質(zhì)1.不等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的

方向不變.基本性質(zhì)2.不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.基本性質(zhì)3.不等

式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.根據(jù)性質(zhì)逐一分析即可.

【詳解】解：A.-：a>b,

-a<-b,故不符合題意；

B.*.*a>b,

*,?—a<—b,

2-a<2-b故符合題意；

C.*.*a>b,

2a>2b,故不符合題意；

D.*.*a>b,

a-b>0,故不符合題意.

故選：B.

3.當(dāng)上<0,6<0時(shí)，一次函數(shù)產(chǎn)區(qū)+b的圖像不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)左判斷是經(jīng)過(guò)一三象限還是二四象限，然后再根據(jù)》的值判斷在y軸的哪半軸，從而得出

結(jié)果.

【詳解】解：??味<0,

???函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)第二四象限，

\'b<0,

圖像與y軸負(fù)半軸相交，

???圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的解析式判斷其經(jīng)過(guò)的象限.

4.已知一組數(shù)據(jù)a,2,4,1,6的中位數(shù)是4,那么a可以是（）

A.0B.2C.3D.5

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是中位數(shù)的定義，屬于基本題型，熟知中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.根據(jù)中位數(shù)的定義

先確定從小到大排列后a的位置，再解答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，a的位置按照從小到大的排列是：1,2,4,a,6或1,2,4,6,a；

??a>4.

，D符合題意

故選D.

5.下列命題中，真命題的是（）

A.四條邊相等的四邊形是正方形B.四個(gè)內(nèi)角相等的四邊形是正方形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)

鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.

【詳解】解：A、四條邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、四個(gè)內(nèi)角相等的四邊形是矩形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是是菱形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，命題正確，符合題意；

故選：D.

6.如圖，在.A5C中，AB^AC,ABAC=120°,將.ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、8分別落在點(diǎn)

D、E處,如果點(diǎn)A、D、E在同一直線上，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZADC=60°B.ZACD=60°C.NBCD=NECDD.ZBAD=ZBCE

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是

熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BAC也△EDC，ZACD=/BCE,再結(jié)合已知條件逐一分

析判斷即可.

【詳解】解:A.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZEDC^ZBAC=120°,

當(dāng)點(diǎn)A、D、E在同一條直線上時(shí)，ZADC=180°-ZEDC=60°,

故選項(xiàng)A不符合題意；

B.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△BAC之△EOC，

/.ZBCA=ZECD,CA=CD,

由：NADC=60。，

.ACD為等邊三角形，

ZACD=60°,

故選項(xiàng)B不符合題意；

C、；ZBCA=NECD,ZACD=60。，

...由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：/BCE=ZACD=60。,

當(dāng)NBCD=NECD時(shí),

:.ZACB=ZBCD=ZECD=30。,與題干條件矛盾，

選項(xiàng)C符合題意

D.ACD為等邊三角形，

ZZMC=60°,

'：ZBAC=120°,

：.ZBAE=ABAC-ZDAC=120°-60°=60°,

VZBCE=60°,

/.ZBAD^ZBCE,

故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：C.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分，請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置

上）

7.計(jì)算：6a3+2儲(chǔ)=.

【答案】3a

【解析】

【分析】本題考查了單項(xiàng)式的除法，熟練掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：6a3+2儲(chǔ)=3。，

故答案為：3a.

8.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解3=

【答案】(X+J3)(X-，3)##(X-，3)(x+j3)

【解析】

【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：必-3=卜+石)卜-9.

故答案是：(x+g)(x-G).

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，掌握》2=(a+b)(a-6)是解題的關(guān)鍵.

1

9.函數(shù)丁=方=^的定義域是________.

VX-1

【答案】x>l

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件列不等式即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，%-1>0,

解得，x>l,

故答案為：x>l.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)列不等式，確定自變量

的取值范圍.

10.若關(guān)于x方程V-6x+左=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則人的取值范圍是.

【答案】k<9

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：A—b2-4ac=36—4A:>0,

解得：k<9?,

故答案為左W9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.

11.布袋中有大小、質(zhì)地完全相同的5個(gè)小球，每個(gè)小球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,如果從布袋中

隨機(jī)抽一個(gè)小球，那么這個(gè)小球上的數(shù)字是合數(shù)的概率是.

【答案】|

【解析】

【分析】此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有"種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)

機(jī)種結(jié)果，那么事件A的概率尸(A)=—.求出事件全部結(jié)果數(shù)及摸出的小球所標(biāo)數(shù)字是合數(shù)的全部結(jié)果

n

數(shù)，由概率計(jì)算公式即可求得答案.

【詳解】解：???共五個(gè)數(shù)，合數(shù)為4,共1個(gè)，

從中隨機(jī)地摸取一個(gè)小球，則這個(gè)小球所標(biāo)數(shù)字是合數(shù)的概率為、，

故答案為：—.

12.己知反比例函數(shù)丁=——的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)，y都隨x的增大而減小，則左的取值范圍是

x

【答案】k>un<k

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行作答，當(dāng)反比例函數(shù)系數(shù)左>0時(shí)，它圖象所在的每個(gè)象限內(nèi)y隨X的

增大而減小.

【詳解】解：???在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，

k—1>0,即左>1,

故答案為：k>l.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)y=區(qū)的性質(zhì)，對(duì)于反比例函數(shù)(左w0),(1)k>Q,反比例函數(shù)圖

象在一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨尤的增大而減??；(2)k<Q,反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，

在每個(gè)象限內(nèi)，y隨尤的增大而增大.

13.根據(jù)上海市統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，上海市2021年的地區(qū)生產(chǎn)總值約是4.32萬(wàn)億，2023年的地區(qū)生產(chǎn)總值約是

4.72萬(wàn)億，設(shè)這兩年上海市地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率都為x,根據(jù)題意可列方程.

【答案】4.32(1+x)2=4.72

【解析】

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)上海市2021年及2023年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解:依題意得：4.32(1+%)2=4.72.

故答案為：4.32(1+x)2=4.72.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊的中點(diǎn)，CE與對(duì)角線3。相交于點(diǎn)F,設(shè)向量A8=a，向

.（用含a、》的式子表示）

【解析】

【分析】本題主要考查平面向量的知識(shí)，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)解題是關(guān)鍵.利用平行

四邊形的性質(zhì)可先證明BE=|B。，然后用三角形法則表示出80,即可得到8尸.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形,

DC//AB,DC=AB,AD//BC,AD^BC,

BC-AD-b，/\DEFs,

YE是邊AT）的中點(diǎn),

.DEDF1

：.BF=-BD,

3

BD=BA+AD=BA+BC=b-a^

222

/.BF=-BD=-b——a,

333

...72

故答案為：—b--a

33

15.近年來(lái)越來(lái)越多的“社區(qū)食堂”出現(xiàn)在街頭巷尾，它們是城市服務(wù)不斷豐富的縮影.已知某社區(qū)食堂

推出了15元、18元、20元三種價(jià)格的套餐，每人限購(gòu)一份.據(jù)統(tǒng)計(jì)，3月16日該食堂銷售套餐共計(jì)160

份，其中15元的占總份數(shù)的40%,18元的賣出40份，其余均為20元，那么食堂這一天賣出一份套餐的

平均價(jià)格是元.

【答案】17.5

【解析】

【分析】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的含義，用各自的單價(jià)乘以各自的權(quán)重即可得到答案.

【詳解】解：:40+160=25%,

，20元的占比1—40%-25%=35%，

/.食堂這一天賣出一份套餐的平均價(jià)格是

15x40%+18x25%+20x35%=17.5（元），

故答案為：17.5

16.如圖，在RtZXABC中，NC=90°,AB的垂直平分線交邊于點(diǎn)D，如果那么

tanB=.

【答案】

5

【解析】

【分析】本題考查是線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，如圖，連接AD,設(shè)

CD=x,可得A￡>=BD=4x,求解==岳丫,再利用正切的定義可得答案.

【詳解】解：如圖，連接AD,

:.BD-4x,

VAB的垂直平分線交邊5c于點(diǎn)D,

AD=BD=4x,

ZC=90°,

；?AC=^ADr-CEr=岳x，

.nACV15x岳

,,tanJD------------------------------------------------

BCx+4x5

故答案為姮.

5

17.如圖，己知一張正方形紙片的邊長(zhǎng)為6厘米，將這個(gè)正方形紙片剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，那

么這個(gè)正八邊形的邊長(zhǎng)是______厘米.

【答案】6A/2-6##-6+6A/2

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)列出方程是

解題的關(guān)鍵.

設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為x,表示出剪掉的等腰直角三角形的直角邊，再根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)列出方程求解即可.

【詳解】解：如圖

設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為x,則剪掉的等腰直角三角形的直角邊為注了,

2

正方形的邊長(zhǎng)為6,

.夜…夜一A

,,----xx-----x=6，

22

解得x—~—6^/5—6,

故答案為：6^/2—6-

18.己知矩形ABCD中，AB=5,以AD為半徑的圓A和以為半徑的圓C相交于點(diǎn)。、E,如果點(diǎn)E

到直線3C的距離不超過(guò)3,設(shè)AD的長(zhǎng)度為處則根的取值范圍是

【答案】-<m<10

2

【解析】

【分析】如圖，當(dāng)E在A3的左側(cè)時(shí)，連接AC,AE,CE,過(guò)E作ERL5c于R,作ESLAB于

S,如圖，當(dāng)E在A3的右側(cè)時(shí)，連接AC,AE,CE,過(guò)E作EH上BC于H,交A。于。，再分

別求解加的值，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，當(dāng)石在A3的左側(cè)時(shí)，連接AC,AE,CE,過(guò)E作石R,5c于R,作ESLA5

于s,

.矩形ABC。，AB=5,AD=m,

???四邊形以BS為矩形，AD=CB=m,AB=CD=5,

：.ES=BR,ER=BS=3,

：.AS=5—3=2,

,:A,C為圓心,

???AC是DE的垂直平分線，

AD=AE=m,CD=CE=5,

?：ER=3,

CR=A/52—32=4，

:.ES=BR=4—根，

在Rt'AES中，m2=（4-m）2+22,

解得："2=』；

2

如圖，當(dāng)E在A3的右側(cè)時(shí)，連接AC,AE,CE,過(guò)E作于“，交A。于。,

:矩形ABC。，AB=5,AD=m,

:.AD=CB=m,AB=CD=5,四邊形為矩形，

QH=CD=5,

同理可得：

AD=AE=mJCD=CE=5,

?/EH=3,

QD=CH=yJCE2-EH2=4,

AQ=m-4,

???石。=5+3=8

在RtAkAEQ中，m=(m—4)2+82,

m=10,

綜上：點(diǎn)E到直線BC的距離不超過(guò)3,則』《機(jī)<10；

2

故答案為：-</?<10

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，兩圓的位置關(guān)系，線段的垂直平分線的性質(zhì)，

確定臨界點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

19.計(jì)算:便―-272+|l-V3|.

【答案】空

22

【解析】

【分析】本題考查的是分?jǐn)?shù)指數(shù)累的運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算，整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解本

題的關(guān)鍵，先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，零次暴，分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再合并即可.

-^—+1-727+73-1

V3-1

=*口-3百+6-1

13A/3

2__2"

x+2y=12

20.解方程組：＜

x2-4xy+4y2-4=0

x=5x=7

【答案】《7或＜5

y=一y=一

22

【解析】

【分析】本題考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步驟是解本題的關(guān)鍵，先把方程組化為

x+2y=12x+2y=12

或＜,再解二元一次方程組即可.

x—2y+2=0[x-2y-2=0

x+2y=12①

【詳解】解：《

x2-4xy+4y2—4=0②，

由②得：（％—4=0,

(x—2y+2)(x—2y—2)=0,

/.x-2丁+2=0或%—2丁一2=0,

x+2y=12x+2y=12

或＜

x—2y+2=0x-2y-2=0

x=5x=l

解得：＜7或＜5?

y=—y二一

22

21.如圖，已知在ABC中，AB^AC=9,cosB=Y5,點(diǎn)G是ABC的重心，延長(zhǎng)AG交邊BC于

3

點(diǎn)、D,以G為圓心，G4為半徑的圓分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F.

(1)求AG的長(zhǎng)；

(2)求3E的長(zhǎng).

【答案】(1)4

⑵口

3

【解析】

【分析】(1)先證明AD1BC,AG=-AD,結(jié)合cosB=^，可得。=3。=36，

33

再利用勾股定理可得答案；

(2)過(guò)G作于H,可得EH=AH，證明NB=NAGH,求解可得

3

AH=YIAG2-GH2=-,從而可得答案.

3

【小問1詳解】

解：：A6=AC=9,點(diǎn)G是,45。的重心，

2

ABD=CD,ADIBC,AG=-AD,

3

VcosB=-.

3

.BD75

"AB~3，

???CD=BD=3小,

AD=y/AB2-BD2=6>

/.AG=~AD=4-,

3

【小問2詳解】

如圖，過(guò)G作于H,

:?EH=AH,

ZADB=90°=ZAHG，

：.ZB+ZBAD=90°=ZBAD+ZAGH,

：.ZB=ZAGH,

45_GH

cosB=cosNAGH=

V-AG

,,CH昔

：.AH=y/AG2-GH28

3

AE=2x-=—

33

11

：.BE=9--

33

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，重心性質(zhì)，等腰三角形

的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

22.寒假期間，小華一家駕車去某地旅游，早上6：00點(diǎn)出發(fā)，以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛一段時(shí)間

后，途經(jīng)一個(gè)服務(wù)區(qū)休息了1小時(shí)，再次出發(fā)時(shí)提高了車速.如圖，這是她們離目的地的路程y(千米)

根據(jù)圖像提供的信息回答下列問題：

(1)圖中的。=,b=；

(2)求提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不用寫出定義域)；

(3)她們能否在中午12：30之前到達(dá)目的地？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)3；320；

(2)提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-lOOx+620.

(3)能.理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圖象求出。的值，根據(jù)“離目的地的路程=家與目的地之間的距離-行駛的路程”可計(jì)算。

的數(shù)值；

(2)利用待定系數(shù)法求解即可；

(3)當(dāng)y=。時(shí)求出對(duì)應(yīng)x的值，計(jì)算出到達(dá)目的地的時(shí)間，從而作出判斷即可.

【小問1詳解】

解：由題意可得：。=2+1=3,

=480-80x2=320.

【小問2詳解】

設(shè)提速后y關(guān)于X的函數(shù)解析式為了=依+6(h6為常數(shù)，且ZW0).

將坐標(biāo)(3,320)和(5,120)代入y=辰+6,

\3k+b=32Q

得4,

5k+b=120

???提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-lOOx+620.

【小問3詳解】

能.理由如下：

當(dāng)她們到達(dá)目的地時(shí)，y=0,得—100x+620=0,

解得x=6.2,

6.2小時(shí)=6時(shí)12分，

,她們于12：12分到達(dá)目的地.

23.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,BD=BC,/Z)5c的平分線交AD延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)?

D

（1）求證：四邊形BCED是菱形；

（2）連接AC交g尸于點(diǎn)G,如果4?！繡E,求證：AB2=AGAC.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）先證明QB=DE,可得DE=BC,結(jié)合。￡〃5。，可得四邊形。BCE是平行四邊形，

從而可得結(jié)論，

（2）如圖，連接AC交班1于點(diǎn)G,交BD于K,證明梯形ABCD是等腰梯形，證明

ZABG=ZACB=45°,結(jié)合4AG=NC鉆，可得△ABGs^ACB,再利用相似三角形的性質(zhì)可得

結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：???AD〃6C,

ZAEB=NCBE,

：/OB。的平分線交A。延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)?

ZDBE=NCBE,

；?ZAEB=ZDBE,

/.DB=DE,

,;BD=BC,

：.DE=BC,而DE〃BC,

...四邊形。BCE是平行四邊形，

?/DB=DE,

四邊形DBCE是菱形；

【小問2詳解】

如圖，連接AC交班'于點(diǎn)G,交BD于K，

D

:在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,

，梯形ABCD是等腰梯形，

：.ZABC=NDCB,AC=BD,

:菱形BCED,

：.BD//CE,BD=CE=DE,NDBC=/DEC,

：.AC=CE,ZEDC=NECD,

,：ACA.CE,

AZCAE=ZCEA=45°,AC1BD,

:.ZDBC=/DEC=ZACB=45°,/EDC=/ECD=67.5°,

ZACD=90°-67.5°=22.5°,

ZABD=ZABC-45°=ZDCB-45°=22.5°,

?/BE平分ZDBC,

ZDBF=ZCBF=22.5°,

：.ZABG=ZACB^45°,

?：ZBAG^ZCAB,

Z\ABG^Z\ACB,

.ABAG

"AC"AB'

???AB'=AG-AC-

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰梯形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角

形的判定與性質(zhì)，掌握基本幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

24.定義：我們把平面內(nèi)經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)并且與這條直線相切的圓叫做這個(gè)點(diǎn)與已知直線的點(diǎn)切

圓.如圖1,已知直線/外有一點(diǎn)H,圓。經(jīng)過(guò)點(diǎn)”且與直線/相切，則稱圓。是點(diǎn)H與直線/的點(diǎn)切

圓.閱讀以上材料，解決問題：

已知直線Q4外有一點(diǎn)P,PA±OA,。4=4,AP=2,圓加是點(diǎn)尸與直線。4的點(diǎn)切圓.

（1）如果圓心M在線段OP上，那么圓M的半徑長(zhǎng)是（直接寫出答案）.

（2）如圖2,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xQy,點(diǎn)尸在第一象限，設(shè)圓

心M的坐標(biāo)是（羽y）.

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

②點(diǎn)8是①中所求函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接3。并延長(zhǎng)交此函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C.如果CP:3P=1:4,

求點(diǎn)B的坐標(biāo).

【答案】（1）土嶼

2

2

（2）@y=1x-2x+5;②（8,5）或（0,5）

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)與相似三角形的綜合題，以新定義的形式出現(xiàn)，理解題意是解決本題的關(guān)鍵.

（1）過(guò)點(diǎn)M作MN_LQ4,設(shè)圓M的半徑為R,根據(jù)點(diǎn)切圓的定義，先通過(guò)勾股定理求OP,再利用同角

.八R1

三角函數(shù)值相等得：sm0==,求解即可；

2J5-RJ5

（2）①過(guò)點(diǎn)M作則MC=A2V=|4—,MN=CA=y,則PC=|2—y],對(duì)

RtPCM運(yùn)用勾股定理即可建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)點(diǎn)C（x,y）,過(guò)點(diǎn)c、8作AP的垂線交于點(diǎn)。、E,構(gòu)造相似三角形，用尤，y的代數(shù)式表示出8點(diǎn)坐

標(biāo)，再代入拋物線解析式，聯(lián)立即可求解.

【小問1詳解】

解：過(guò)點(diǎn)M作設(shè)圓M的半徑為R,

VPA±OA,0A=4,AP=2

OP=VO42+AP2=275，

:圓M是點(diǎn)P與直線。4點(diǎn)切圓，

：.MN=R,

.八R1

sinO=—?==—f=,

245-RV5

解得：R=^L.

2

故答案為：匕叵.

2

【小問2詳解】

解：①過(guò)點(diǎn)M作肱

由(1)得==y,則MC=AiV=|4—X，MN=CA=y,則PC=|2—y],

2

在Rt.POW中，PM?=PC?+CM?得:/引？—y「+|4—%「，化簡(jiǎn)得：y=lx-2x+5.

②設(shè)點(diǎn)c(x,y),過(guò)點(diǎn)C、3作AP的垂線交于點(diǎn)。、E,

BECD,

:，ABEPsMDP,

BEEPBP

生=±￡=￡￡=4,則。。=4_羽8￡=16_4%,加=2_丁，PE=S-4y,

CDDPCP"

i,

10—4y=a(20-4x)--2(20-4x)+5

.,.點(diǎn)_B(20-4x,10-4y)代入y=/X?-2x+5得：＜

y=-x~—2x+5

-4

解得：x=3或x=5,

.,.點(diǎn)3(8,5)或5(0,5).

25.已知以A5為直徑的半圓。上有一點(diǎn)C,CD1OA,垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)E是半徑OC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)

。、C重合），作歷，OC交弧于點(diǎn)尸，連接O尸.

如圖當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求的值;

(1)1,FEAC2

AF

(2)如圖2,作FGIAB,垂足為點(diǎn)G,連接EG.

①試判斷EG與CD的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

4np

②當(dāng)/EEG是等腰三角形，MsinZCOD=-,求——的值.

5OD

CD1

【答案】（1）—=-

AF2

（2）①EG=CD,理由見解析；②匹的值為1或逝或工.

OD315

【解析】

【分析】（1）利用垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可;

（2）①延長(zhǎng)FE交I。于點(diǎn)M，延長(zhǎng)FG交tO于點(diǎn)N,延長(zhǎng)CD交于點(diǎn)"，連接MN,OH,

ON,OM,利用垂徑定理，三角形的中位線定理得到EG=-MN,利用垂徑定理得到CD=DH=-CH

22

再利用四邊形的內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到NAOC=NE『G,再利用相等的圓心角所對(duì)的弧相等的性

質(zhì)，等弧對(duì)等弦的性質(zhì)得到CH=則結(jié)論可得；

②利用分類討論的方法分三種情況解答：I.當(dāng)跖=EG時(shí)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答

即可；II.當(dāng)FG=EF時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作LAB于點(diǎn)"，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理解答

即可；III.當(dāng)bG=￡G時(shí)，則產(chǎn)G=4左，連接FC,利用矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【小問1詳解】

當(dāng)EE的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，

,：EF±OC,

：.AE=FE=-AF,ZA+ZAOE=90>

2

?/CDLOA,

：.ZC+ZAOE=90°,

：.ZA=ZC,

在△AOE和△口?￡>中，

ZA=ZC

<OA=OC,

ZAOE=NCOD

；.,AOEWCOD(ASA),

AE=CD,