2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題突破二次函數(shù)與矩形存在性問題（學(xué)生版）

專題8二次函數(shù)與矩形存在性問題

考法綜述

L矩形的判定：

(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

(2)對角線相等的平行四邊形是矩形；

(3)有三個角為直角的四邊形是矩形.

2.題型分析

矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“一個角為直角”，因此相比起平行四邊形,

坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個等式：

xA+xc=xB+xD

”+出=券+%

22

-X(.)+(為7)=f)+(幾-為『

因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代人可以得到三元一次方程組，可解.

確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個.下：

同時，也可以先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出直線AB的解析式，進而得到直線AD或BC的解析式，從而確定C

或D的坐標(biāo).

典例剖析.

【例11(2022?瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=/+x+c經(jīng)過/(-2,0),B

(0,4)兩點，直線x=3與x軸交于點C.

(1)求a,c的值;

(2)經(jīng)過點。的直線分別與線段48,直線x=3交于點。，E,且△3￡>O與的面積相等，求直

線?！甑慕馕鍪?；

(3)產(chǎn)是拋物線上位于第一象限的一個動點，在線段OC和直線x=3上是否分別存在點用G,使2,

F,G,尸為頂點的四邊形是以89為一邊的矩形？若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【例2】(2022?綏化)如圖，拋物線y=^2+bx+c交y軸于點/(0,-4),并經(jīng)過點C(6,0),過點/作

軸交拋物線于點3,拋物線的對稱軸為直線x=2,。點的坐標(biāo)為(4,0),連接4D,BC,BD.點、

￡從/點出發(fā)，以每秒、歷個單位長度的速度沿著射線運動，設(shè)點￡的運動時間為加秒，過點E作

EF1AB于尸，以EF為對角線作正方形EGFH.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點G隨著￡點運動到達(dá)3C上時，求此時m的值和點G的坐標(biāo)；

(3)在運動的過程中，是否存在以2,G,C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形，如果存在，直

接寫出點G的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

備用圖

【例3】(2022?黔東南州)如圖，拋物線y=ax2+2x+c的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點A,B(3,0),

與〉軸交于點。，連接/C

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點。作。軸，垂足為點DW交直線3c

于點N,是否存在這樣的點N,使得以/,C,N為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出點N的

坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)已知點￡是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點尸，使以點8、C、E、尸為頂點的四邊

形為矩形，若存在，請直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【例4】.(2022?梁山縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+bx+c(a<0)與x軸交于/(-2,

0),5(4,0)兩點，與了軸交于點C,且。C=204

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線》=丘+1(左>0)與y軸交于點。，與拋物線交于點尸，與直線3c交于點記加=里，試

DM

求m的最大值及此時點尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，加取最大值時，點。是x軸上的一個動點，點N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，是否存

在這樣的點0、N,使得以P、D、。、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的坐標(biāo)；如

果不存在，請說明理由.

1.(2022?武功縣模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線￡i：y=-j^+bx+c(6、c為常數(shù))與x軸交于/

(-6,0)、3(2,0)兩點.

(1)求拋物線￡1的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將該拋物線Zi向右平移4個單位長度得到新的拋物線L2,與原拋物線Li交于點C點D是點C

關(guān)于x軸的對稱點，點N在平面直角坐標(biāo)系中，請問在拋物線上上是否存在點"，使得以點C、D、M、

N為頂點的四邊形是以CD為邊的矩形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.(2022?東莞市校級一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸的正半軸交于點。，

6

與/軸交于點C,點/在拋物線上，軸于點3△ABC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△02E,連接

DE.當(dāng)包x2+6x+c＜0時，x的取值范圍是-3＜彳＜2.

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(1)求該拋物線的解析式；

(2)求證：四邊形OBED是矩形；

(3)在線段。。上找一點N,過點N作直線加垂直x軸，交OE于點F,連接。足當(dāng)△DNF的面積取

得最大值時，求點N的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，在直線機上找一點尸，連接。尸、DP.使得乙。叫+乙。OE

=90°,求點尸的坐標(biāo).

3.(2022?石家莊二模)如圖，拋物線y=-f+bx+c(cWO)與x軸交于點/(-1,0),8(點/在點8左

側(cè))，與夕軸交于點C,連接3C

(1)點。的縱坐標(biāo)為(用含b的式子表示)，AOBC=度；

(2)當(dāng)6=1時，若點P為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，連接BP,CP,求△BCP面積的最大值，并求

出此時點P的坐標(biāo)；

(3)已知矩形即的頂點。，尸分別在x軸、y軸上，點E的坐標(biāo)為(3,2).

①拋物線的頂點為。，當(dāng)?shù)闹悬c落在直線M上時，求點。的坐標(biāo)；

②當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的部分對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時，請直接寫出b的取值范

x2+bx+c與X軸交于點/(-1,0)、3

(4,0)兩點，與y軸交于點C,連接8C,直線"W：y=2x+相交7軸于點P為直線8C上方拋物

線上一動點，過點尸作x軸的垂線，分別交直線3C、3M于點E、F.

(2)當(dāng)點尸落在拋物線的對稱軸上時，求△P8C的面積:

(3)①若點N為y軸上一動點，當(dāng)四邊形3硒F為矩形時，求點N的坐標(biāo);

②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點。，滿足QN=0“，當(dāng)△QN5的周長最小時，求點。的坐標(biāo).

5.(2022?石家莊模擬)某公園有一個截面由拋物線和矩形構(gòu)成的觀景拱橋，如圖1所示，示意圖如圖2,

且已知圖2中矩形的長ND為12米，寬N3為4米，拋物線的最高處￡距地面3c為8米.

(1)請根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的函數(shù)解析式;

(2)若觀景拱橋下放置兩根長為7米的對稱安置的立柱，求這兩根立柱之間的水平距離;

(3)現(xiàn)公園管理處打算在觀景橋側(cè)面搭建一個矩形“腳手架”PQMN(如圖2),對觀景橋表面進行維護,

P,N點在拋物線上，Q,M點在2C上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿PQ,PN,的

長度之和的最大值，請你幫管理處計算一下.

E

6.(2022?朝陽區(qū)校級一模)已知二次函數(shù)歹=，-2小-加與了軸交于點河，直線＞=切+5與y軸交于點/,

與直線x=4交于點8,直線＞=-2%與y軸交于點。(/與。不重合)，與直線x=4交于點C,構(gòu)建矩

形ABCD.

(1)當(dāng)點M在線段上時，求加的取值范圍.

(2)求證：拋物線y=x2-2mx-m與直線y=m+5恒有兩個交點.

(3)當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的函數(shù)值y隨著x的增大而增大或y隨x的增大而減小時，求"的取值范圍.

(4)當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部(包括邊界)最高點的橫坐標(biāo)等于點3到x軸距離的工時，直接寫出m的取

2

值范圍.

7.(2022?長春一模)已知拋物線歹=，-2加x+2〃z+l.

(1)寫出拋物線ynx2-2mx+2m+］的頂點坐標(biāo)(用含m的式子表示).

(2)當(dāng)xN1時，了隨x的增大而增大，則m的取值范圍是.

(3)當(dāng)-1WXW2時，函數(shù)y=，-2機x+2〃z+l的圖象記為G,設(shè)圖象G的最低點的縱坐標(biāo)為yo.當(dāng)yo

=T時，求加的值.

(4)當(dāng)機＞0時，分別過點/(2,1)、2(2,4)作y軸垂線，垂足分別為點。、點C,拋物線在矩形

ABCD內(nèi)部的圖象(包括邊界)的最低點到直線y=-2的距離等于最高點到x軸的距離，直接寫出m的

值.

8.(2021?咸豐縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-1x2+bx+1?與x軸正半軸交于點4且點

力的坐標(biāo)為(3,0),過點N作垂直于x軸的直線/,P是該拋物線上一動點，其橫坐標(biāo)為m,過點P作

P0，/于點。，M是直線/上的一點，其縱坐標(biāo)為以尸。，QM為邊作矩形PQMN.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點Q與點M重合時，求m的值；

(3)當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求機的值；

(4)當(dāng)拋物線在矩形尸內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時，求m的取值范圍.

9.(2022?白山模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=--+2x+6(6為常數(shù)，6X0)與y軸交于點/,且

點工的坐標(biāo)為(0,3),過點/作垂直于y軸的直線/.P是該拋物線上的任意一點，其橫坐標(biāo)為機，過

點尸作尸。，/于點。，M是直線I上的一點，其橫坐標(biāo)為-m+1.以PQ,QM為邊作矩形PQMN.

(1)求6的值；

(2)當(dāng)點。與點M重合時，求m的值；

(3)當(dāng)矩形尸QW為正方形時，求m的值；

(4)當(dāng)拋物線在矩形尸。內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大時，直接寫出m的取值范圍.

10.(2021?吉林四模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線歹=工2+樂-互■與x軸交于點/(5,0),與該

22

拋物線的對稱軸/交于點3,作直線NAP是該拋物線上的任意一點，其橫坐標(biāo)為沉,過點尸作x軸的

垂線交N8于點0,過點P作于點N,以尸0、PN為邊作矩形

(1)求拋物線的解析式；

(2)求直線N3的解析式；

(3)當(dāng)該拋物線被矩形PQW截得的部分圖象的最高點縱坐標(biāo)與最低點縱坐標(biāo)的距離為2時，求點尸

的坐標(biāo)；

(4)當(dāng)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點到直線MQ的距離相等時，直接寫出m的值.

y

11.(2021?南關(guān)區(qū)校級二模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=，-2"(。為常數(shù)).

(1)當(dāng)(一)在拋物線上，求m的值.

2

(2)當(dāng)拋物線的最低點到x軸的距離恰好是工時，求a的值.

4

(3)已知/(-1,1k5(-1,2a-A),連接NA當(dāng)拋物線與線段有交點時，記交點為尸(點P

2

不與/、B重合)，將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PM,以PM、PA為鄰邊構(gòu)造矩形PMQA.

①若拋物線在矩形PMQA內(nèi)部的圖象的函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小時，求a的取值范圍.

②當(dāng)拋物線在矩形/^，內(nèi)部(包含邊界)圖象所對應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值的差為當(dāng)時，直接寫出

。的值.

12.(2021?吉林二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=工工2-X-3與x軸正半軸交于點N,過點/

22

的直線y=(4,0)與該拋物線的另一個交點3的橫坐標(biāo)為2,尸是該拋物線上的任意一點，其橫坐

標(biāo)為加+1,過點P作x軸的垂線，交直線N3于點C,在該垂線的點P上方取一點。，使尸。=1,以CD

為邊作矩形CDEF,設(shè)點E的橫坐標(biāo)為2m.

(1)求直線48對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點P與點A重合時，求點E的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點E在該拋物線上時，求拋物線的頂點到即的距離；

(4)當(dāng)矩形CDEF的一組鄰邊與該拋物線相交，且該拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y

隨x的增大而增大時，直接寫出m的取值范圍.

13.(2020?吉林)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-工？+8+旦與x軸正半軸交于點/,且點/的

22

坐標(biāo)為(3,0),過點N作垂直于x軸的直線/.尸是該拋物線上的任意一點，其橫坐標(biāo)為加，過點尸作

g/于點。，/是直線/上的一點，其縱坐標(biāo)為-嗚■.以PQ,為邊作矩形

(1)求6的值.

(2)當(dāng)點。與點M重合時，求m的值.

(3)當(dāng)矩形PQVW是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求”的值.

(4)當(dāng)拋物線在矩形兒W內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值7隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍.

(備用圖)

14.(2022?長春模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=/+6x+c(6、c是常數(shù))經(jīng)過點(0,-1)和

(2,7),點/在這個拋物線上，設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m.

(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式并寫出頂點C的坐標(biāo).

(2)點3在這個拋物線上(點B在點A的左側(cè))，點B的橫坐標(biāo)為-1-2m.

①當(dāng)4ABC是以AB為底的等腰三角形時，求OABC的面積.

②將此拋物線/、8兩點之間的部分(包括/、8兩點)記為圖象G,當(dāng)頂點C在圖象G上，記圖象G

最高點的縱坐標(biāo)與最低點的縱坐標(biāo)的差為氏求力與加之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)設(shè)點。的坐標(biāo)為(加,2-加)，點￡的坐標(biāo)為(1-%，2-%),點尸在坐標(biāo)平面內(nèi)，以/、D、E、

廠為頂點構(gòu)造矩形，當(dāng)此拋物線與矩形有3個交點時，直接寫出m的取值范圍.

15.(2022?丹東)如圖1,拋物線y=ax2+x+c(a關(guān)0)與x軸交于N(-2,0),B(6,0)兩點，與y軸交

于點C,點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作軸，垂足為D,PD交直線BC于點E,

設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)線段PE的長度為肌請用含有m的代數(shù)式表示h;

(3)如圖2,過點尸作P/UCE,垂足為尸，當(dāng)CP=即時，請求出加的值；

(4)如圖3,連接CP,當(dāng)四邊形OCPD是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點。，使原點。關(guān)于直線

C。的對稱點O'恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點。的坐標(biāo).

圖1圖2圖3

16.如圖,已知拋物線Ci：y=aix2+6ix+ic和C2：>（|也|=㈤）都經(jīng)過原點，頂點分別為

3,；與x軸的另一交點分別為M,N,如果四邊形㈤VBM是平行四邊形，則稱拋物線Ci和C2為對稱拋物

線.

（1）觀察圖象，寫出對稱拋物線兩條特征；（如：拋物線開口大小相同）

（2）若拋物線Ci的解析式為>=-/+2x,確定對稱拋物線C2的解析式.

（3）若MN=4,且四邊形/VftW■是矩形時，確定對稱拋物線G和C2的解析式.

17.（2022?福田區(qū)校級模擬）如圖，拋物線.y=ax2+3x+c與x軸交于點/,B,直線y=x+l與拋物線交于點

A,C（3,〃）.點尸為對稱軸左側(cè)拋物線上一動點，其橫坐標(biāo)為m.

（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標(biāo).

（2）已知直線/：x=a+5與直線/C交于點D,過點尸（橫坐標(biāo)為"）,作PE，/于點￡,以PE,DE為

邊作矩形PEDF.

①當(dāng)拋物線的頂點在矩形PEDF內(nèi)部時，機的取值范圍為（請直接寫出）

②在①的條件下，求矩形尸9的周長的最小值.

2223

18.(2022?綠園區(qū)模擬)已知二次函數(shù)y=-yX+nx-y?+?-,點N、點3均在此二次函數(shù)的圖象上，

點A的橫坐標(biāo)為1,點3的橫坐標(biāo)為2〃-2,在點A和點B之間的圖象為G.

(1)當(dāng)〃=2時，

①求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；

②當(dāng)-1WXW3時，求y的取值范圍.

(2)/8所在的直線交y軸于點C,過點/作軸于點。，以40、CD為鄰邊構(gòu)造矩形4DCE,直

接寫出當(dāng)拋物線的頂點落在矩形ADCE的邊上時〃的值.

(3)當(dāng)圖象G上存在兩個點到直線y=3〃-4的距離為3,直接寫出滿足條件的〃的取值范圍.

19.(2022?羅湖區(qū)二模)【實踐與探究】九(1)班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)

歷了實踐一一應(yīng)用一一探究的過程：

(1)實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進行測量，測得隧道的路面寬為10加，

隧道頂部最高處距地面6.25加，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖①所示的直角坐標(biāo)系，則該拋物線的

解析式為.

(2)應(yīng)用：按規(guī)定，機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5%為

了確保安全，問該隧道能否讓最寬3加、最高3.5加的兩輛廂式貨車居中并列行駛(兩車并列行駛時不考

慮兩車之間的空隙)？

(3)探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進一步探索拋物線的有關(guān)知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩

個問題，請予解答：

I.如圖②，在拋物線內(nèi)作矩形/3CD,使頂點C、。落在拋物線上，頂點/、3落在x軸上.設(shè)矩形

48czi的周長為/,求/的最大值.

H.如圖③，過原點作一條y=x的直線。河，交拋物線于點交拋物線對稱軸于點N,尸為直線。河

上一動點，過P點作X軸的垂線交拋物線于點。.問：在直線上是否存在點P,使以尸、N、。為頂

點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出尸點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.(2022?安徽模擬)如圖；已知拋物線y=af+Bx+c與直線y=x+l交于兩點3(3,n),且點/在x

軸上.

(1)求a,c,n的值；

(2)設(shè)點尸在拋物線上，其橫坐標(biāo)為m.直線/：x=機+5與直線AB交于點C,過點P作尸于點D,

以PD,CD為邊作矩形PDCE,使得拋物線的頂點在矩形尸DCE內(nèi)部.

①直接寫出：加的取值范圍是;

②求尸。+CD的最小值.

21.(2022春嘲陽區(qū)校級月考)已知拋物線2：y=-x2+4x+a(aT^O).

(1)拋物線A的對稱軸為直線.

(2)當(dāng)拋物線L上到x軸的距離為3的點只有兩個時，求。的取值范圍.

(3)當(dāng)。＜0時，直線x=a、x=-3a與拋物線上分別交于點/、C,以線段/C為對角線作矩形4BCD,

且軸.若拋物線L在矩形/3CD內(nèi)部(包含邊界)最高點的縱坐標(biāo)等于2,求矩形N3CA的周長.

(4)點河的坐標(biāo)為(4,-1